Luas Segitiga Melalui Tiga Titik yang Diketahui

Hai sobat matematika...

Mencari luas segitiga merupakan salah satu kemampuan yang harus dimiliki oleh siswa SD. Luas segitiga yang paling dasar adalah dengan mengalikan setengah dengan alas dan tinggi segitiga tersebut.

$L_{\triangle}=\frac{1}{2}\times a \times t$ dengan

$a$ adalah alas dan

$t$ adalah tinggi segitiga.

Rumus luas segitiga lainnya yang dikenalkan adalah formula Heron yaitu

$L_{\triangle}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ dengan

$a, b, c$ adalah panjang sisi segitiga dan

$s$ adalah setengah keliling segitiga.

Semakin lanjut, pencarian luas segitiga semakin berkembang. Salah satunya jika melibatkan materi trigonometri. Luas segitiga pada bahasan trigonometri diajarkan di tingkat matematika SMA.

Penggunaan trigonometri pada pencarian luas segitiga diantaranya adalah

$\begin{eqnarray*} L_{\vartriangle} &=& \frac{1}{2}ab\sin C \\ L_{\vartriangle} &=& \frac{a^{2}\sin B \sin C}{2 \sin A} \end{eqnarray*}$ Selain itu juga luas segitiga juga bisa dilihat dari jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari lingkaran luar segitiga.

Jika diketahui jari-jari lingkaran luar maka luas segitiga dihitung dengan

$L_{\triangle}=\frac{abc}{4R}$ Sedangkan luas segitiga lingkaran dalam dicari dengan rumus

$L_{\triangle}=rs$ Bagaimana kalau masalah mencari luas segitiga jika diketahui melalui tiga titik?

Ide apa yang Anda lakukan dalam mencari luas segitiga yang melalui tiga titik ini. Misalkan titik

$A (x_{1},y_{1})$ ,

$B (x_{2},y_{2})$ dan

$C (x_{3},y_{3})$

Baik. mari kita lihat satu persatu kasus dan cara yang bisa kita tempuh untuk mencari luas segitiga dengan tiga titik yang diketahui.

Baca Juga : Bagaimana Matematikawan Menghemat Uang dengan Kunang-Kunang

Formula Heron

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa mencari luas segitiga bisa memanfaatkan formula Heron.

Rumus untuk mencari luas segitiga dengan cara ini mensyaratkan panjang setiap sisi segitiga harus diketahui.

Panjang setiap sisi ini bisa diperoleh dari mencari jarak dua titik sudut dari tiga titik yang diketahui. Katakanlah ingin mencari sisi panjang

$c = AB$ maka dicari dengan cara

$AB = c=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ Cara serupa juga digunakan untuk mencari panjang sisi

$BC$ dan

$AC$ .

$\begin{eqnarray*} BC = a &=& \sqrt{(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}} \\ AC = b &=& \sqrt{(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}} \\ \end{eqnarray*}$ Setelah diketahui nilai panjang sisi pada segitiga

$\triangle ABC$ yaitu

$a, b,$ dan

$c$ maka formula Heron bisa diaplikasikan untuk mencari luas segitiga.

Lihat contoh soal mencari luas segitiga melalui tiga titik yang diketahui berikut

Contoh Soal 1
Diberikan titik

$A(3,0), B(-1,4)$ dan

$C (-1,0)$ . Tentukan luas segitiga

$\triangle ABC$ yang dibentuk melalui tiga titik tersebut?

Pembahasan Contoh Soal 1
Panjang sisi-sisi segitiga

$\triangle ABC$ dicari dengan cara

$\begin{eqnarray*} BC = a &=& \sqrt{(-1 -(-1))^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{0+4^{2}}=4 \\ AC = b &=& \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(0 - 0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+0}=4 \\ AB = c &=& \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Langkah selanjutnya adalah mencari nilai

$s$ yaitu setengah nilai dari keliling

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+4\sqrt{2}}{2}=4+2\sqrt{2}$ Oleh karena itu luas segitiga

$\triangle ABC$ adalah

$\begin{eqnarray*} L_{\triangle ABC} &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=& \sqrt{(4+2\sqrt{2})~(4+2\sqrt{2}-4)~(4+2\sqrt{2}-4)~(4+2\sqrt{2}-4\sqrt{2})}\\ &=& \sqrt{(4+2\sqrt{2})~(2\sqrt{2})~(2\sqrt{2})~(4-2\sqrt{2})}\\ &=& \sqrt{(16-8)~(8)}\\ &=& \sqrt{8^{2}}\\ &=& 8 \end{eqnarray*}$ Spoiler : Jika dilihat letak ketiga titik tersebut, segitiga

$ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan alas

$BC$ dan

$AC$ .

Jarak Titik dan Garis

Metode yang satu ini akan menggunakan rumus mencari luas segitiga yang paling dasar yaitu

$L_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times t$ .

Metode ini merupakan penggabungan konsep jarak antara titik di luar garis dengan garis yang melalui dua titik.

