Persamaan Garis Lurus

geometri matematika smp

Garis merupakan suatu objek matematika yang berbentuk kurva. Meskipun garis merupakan bentuk kurva yang paling sederhana, garis memegang peranan penting dalam teori geometri dan matematika pada umumnya.

Aplikasi dalam kehidupan sehari hari sangatlah dekat dengan konsep garis sebagai dasarnya.

Seperti diketahui persamaan garis merupakan persamaan derajat satu dengan variabel $x$ dan $y$. Namun dengan beberapa sifat geometri dari garis, persamaan garis nantinya dapat dibuat dari beberapa bentuk khusus.

Persamaan Derajat Satu

Bentuk umum persamaan derajat satu\[\boldsymbol{Ax+By+C=0}~~~~~~~~~(1)\]dengan $A,B$, dan $C$ adalah konstan dan $A \neq 0, B \neq 0$ merupakan persamaan garis.

Artinya persamaan (1) mempunyai grafik di koordinat kartesius berbentuk garis lurus. Dengan kata lain, persamaan (1) merupakan tempat kedudukan titik berupa garis.

TEOREMA 1
Tempat kedudukan titik dari persamaan $Ax+By+C=0$ dengan $A,B$, dan $C$ adalah konstan dan $A \neq 0, B \neq 0$ adalah garis lurus dengan gradien $-\frac{A}{B}$. Jika $B=0$, maka garis vertikal.

Teorema 1 menjelaskan bahwa semua titik yang memenuhi persamaan (1) berada di garis dan koordinat semua titik dari garis memenuhi persamaan 1.

Persamaan Garis Lurus dengan Gradien dan Memotong Sumbu $y$

Suatu garis dapat dibuat dengan mengetahui kemiringannya dan titik potongnya dengan sumbu-$y$.

Dari persamaan 1, kedua ruas dibagi dengan konstanta $B$ sehingga diperoleh\begin{eqnarray*}
       Ax+By+C&=&0 \\
       \frac{A}{B}x+y+\frac{C}{B}&=&0\\
y&=&-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}
    \end{eqnarray*}Jika dimisalkan $m=-\frac{A}{B}$ dan $b=-\frac{C}{B}$ maka diperoleh persamaan

\[\boldsymbol{y=mx+b}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Persamaan (2) meruapakan persamaan garis lurus bergradien m dan memotong sumbu-y di $(0,b)$.

Persamaan (2) juga dinamakan bentuk gradien-titik potong.

Contoh Soal 1
Tentukan persaman garis lurus yang memiliki gradien 3 dan garis lurus tersebut memotong sumbu-y di titik $(0, -4)$.

Pembahasan Contoh Soal 1
Berdasarkan persamaan (2) maka diperoleh persamaan garis lurus yang dimaksud\[y=3x-4\]

Baca Juga : Mengukur Lebar Sungai Dengan Berjalan

Persamaan Garis Lurus Yang Memotong Sumbu Koordinat

Selain garis vertikal dan horisontal, semua garis lurus yang miring bisa dipastikan memotong sumbu koordinat, yaitu sumbu-x dan sumbu-y.

Jika kedua titik potong ini diketahui maka persamaan garis lurus bisa ditemukan.

Perhatikan lagi persamaan (1). Kedua ruas dibagi dengan $-C$ sehingga diperoleh
\begin{eqnarray*}
       Ax+By+C&=&0 \\
       \frac{Ax}{-C}+\frac{By}{-C}-1&=&0\\
\frac{x}{-C/A}+\frac{y}{-C/B}&=&1
    \end{eqnarray*}Selanjutnya dimisalkan $a=\frac{-C}{A}$ dan $b=\frac{-C}{B}$ sehingga diperoleh persamaan garis lurus yang memotong sumbu koordinat

\[\boldsymbol{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\]

atau\[bx+ay=ab\]Persamaan (3) memberikan informasi bahwa persamaan garis lurus tersebut memotong sumbu-x di titik $(a,0)$ dan sumbu-y di titik $(0,b)$.

Contoh Soal 2
Persamaan garis dengan yang memotong sumbu-$x$ di $(3,0)$ dan memotong sumbu-$y$  di titik $(0,-5)$ adalah
        \begin{equation*}
            \frac{x}{3}-\frac{y}{5}=1
        \end{equation*}

Persamaan Garis Lurus Bergradien dan Melalui Satu Titik

Pada persamaan garis yang sebelumnya, garis yang ditentukan dengan gradien m dan melalui titik potong sumbu-y mempunyai persamaan\[y=mx+b\]dengan m menyatakan gradien dan b menyatakan titik potong garis terhadap sumbu-y.

