Invers Fungsi Monoton Yang Kontinu

Invers suatu fungsi

$f : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ belum tentu ada, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi suatu fungsi mempunyai invers.

Salah satu syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut merupakan fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Berikut teorema yang menyebutkan syarat cukup eksistensi invers suatu fungsi.

TEOREMA 1
Suatu fungsi

$f : I \rightarrow \mathbb{R}$ mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi

$f$ merupakan fungsi injektif

Pada fungsi injektif

$f$ , sebarang

$x, y \in I$ dengan

$x \neq y$ mengakibatkan

$f(x) \neq f(y)$ .

Fungsi yang termasuk golongan ini salah satunya fungsi yang monoton murni, yaitu fungsi naik murni atau kalau tidak fungsi turun murni.

Jadi fungsi monoton murni, berdasarkan teorema 1 di atas, pasti mempunyai invers (balikan) fungsi.

Baca Juga : Latihan Soal Analisis Riil

Bagaimana perilaku invers dari suatu fungsi monoton sekaligus kontinu tersebut dapat dilihat dari teorema 2 berikut

TEOREMA 2
Misalkan

$I \subseteq \mathbb{R}$ adalah interval,

$f:I\rightarrow \mathbb{R}$ monoton murni pada dan kontinu pada

$I$ .Maka

$g$ fungsi invers dari

$f$ monoton murni dan kontinu pada

$J:=f(I)$

Teorema 2 di atas menjelaskan bahwa ternyata suatu fungsi yang monoton murni dan kontinu di interval

$I$ mempunyai invers fungsi yang monoton murni dan kontinu juga.

Perhatikan contoh berikut

Contoh

Misalkan diberikan fungsi

$f : I \rightarrow \mathbb{R}$ dengan

$I : = [0,1]$ dan

$f(x):=x$ Pertama akan ditunjukkan fungsi

$f$ monoton murni di

$I$ . Untuk hal ini, ambil sebarang

$a,b \in I$ dengan

$a < b$ sehingga berlaku

$\begin{eqnarray*} a&<&b \\ f(a)&=& f(b) \end{eqnarray*}$

Berdasarkan definisi fungsi naik, fungsi

$f$ merupakan fungsi naik murni. Jadi

$f$ monoton murni di

$I$ .

Selanjutnya ditunjukkan bahwa fungsi

$f$ kontinu di

$I$ . Untuk sebarang

$c \in I$ , ambil sebarang

$\varepsilon > 0$ dan pilih

$\delta(\varepsilon )= \varepsilon$ sedemikian sehingga untuk

$|x-c|<\delta$ berlaku

$\begin{eqnarray*} |x - c| &<&\delta\\ |f(x) - f(c)|&<& \varepsilon \end{eqnarray*}$ Karena nilai

$c$ sebarang, maka fungsi

$f$ kontinu di

$I$ .

Fungsi

$f(x)$ mempunyai invers fungsi yaitu

$\begin{eqnarray*} f(x) &=&x\\ y&=& x \end{eqnarray*}$ Jadi fungsi invers dari

$f(x)$ adalah

$f^{-1}(x)=x$ yang juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada

$f(I)$ . Pembuktian

$f^{-1}(x)=x$ fungsi naik murni dan kekontinuan sama dengan pembuktian fungsi

$f(x)$ naik murni dan kontinu.

Invers Fungsi Monoton Yang Kontinu

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq February 27, 2019 Komentar