Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan Riil

analisis riil universitas

Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan Riil

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 29, 2020 Komentar

Teorema Bolzano-Weierstrass yang akan kita bahas sebentar lagi menjelaskan perilaku subbarisan dari barisan bilangan riil \(X=\left(x_{n}\right)\) yang terbatas.

Kita tahu bahwa untuk sebarang barisan akan mempunyai subbarisan yang monoton. Namun bagaimana kalau barisan tersebut terbatas? Apa yang bisa kita lihat dengan subbarisanya?

Mari kita lihat teorema terkenal yang disebut dengan teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan berikut

Teorema (Bolzano-Weierstrass) Setiap barisan yang terbatas mempunyai subbarisan yang konvergen

Bukti Misalkan $ X $ adalah barisan bilangan riil terbatas. Berdasarkan teorema subbarisan monoton maka barisan $ X $ mempunyai subbarisan yang monoton, misal $ X' $. Karena $ X $ terbatas, subbarisan $ X' $ juga terbatas. Jadi $ X' $ adalah barisan monoton dan terbatas sehingga berdasarkan teorema kekonvergenan barisan monoton subbarisan tersebut konvergen. QED

Contoh
Barisan $ (x_{n})=\left((-1)^{n}: n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan terbatas dan mempunyai subbarisan\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ -1 $ dan subbarisan\[\left(1,1,1,1, \cdots, (-1)^{2k},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ 1 $.

Contoh di atas menunjukkan bahwa barisan yang terbatas mempunyai banyak jenis subbarisan. Ada yang konvergen ke limit yang berbeda ada juga (bahkan) yang divergen.

Misalkan barisan \(X\) dari bilangan riil dan \(X'\) adalah subbarisan dari $X$. Selanjutnya, \(X'\) sendiri adalah barisan yang juga mempunyai subbarisan, misalkan \(X''\).

Karena \(X''\) merupakan subbarisan \(X'\) maka \(X''\) juga subbarisan dari \(X\).

Lalu bagaimana jika subbarisan tersebut semua konvergen ke bilangan yang sama? Teorema berikut menjelaskan perilaku subbarisan yang demikian

Teorema 2. Misalkan $X= (x_{n}) $ barisan riil yang terbatas dan setiap subbarisan dari $ (x_{n}) $ yang konvergen mempunyai limit di $ x $. Maka barisan $ (x_{n}) $ konvergen ke $ x $

Bukti Misalkan $ M>0 $ batas dari barisan sedemikian sehingga $ \left|x_{n}\right| \leq M$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Andaikan barisan $ (x_{n}) $ tidak konvergen ke $ x $ maka terdapat $ \varepsilon_{0}>0 $ dan subbarisan $ X'=(x_{n_{k}}) $\[\left|x_{n_{k}}-x\right| \geq \varepsilon_{0}\qquad\text{untuk semua }k \in \mathbb{N}\qquad \qquad(1)\]Karena $ X' $ subbarisan maka terbatas juga dengan $ M $ dan mempunyai subbarisan $ X" $ yang konvergen ke $ x $. Akibatnya suku-suku dari $ X" $ ini berada di persekitaran-$ \varepsilon_{0} $ atau $ \left|x_{n_{k'}}-x\right|<\varepsilon_{0} $. Kontradiksi dengan persamaan (1). Pengandaian salah. Yang benar barisan $ X $ konvergen ke $ x $.  QED

Contoh
Barisan $ X= (x_{n}) = \left(\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right)$ terbatas oleh 1, yaitu $ \left|x_{n}\right| \leq 1$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Subbarisan dari $X $ di antaranya\begin{eqnarray*}X'&=& \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} \cdots , \frac{1}{2k}, \cdots \right) \\X''&=& \left(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \cdots , \frac{1}{2k-1}, \cdots \right) \\X'''&=& \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9} \cdots , \frac{1}{3k}, \cdots \right) \\X''''&=& \left(\frac{1}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15} \cdots , \frac{1}{5k}, \cdots \right)\end{eqnarray*}yang semua subbarisan tersebut konvergen ke 0.