Jika garis ini melalui titik \((x_{1},y_{1})\) maka titik tersebut memenuhi persamaan yaitu\[y_{1}=mx_{1}+b\]atau\[b=y_{1}-mx_{1}\]Nilai \(b\) pada persamaan terakhir disubtitusikan pada persamaan (2) diperoleh

\[\boldsymbol{ y - y_{1} = m, ( x - x_{1} ) }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)\]

Persamaan garis lurus pada persamaan (4) di atas dinamakan bentuk gradien-titik.

Contoh Soal 3
Tentukan persamaan garis lurus yang bergradien 2 dan memotong sumbu-x di titik  \((3, 0)\) !

Pembahasan Soal 3
Berdasarkan persamaan (4) didapatkan persamaan garis lurus yang dimaksud, yaitu\[y - 0 = 2 ( x- 3) \]atau\[ y = 2x - 6\]

Persamaan garis Lurus Melalui Dua Titik

Pada aksioma geometri dasar tentang garis dikatakan bahwa dua titik menentukan tepat satu garis. Jadi garis lurus bisa ditentukan minimal dua titik yang dilalui.

Oleh karena itu, persamaan garis lurus yang melalui dua titik dapat dicari dengan cara berikut

Misalkan pada persamaan garis lurus (4) yang melalui titik \( ( x_{1}, y_{1})\) juga melalui titik \( (x_{2}, y_{2})\) sehingga gradien yang dibentuk dari dua titik tersebut sama dengan gradien garis pada persamaan (4).\[m=\frac{y_{1} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\]Oleh karena itu, persamaan garis lurus yang melalui dua titik  \( ( x_{1}, y_{1})\)  dan  \( (x_{2}, y_{2})\) menjadi

\[\boldsymbol{ y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}( x - x_{1} ) }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)\]

atau\[\frac{y- y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac {x - x_{1}} {x_{2} - x_{1}}\]
Persamaan (5) di atas disebut persamaan garis lurus bentuk dua-titik.

Contoh Soal 4
Persamaan titik yang melalui titik \((2,1)\) dan titik \( (1, 2)\) adalah\[y - 1 = \frac{ 2 -1 }{1 - 2} (x - 1)\]atau\[y-1 = - ( x - 1) \text{ atau } x + y -2=0\]

Jangan Lewatkan : Berapapun Angkamu, Kutebak!

Persamaan Garis Lurus Vertikal dan Horisontal

Persamaan garis lurus pada persamaan (2) - (5)  tidak bisa diaplikasikan pada garis yang vertikal. Hal ini disebabkan karena gradien pada garis vertikal tidak terdefinisi.

Meskipun demkian persamaan garis vertikal dan melalui titik \( (x_{1}, y_{1}) \) dapat didefinsikan dengan persamaan garis sebagai berikut

\[\boldsymbol{x = x_{1}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)\]

Sedangkan persamaan garis lurus yang horisontal dan melewati titik \( (x_{1}, y_{1}) \) adalah

\[\boldsymbol{y = y_{1}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(7)\]

Setelah mengetahui beberapa persamaan garis lurus, Anda bisa mengerjakan beberapa latihan berikut tentang persamaan garis

Latihan Soal Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus pada nomor 1 - 10 berikut, tentukan gradien dan titik potong potong sumbu garis lurus!

1. \( 3 x + y = 6 \)
2. \( 3 x - y - 3 = 0 \)
3. \( 6 x + 3 y = 5 \)
4. \( 2 x + 7 y = 0 \)
5. \(  x - 8y = 4 \)
6. \( 3 x + 3y = 1 \)

Tulis persamaan garis lurus pada soal 7 - 12 yang ditentukan oleh gradien m dan titik potong sumbu-y berikut

7. \( m = 3 ; b = 4\)
8. \( m = -1 ; b = 1\)
9. \( m = -\frac{7}{2} ; b = -8\)
10. \( m = -5 ; b = 0\)
11. \( m = 0 ; b = -2\)
12. \( m = 0 ; b = 0\)

Bagikan

Jangan lewatkan

Persamaan Garis Lurus

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq February 28, 2019 Komentar