Invers suatu fungsi \(f : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) belum tentu ada, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi suatu fungsi mempunyai invers.
Salah satu syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut merupakan fungsi injektif atau fungsi satu-satu.
Berikut teorema yang menyebutkan syarat cukup eksistensi invers suatu fungsi.
TEOREMA 1
Suatu fungsi \( f : I \rightarrow \mathbb{R}\) mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi \(f\) merupakan fungsi injektif
Suatu fungsi \( f : I \rightarrow \mathbb{R}\) mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi \(f\) merupakan fungsi injektif
Pada fungsi injektif \(f\), sebarang \(x, y \in I\) dengan \( x \neq y\) mengakibatkan \(f(x) \neq f(y)\).
Fungsi yang termasuk golongan ini salah satunya fungsi yang monoton murni, yaitu fungsi naik murni atau kalau tidak fungsi turun murni.
Jadi fungsi monoton murni, berdasarkan teorema 1 di atas, pasti mempunyai invers (balikan) fungsi.
Baca Juga : Latihan Soal Analisis Riil
Bagaimana perilaku invers dari suatu fungsi monoton sekaligus kontinu tersebut dapat dilihat dari teorema 2 berikut
TEOREMA 2
Misalkan $I \subseteq \mathbb{R}$ adalah interval, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ monoton murni pada dan kontinu pada $I$.Maka $g$ fungsi invers dari $f$ monoton murni dan kontinu pada $J:=f(I)$
Misalkan $I \subseteq \mathbb{R}$ adalah interval, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ monoton murni pada dan kontinu pada $I$.Maka $g$ fungsi invers dari $f$ monoton murni dan kontinu pada $J:=f(I)$
Teorema 2 di atas menjelaskan bahwa ternyata suatu fungsi yang monoton murni dan kontinu di interval \(I\) mempunyai invers fungsi yang monoton murni dan kontinu juga.
Perhatikan contoh berikut
Contoh
Misalkan diberikan fungsi \(f : I \rightarrow \mathbb{R} \) dengan \( I : = [0,1] \) dan\[f(x):=x\]Pertama akan ditunjukkan fungsi \(f\) monoton murni di \(I\). Untuk hal ini, ambil sebarang \(a,b \in I\) dengan \(a < b\) sehingga berlaku\begin{eqnarray*}
a&<&b \\
f(a)&=& f(b)
\end{eqnarray*}
a&<&b \\
f(a)&=& f(b)
\end{eqnarray*}
Berdasarkan definisi fungsi naik, fungsi \(f\) merupakan fungsi naik murni. Jadi \(f\) monoton murni di \(I\).
Selanjutnya ditunjukkan bahwa fungsi \(f\) kontinu di \(I\). Untuk sebarang \(c \in I\), ambil sebarang \(\varepsilon > 0\) dan pilih \(\delta(\varepsilon )= \varepsilon\) sedemikian sehingga untuk \(|x-c|<\delta\) berlaku\begin{eqnarray*}
|x - c| &<&\delta\\
|f(x) - f(c)|&<& \varepsilon
\end{eqnarray*} Karena nilai \(c\) sebarang, maka fungsi \(f\) kontinu di \(I\).
Fungsi \(f(x)\) mempunyai invers fungsi yaitu\begin{eqnarray*}
f(x) &=&x\\
y&=& x
\end{eqnarray*}Jadi fungsi invers dari \(f(x) \) adalah \(f^{-1}(x)=x\) yang juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada \(f(I)\). Pembuktian \(f^{-1}(x)=x\) fungsi naik murni dan kekontinuan sama dengan pembuktian fungsi \(f(x)\) naik murni dan kontinu.
Selanjutnya ditunjukkan bahwa fungsi \(f\) kontinu di \(I\). Untuk sebarang \(c \in I\), ambil sebarang \(\varepsilon > 0\) dan pilih \(\delta(\varepsilon )= \varepsilon\) sedemikian sehingga untuk \(|x-c|<\delta\) berlaku\begin{eqnarray*}
|x - c| &<&\delta\\
|f(x) - f(c)|&<& \varepsilon
\end{eqnarray*} Karena nilai \(c\) sebarang, maka fungsi \(f\) kontinu di \(I\).
Fungsi \(f(x)\) mempunyai invers fungsi yaitu\begin{eqnarray*}
f(x) &=&x\\
y&=& x
\end{eqnarray*}Jadi fungsi invers dari \(f(x) \) adalah \(f^{-1}(x)=x\) yang juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada \(f(I)\). Pembuktian \(f^{-1}(x)=x\) fungsi naik murni dan kekontinuan sama dengan pembuktian fungsi \(f(x)\) naik murni dan kontinu.
Bagikan
Invers Fungsi Monoton Yang Kontinu
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
Hai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.