Untuk lebih jelas silahkan lihat video penjelasan saya di bawah

Baca selengkapnya

Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

analisis riil universitas

Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2020 Komentar

Sebarang barisan yang diberikan belum tentu monoton. Akan tetapi kita bisa memastikan bahwa sebarang barisan tersebut pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

 Anda tahu tidak kalau diberikan sebarang barisan bilangan riil maka kita pasti tentu tidak bisa menyebut barisan tersebut monoton.

Bisa jadi barisan tersebut tidak monoton. Ya karena memang ada barisan yang tidak monoton. Seperti barisan\[\left(\sin n : n \in \mathbb{N}\right)\]yang bukan barisan monoton, tapi barisan yang naik dan barisan yang turun sekaligus.

Meskipun demikian, kita bisa memastikan bahwa di dalam sebarang barisan bilangan riil \(X=\left(x_{n}\right)\)  pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

Loh koq bisa? Mari simak teorema berikut ini !

Teorema 1. Jika $ X=(x_{n}) $ merupakan barisan bilangan riil maka terdapat subbarisan dari $ X $ yang monoton

Bukti : Untuk membuktikan teorema 1, kita katakan suku ke-m , yaitu \(x_{m}\), sebagai 'puncak" jika\[x_{m} \geq x_{n}\]untuk semua \(n\) sedemikian sehingga \(n \geq m\). Jadi suku \(x_{m}\) ini tidak akan lebih kecil dari suku setelahnya.

Bisa dilihat bahwa, jika barisan $ X=(x_{n}) $ turun maka semua sukunya menjadi puncak dan jika barisan naik maka tidak ada suku puncak di dalamnya.

Di sini akan dilihat dari dua kasus, barisan yang mempunyai tak hingga banyak puncak dan barisan dengan berhingga banyak puncak.

KASUS 1; Jika $ X=(x_{n}) $ mempunyai tak hingga banyak puncak, maka untuk kumpulan suku puncak dapat diurutkan sebagai berikut\[x_{m_{1}}, x_{m_{2}}, x_{m_{3}},\cdots, x_{m_{k}},\cdots\]Karena setiap suku pada barisan di atas adalah puncak maka kita memperoleh\[x_{m_{1}} \geq  x_{m_{2}} \geq  x_{m_{3}} \geq  \cdots \geq  x_{m_{k}} \geq \cdots\]Jadi barisan \(\left(x_{m_{k}}\right)\) adalah subbarisan yang turun dari barisan $ X=(x_{n}) $.

KASUS 2; Jika $(x_{n})$ mempunyai berhingga puncak, yaitu \[ x_{m_{1}},x_{m_{2}},\cdots,x_{m_{r}}\]Misalkan $ s_{1}:=m_{r}+1 $ adalah indeks pertama di luar puncak terakhir. Karena $ x_{s_{1}} $ bukan puncak, maka ada $ s_{2} >s_{1}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{1}}<x_{s_{2}} $. Karena $ x_{s_{2}} $ juga bukan puncak maka ada $ s_{3} >s_{2}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{2}}<x_{s_{3}} $.

Proses ini dilanjutkan sehingga terbentuk barisan $ (x_{s_{k}}) $ yang merupakan subbarisan naik dari $ X $. Teorema 1 terbukti. QED

Contoh

Barisan $ (x_{n})=\left(\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan yang konvergen dan monoton turun. Barisan \((x_{n})\) juga mempunyai subbarisan turun\[\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\cdots, \frac{1}{2k},\cdots\right)\]Sedangkan barisan $ (y_{n}) =(-1)^{n}$ bukan merupakan barisan monoton. Tapi barisan \((y_{n})\) mempunyai subbarisan monoton\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]

Baca selengkapnya

Barisan Fungsi Bernilai Riil

analisis riil universitas

Barisan Fungsi Bernilai Riil

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 12, 2019 Komentar

Barisan fungsi adalah barisan \((f_{n})\) dengan \(f_{n}: A \rightarrow \mathbb{R}\) dan \(A \subseteq \mathbb{R}\).

Jadi barisan fungsi adalah barisan yang setiap sukunya berupa fungsi yang memetakan dari himpunan bagian bilangan riil \(\mathbb{R}\) ke himpunan \(\mathbb{R}\) itu sendiri.