Langkah-langkah yang diambil sebagai berikut

Ambil sebarang dua titik untuk membuat garis lurus.
Hitung jarak dua titik tersebut yang akan dijadikan alas
$a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
Buat persamaan garis lurus yang melalui dua titik tersebut dengan rumus
$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{y-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
Hitung jarak titik ke tiga dengan garis yang diperoleh pada langkah sebelumnya.
$t = \left|\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|$
Luas segitiga $\triangle ABC$ adalah setengah perkalian dari langkah 2 dan langkah 4.
$L_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times t$

Perhatikan contoh berikut untuk lebih mempermudah ilustrasi langkah-langkah di atas

Contoh Soal 2

Misalkan diberikan tiga titik seperti pada contoh soal 1, yaitu

$A(3,0), B(-1,4)$ dan

$C (-1,0)$ . Tentukan luas segitiga

$\triangle ABC$ yang dibentuk melalui tiga titik tersebut?

Pembahasan Contoh Soal 2

Ambil dua titik

$A$ dan

$B$ dan dihitung jarak

$AB$ yaitu

$AB = \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}$ Berikutnya menentukan persamaan garis yang melalui dua titik

$A(3,0)$ dan

$B(-1,4)$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} &=& \frac{y-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ \frac{y-0}{4 - 0} &=& \frac{x-3}{-1-3} \\ \frac{y}{4}&=&\frac{x-3}{-4}\\ y &=& -x+3\\ y+x-3&=&0 \end{eqnarray*}$ Langkah selanjutnya mencari tinggi

$t$ dari segitiga dengan cara mencari jarak titik

$C (-1,0)$ ke garis

$y+x-3=0$ .

$\begin{eqnarray*} t &=& \left|\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \\ &=& \left|\frac{-1+0-3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|\\ &=& \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ Jadi langkah terakhir adalah menghitung luas segitiga yaitu

$L_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} (4\sqrt{2}) ~(2\sqrt{2})=8$

Analisis Vektor

Karena vektor bisa direpresentasikan sebagai dua garis berarah di kooordinat kartesian, maka tiga titik yang diketahui juga bisa dipakai untuk membentuk vektor.

Jangan Lewatkan : Syarat-syarat fungsi dikatakan kontinu

#1. Perkalian Silang

Anda tentu masih ingat salah satu operasi di vektor ini, perkalian silang vektor

Perkalian silang dua vektor

$\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ dan

$\boldsymbol{\overrightarrow{AC}}$ menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor

$\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ dan

$\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ .

Lebih lanjut, panjang perkalian dua vektor ini merupakan luasan jajar genjang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut, yaitu

$\left|\boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\right|$ .

Jadi luas segitiga yang dibentuk oleh vektor

$\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ dan

$\boldsymbol{\overrightarrow{AC}}$ adalah

$L_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left|\boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\right|$ Misalkan diberikan tiga titik

$A (x_{1},y_{1})$ ,

$B (x_{2},y_{2})$ dan

$C (x_{3},y_{3})$ . Langkah untuk mencari luas segitiga bisa diberikan sebagai berikut

Tentukan vektor dua vektor yang dibentuk tiga titik tersebut yang saling berimpit yaitu $\begin{eqnarray*} \boldsymbol{\overrightarrow{AB}} &=& \left\langle x_{2}-x_{1} , y_{2}-y_{1}\right\rangle \\ \boldsymbol{\overrightarrow{AC}} &=& \left\langle x_{3}-x_{1} , y_{3}-y_{1}\right\rangle \end{eqnarray*}$
Berikutnya dicari setengah nilai perkalian silang dua vektor tersebut yang merupakan luas segitiga tersebut
$L_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \left| \boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}} \right| = \frac{1}{2} \left| (x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1} )(y_{2}-y_{1})\right|$

Mari kita lihat contoh soal berikut untuk lebih bisa memahami penerapan konsep di atas

Contoh Soal 3

Hitung luas segitiga yang dibentuk dari tiga titik berikut

$A(3,0), B(-1,4)$ dan

$C (-1,0)$ !

Pembahasan Contoh Soal 3

Berdasarkan langkah terakhir pada tahapan di atas dapat dihitung langsung luas segitiga

$\begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) L_{\triangle ABC} &=& \frac{1}{2} \left| (x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1} )(y_{2}-y_{1})\right| \\ &=& \frac{1}{2} \left|(-1-3)(0-0)-(-1-3)(0-4)\right|\\ &=& \frac{1}{2} |(-4)(0)-(-4)(-4)|\\ &=& \frac{1}{2}(16)=8 \end{eqnarray*}$

Kesimpulan

Luas segitiga yang melalui tiga titik dapat dikerjakan dengan tiga metode yaitu formula Heron, Jarak titik ke garis dan melalui perkalian silang dua vektor.

Berdasarkan penjelasan di atas, tentunya Anda akan memilih metode terakhir karena langsung menggunakan koordinat titik tersebut untuk digunakan dalam menghitung luas segitiga yang diinginkan.

$--\star\star$ Mari Bermatematika dengan Ceria

$\star\star--$