Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

kalkulus universitas

Grafik fungsi $f$ simetri terhadap sumbu $y$, grafik fungsi $g$ simetri terhadap garis $y=x$ ataupun grafik fungsi yang lain simetri terhadap sesuatu yang lain pula. Hal ini mungkin banyak yang kita temui jika dihadapkan dengan menggambar suatu grafik fungsi di bidang kartesius.

Tapi, apakah grafik suatu fungsi bisa diselidiki kesimetriannya dengan melihat persamaan fungsi tersebut?

Jawabanya ternyata BISA. Kita bisa menyelidiki kesimetrian grafik suatu fungsi dengan melihat persamaan dari fungsi tersebut. Alat yang digunakan tidak lain adalah persamaan dari fungsi tersebut.

Jadi jika suatu fungsi $f$ yang memenuhi persamaan $$f(-x)=f(x)$$ maka grafik dari fungsi $f$ tersebut simetri terhadap sumbu $y$. Fungsi ini nantinya akan disebut dengan fungsi genap.

Kata genap diambil barangkali dengan melihat karakteristik dari, sekali lagi, persamaan fungsi $f$ tersebut. Fungsi genap $f(x)$ biasanya dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat variabel fungsi  yang genap.

Misalkan fungsi $$f(x)=x^{2}+1$$ jika digambarkan dalam koordinat kartesius maka grafiknya simetri terhadap sumbu $y$. Lebih lanjut, jika kita ambil sebarang titik di sebelah kanan sumbu $y$ maka terdapat titik di grafik di sebelah kiri yang mempunyai jarak yang sama dengan sumbu $y$ atau garis $x=0$.

Perhatikan bahwa $$f(-x)=\left(-x\right)^{2}+1=x^{2}+1=f(x)$$yang menyatakan fungsi $f$ adalah fungsi genap. Berikutnya jika kita ambil titik $(8,65)$ yang berjarak $8$ dari sumbu $y$, titik $(-8,65)$ di sisi lain pada grafik juga berjarak $8$ dengan sumbu $y$.

Kata genap selalu digandengkan dengan kata ganjil. Secara logis, begitu pun juga dengan fungsi ada fungsi genap maka ada fungsi ganjil juga. Fungsi ganjil disini didefinisikan berdasarkan dengan karakteristik dari persamaan fungsi tersebut.

Jadi suatu fungsi $g$ disebut fungsi ganjil jika memenuhi sifat $$g(-x)=-g(x)$$Berbeda dengan fungsi genap, kata ganjil datang dari bentuk fungsi ganjil itu sendiri yang merupakan penjumlahan dari pangkat-pangkat ganjil variabelnya. Secara geometri, grafik fungsi ganjil ini adalah simetri terhadap titik asal $(0,0)$ atau titik salib sumbu.

Sebagai contoh fungsi $$g(x)=x^{3}-x$$ akan memberikan grafik yang simetri terhadap titik asal. Jika kita sebarang titik di grafik fungsi ganjil maka terdapat titik yang lain diseberang sumbu $x$ atau sumbu $y$ yang berjarak sama dengan titik asal.  Hal ini bisa dibuktikan dengan $$g(-x)= \left(-x\right)^{3}-\left(-x\right) = -x^{3}+x=-\left(x^{3}-x\right)=-g(x)$$yang membuktikan fungsi $g$ adalah fungsi ganjil. Lebih detail, jika diambil sebagai contoh, titik $(2,6)$ berjarak $\sqrt{40}$ dari titik asal. Sedangkan titik lain, yaitu $(-2,-6)$ juga berjarak $\sqrt{40}$ dari titik asal.

Lalu, apakah semua fungsi, sebarang fungsi bisa dikelompokkan ke dalam dua jenis fungsi ini, yaitu fungsi genap ataupun fungsi ganjil?

Ambil saja suatu fungsi $h(x)=\frac{1}{x-1}$ yang jika digambarkan ke dalam koordinat kartesius tidak simetri terhadap sumbu $y$ maupun terhadap titik asal. Perhatikan juga bahwa $$h(-x)=\frac{1}{-x-1} \neq h(x) \neq -h(x)$$
Oleh karena itu, suatu fungsi bisa saja termasuk fungsi genap, fungsi ganjil atau bahkan bukan keduanya.

Sekarang apakah jumlah dua fungsi ganjil adalah fungsi ganjil? Apakah jumlah fungsi genap dengan fungsi ganjil adalah fungsi genap atau bahkan bukan keduanya? Silahkan diperiksa ! 

Bagikan

Jangan lewatkan

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq July 21, 2018 5 Komentar