Jelas bahwa jika untuk setiap \(x \in A\) akan menentukan suatu barisan bilangan riil, yaitu\[\left(f_{n}(x)\right)\]
Contoh Soal 1
Misalkan fungsi \(f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan\[f_n(x):=x^{n}\]Barisan fungsi \(\left(f_{n}\right)\) adalah barisan\[\left(f_{n}\right)=\left(x, x^{2},x^{3},x^{4},\cdots\right)\]Untuk \(x=2\) maka barisan \(\left(f_{n}(2)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(2)\right)=\left(2,4,8,16,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil divergen. Sedangkan \(x=1\) maka barisan \(\left(f_{n}(1)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(1)\right)=\left(1,1,1,1,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil konvergen ke \(x=1\).


Pada contoh 1 menunjukkan bahwa untuk suatu barisan fungsi \((f_{n})\) bisa saja menentukan kekonvergenan yang berbeda dari  barisan bilangan riil \((f_{n}(x))\) dengan nilai \(x \in A\) yang berbeda.

Bagaimana degan definisi kekonvergenan dari barisan fungsi \((f_{n})\) sendiri?

DEFINISI
Misalkan \(\left(f_{n}\right)\) merupakan barisan fungsi pada \( A \subseteq \mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) dan \(A_{0} \subseteq A\) dan \(f:A_{0} \rightarrow \mathbb{R}\).
Barisan \(\left(f_{n}\right)\) dikatakan konvergen pada $A_{0}$ ke fungsi $ f $ jika dan hanya jika untuk setiap $ x \in A_{0} $ barisan $ \left(f_{n}(x)\right) $ konvergen ke $ f(x) $ di $ \mathbb{R} $.

Jika fungsi $ f $ tersebut ada, maka barisan $ \left(f_{n}\right) $ dikatakan konvergen pada $ A_{0} $ atau $ \left(f_{n}\right)$ konvergen sepotong-sepotong di $ A_{0} $.

Barisan $ \left(f_{n}\right) $ konvergen ke $ f $ dinotasikan dengan\[f=\lim \left(f_{n}\right)\]atau\[f_{n} \rightarrow f\]
Contoh 2
Barisan $ \left(f_{n}\right) $ dengan $ f_{n}=\frac{x}{n} $ konvergen ke $ f $ dengan $ f(x)=0 $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $,\[\frac{x}{n} \rightarrow 0\]Hal ini dikarenakan pada teorema limit yang menunjukkan bahwa\[\lim \left(f_{n}(x)\right)=\lim \frac{x}{n} = x \lim \frac{1}{n}=x \cdot 0=0\]untuk semua $ x \in \mathbb{R}$.


Contoh 3
Misalkan $ g_{n}(x):=x^{n} $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $, $ n \in \mathbb{N} $
Untuk $ x=1 $ maka $ \lim g_{n}(1) =1 $. Sedangkan untuk $ 0 \leq x < 1 $ dan $ -1<x<0 $ berlaku \[ \lim g_{n}(x) = \lim x^{n} = 0 \].
Akan tetapi untuk $ x=-1 $ barisan $ \left(g_{n}(-1)\right)=\left(-1\right)^{n} $ divergen.
Mirip juga, untuk $ |x|>1 $ menghasilkan barisan $ \left(g_{n}\right)=\left(x^{n}\right) $ tak terbatas sehingga divergen.
Oleh karena itu barisan $ \left(g_{n}\right) $ konvergen pada $ (-1,1] $ ke fungsi $ g $, dengan\[g(x):=\left\{\begin{array}{ll}0&\quad \text{untuk }-1<x<1  \\ 1& \quad \text{untuk }x=1 \end{array} \right.\]
Contoh 4
Misalkan $ h_{n}(x)=\frac{x^{2}+nx}{n} $ untuk setiap $ x \in \mathbb{R} $ dan $ n \in \mathbb{N} $ dan $ h(x)=x $ untuk $ x \in \mathbb{R} $. Maka\[\frac{x^{2}+nx}{n} \rightarrow x\]untuk semua $ x \in \mathbb{R} $. Atau\[\lim \left(\frac{x^{2}+nx}{n}\right)=x\qquad\text{untuk } x \in \mathbb{R}\]

Baca selengkapnya

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

analisis riil universitas

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2019 Komentar

Soal 001

Misalkan \(f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan \(f(x):=-(x^x)\). Tunjukkan \(f^{-1}\) monoton murni dan kontinu di \(f([1,\infty) )\)!

Pembahasan Soal 001

Ambil sebarang \(a,b \in [1,\infty)\) dengan \(a<b\) maka diperoleh\begin{eqnarray*}
a&<&b\\
a^a&<&b^b\\
-\left(a^a\right)&>&-\left(b^b\right)\\
f(a)&>&f(b)
\end{eqnarray*}Jadi fungsi \(f\) turun murni pada interval \([1,\infty) \)

Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa \(\lim\limits_{x \rightarrow c} -(x^x) = - (c^c) \) sehingga fungsi \(f\) kontinu.

Berdasarkan teorema invers monoton fungsi maka invers fungsi \(f\) yaitu \(f^{-1}\) merupakan fungsi yang turun murni dan kontinu pada interval \(f([1,\infty) )\). \(\blacksquare\)

Soal 002

Misalkan \(n \in \mathbb{N}\) dan fungsi \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    g(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{n}, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}Tentukan nilai \(n\) sedemikian sehingga \(g'\) kontinu di \(x=0\) dan nilai \(n\) sehingga \(g'(0)\) ada ! Jelaskan !

Pembahasan Soal 002

Klaim bahwa fungsi \(g''(0)\) ada untuk \(n \geq 2\).

Bukti : Untuk \(n=2\) dan untuk sebarang \(x \in \mathbb{R}\) diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                   2, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Jadi \(g''(0) = 2\) sehingga berdasarkan teorema maka fungsi \(g'\) kontinu di \(x=0\).

Andaikan \(g''(0)\)  ada untuk \(n=k\) , yaitu \(g''(0)=k(x^{k-1})=0\). Maka berdasarkan sifat pada turunan diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                 (k+1)(k)x^{k-1}  , & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Berdasarkan asumsi, \(g'(x)=k(x^{k-1})\) ada. Terbukti bahwa \(g''(0)\) ada.

Teorema mengatakan bahwa \(f'\) ada maka \(f\) kontinu. Oleh karena itu \(g'\) kontinu di \(x=0\) untuk \(n \geq 2\).

Soal 003

Misalkan \(x>y>0\) dan \(n \in \mathbb{N}\) dan \(n \geq 2\). Buktikan bahwa \(x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} < (x - y)^{\frac{1}{n}}\) !

Pembahasan Soal 003

Misalkan suatu fungsi didefinisikan dengan\[g(x):=x^{\frac{1}{n}} - (x-1)^{\frac{1}{n}}\]dengan \(n \in \mathbb{N}, n \geq 2\).

Bisa ditunjukkan bahwa fungsi \(g\) tersebut fungsi yang turun. Karena untuk sebarang \(x,y\) berlaku \(x>y\) sehingga\begin{eqnarray*}1&<&\frac{x}{y}\\g(1)&>&g\left(\frac{x}{y}\right)\\
1&>&\frac{x^{\frac{1}{n}}-(x-y)^{\frac{1}{n}}}{y^{\frac{1}{n}}} \\ (x - y)^{\frac{1}{n}}&>&x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}

Soal 004

Diberikan suatu fungsi \(h:[-10,10] \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    h(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{2}, & -10 \leq x \leq -1 \\
                   sgn(x), & -1 \leq x \leq 1 \\
                   -(x^{x}), & 1 \leq x \leq 10
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}
  Selidiki apakah \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\)! Jelaskan !

Pembahasan Soal 004

Bisa dilihat bahwa restriksi fungsi \(h\) pada setiap interval merupakan kelas fungsi terintegralkan Riemann sehingga fungsi \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\) berdasarkan teorema penjumlahan integral.

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-10,-1] yaitu\[h_{|_{[-10,-1]}}:=x^2\]merupakan fungsi kontinu sehingga berada di \(\mathcal{R}[-10,-1]\).

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-1,1] yaitu\[h_{|_{[-1,1]}}:=sgn(x)\]merupakan fungsi tangga sehingga berada di \(\mathcal{R}[-1,1]\)

Terakhir, restriksi fungsi \(h\) pada interval [1,10] yaitu\[h_{|_{[1,10]}}:=-(x^x)\]merupakan fungsi monoton sehingga berada di \(\mathcal{R}[1,10]\).

Baca selengkapnya

Invers Fungsi Monoton Yang Kontinu

analisis riil universitas

Invers Fungsi Monoton Yang Kontinu

Mohammad Mahfuzh Shiddiq February 27, 2019 Komentar

Invers suatu fungsi \(f : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) belum tentu ada, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi suatu fungsi mempunyai invers.

Salah satu syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut merupakan fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Berikut teorema yang menyebutkan syarat cukup eksistensi invers suatu fungsi.

TEOREMA 1
Suatu fungsi \( f : I \rightarrow  \mathbb{R}\) mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi \(f\) merupakan fungsi injektif

Pada fungsi injektif \(f\), sebarang \(x, y \in I\) dengan \( x \neq y\) mengakibatkan \(f(x) \neq f(y)\).

Fungsi yang termasuk golongan ini salah satunya fungsi yang monoton murni, yaitu fungsi naik murni atau kalau tidak fungsi turun murni.

Jadi fungsi monoton murni, berdasarkan teorema 1 di atas, pasti mempunyai invers (balikan) fungsi.

Baca Juga : Latihan Soal Analisis Riil

Bagaimana perilaku invers dari suatu fungsi monoton sekaligus kontinu tersebut dapat dilihat dari teorema 2 berikut

TEOREMA 2
Misalkan $I \subseteq \mathbb{R}$ adalah interval, $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ monoton murni pada dan kontinu pada $I$.Maka $g$ fungsi invers dari $f$ monoton murni dan kontinu pada $J:=f(I)$

Teorema 2 di atas menjelaskan bahwa ternyata suatu fungsi yang monoton murni dan kontinu di interval \(I\) mempunyai invers fungsi yang monoton murni dan kontinu juga.

Perhatikan contoh berikut

Contoh

Misalkan diberikan fungsi \(f : I \rightarrow \mathbb{R} \) dengan \( I : = [0,1] \) dan\[f(x):=x\]Pertama akan ditunjukkan fungsi \(f\) monoton murni di \(I\). Untuk hal ini, ambil sebarang \(a,b \in I\) dengan \(a < b\) sehingga berlaku\begin{eqnarray*}
       a&<&b \\
       f(a)&=& f(b)
    \end{eqnarray*}

Berdasarkan definisi fungsi naik, fungsi \(f\) merupakan fungsi naik murni. Jadi \(f\) monoton murni di \(I\).

Selanjutnya ditunjukkan bahwa fungsi \(f\) kontinu di \(I\). Untuk sebarang \(c \in I\), ambil sebarang \(\varepsilon > 0\) dan pilih \(\delta(\varepsilon )= \varepsilon\) sedemikian sehingga untuk \(|x-c|<\delta\) berlaku\begin{eqnarray*}
       |x - c| &<&\delta\\
       |f(x) - f(c)|&<&  \varepsilon
    \end{eqnarray*} Karena nilai \(c\) sebarang, maka fungsi \(f\) kontinu di \(I\).

Fungsi \(f(x)\) mempunyai invers fungsi yaitu\begin{eqnarray*}
       f(x) &=&x\\
       y&=&  x
    \end{eqnarray*}Jadi fungsi invers dari \(f(x) \) adalah \(f^{-1}(x)=x\) yang juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada \(f(I)\). Pembuktian \(f^{-1}(x)=x\) fungsi naik murni dan kekontinuan sama dengan pembuktian fungsi \(f(x)\) naik murni dan kontinu.

Baca selengkapnya

Latihan Soal Analisis Riil

analisis riil universitas

Latihan Soal Analisis Riil

Mohammad Mahfuzh Shiddiq July 18, 2018 1 Komentar

Soal

Soal No. 1
Tunjukkan bahwa jika $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi genap dan mempunyai turunan pada setiap titik, maka turunan $f'$ adalah fungsi ganjil!

Soal No. 2
Jika $J$ adalah sebarang subinterval dari $[a,b]$ dan didefinisikan fungsi tangga dasar $\varphi_{J}$ sebagai berikut $$\varphi_{J}(x):=\left\{\begin{array}{cc}  1  &\text{jika }x \in J  \\   0 &\text{jika }x \not\in J  \end{array}   \right.$$

Soal No. 3
Tunjukkan bahwa setiap fungsi tangga adalah kombinasi linier dari fungsi tangga dasar!

3. Misalkan $a_{k},b_{k} \geq 0$ untuk semua $k$. Buktikan bahwa jika $\sum a_{k}$ konvergen dan $(b_{k})$ adalah barisan terbatas maka deret $\sum a_{k}b_{k}$ konvergen !

Soal No. 4
Misalkan $(\mathbb{R}^{2},d)$ adalah ruang metrik dan $$B=\{(\xi_{1},\xi_{2}) \in \mathbb{R}^{2} : 1\leq \xi_{1} < 2, \xi_{2}=4\}.$$ Untuk setiap $\textbf{x}=(\xi_{1},\xi_{2}), \textbf{y}=(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ didefinisikan $$  d(\textbf{x},\textbf{y}):=\left\{\begin{array}{cc}\alpha, & ~~~~\text{jika } \textbf{x}\neq \textbf{y} \\  0, & ~~~~\text{jika } \textbf{x} = \textbf{y}\end{array}\right.$$ dengan $\alpha \in \mathbb{R}$ dan $\alpha >0$. 

a). Untuk sebarang $\textbf{p}=(p_{1},p_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ dan sebarang bilangan riil $\varepsilon>0$, tentukan $B_{\varepsilon}(\textbf{p})$ !
b). Tentukan $int(B), B'$ dan $\partial(B)$ !

Solusi

Soal No. 1
Karena $f$ fungsi genap maka $f(-x)=f(x)$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Berdasarkan definisi dapat dilihat bahwa untuk sebarang $c \in \mathbb{R}$ berlaku$$\begin{eqnarray*}f'(-c) &=& \lim_{x\rightarrow -c}\frac{f(x)-f(-c)}{x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}\frac{f(-x)-f(c)}{-x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}-\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right) \\&=&  -f'(c)\end{eqnarray*}$$Karena $c \in \mathbb{R}$ sebarang maka $f'$ adalah fungsi ganjil.

Soal No. 2
Misalkan $J_{1}, \ldots, J_{n}$ adalah subinterval yang tidak saling overlap dari interval $[a,b]$ dan $c_{k}$ adalah konstanta sedemikian sehingga fungsi tangga $$s_{k}(x)=c_{k}$$untuk $x \in J_{k}$ dengan $k=1,\ldots,n$. Berikutnya ambil sebarang $x_{0} \in J_{i}$ untuk suatu $i$, maka $$\begin{eqnarray*}  \sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}(x_{0}) &=& c_{1}\varphi_{J_{1}}(x_{0})+\cdots+c_{i}\varphi_{J_{i}}(x_{0})+\cdots+c_{n}\varphi_{J_{n}}(x_{0}) \\      &=& c_{1} \cdot 0+\cdots +c_{i} \cdot 1+\cdots+c_{n} \cdot 0\\ &=& c_{i}\\  &=& s_{i}(x_{0}) \end{eqnarray*} $$Karena $x_{0}$ sebarang maka $s_{k}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}$.

Soal No. 3
Barisan $(b_{k})$ terbatas, maka terdapat $M>0$ sedemikian sehingga $|b_{k}| \leq M$. Karena $a_{k},b_{k} \geq 0$ untuk semua $k$ sehingga $$0 \leq a_{k}b_{k} \leq M~a_{k}$$ Deret $\sum a_{k}$ konvergen, begitu juga $\sum M~a_{k}$. Berdasarkan uji perbandingan maka didapatkan deret $\sum a_{k}b_{k}$ konvergen.

Soal No. 4
Diketahui $X=\mathbb{R}^{2}$
a). Bola buka $B_{\varepsilon}(\textbf{p})$ adalah himpunan $$B_{\varepsilon}(\textbf{p})=\left\{\begin{array}{cc}                                            \{\textbf{p}\}  & \text{jika } \varepsilon \leq \alpha \\                                            \mathbb{R}^{2} & \text{jika } \varepsilon > \alpha                                           \end{array}        \right.$$
b). Selanjutnya Anda bisa kerjakan sendiri.hehe

Baca selengkapnya