Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan Riil

Teorema Bolzano-Weierstrass yang akan kita bahas sebentar lagi menjelaskan perilaku subbarisan dari barisan bilangan riil $X=\left(x_{n}\right)$ yang terbatas.

Kita tahu bahwa untuk sebarang barisan akan mempunyai subbarisan yang monoton. Namun bagaimana kalau barisan tersebut terbatas? Apa yang bisa kita lihat dengan subbarisanya?

Mari kita lihat teorema terkenal yang disebut dengan teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan berikut

Teorema (Bolzano-Weierstrass) Setiap barisan yang terbatas mempunyai subbarisan yang konvergen

Bukti Misalkan $ X $ adalah barisan bilangan riil terbatas. Berdasarkan teorema subbarisan monoton maka barisan $ X $ mempunyai subbarisan yang monoton, misal $ X' $. Karena $ X $ terbatas, subbarisan $ X' $ juga terbatas. Jadi $ X' $ adalah barisan monoton dan terbatas sehingga berdasarkan teorema kekonvergenan barisan monoton subbarisan tersebut konvergen. QED

Contoh
Barisan $ (x_{n})=\left((-1)^{n}: n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan terbatas dan mempunyai subbarisan\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ -1 $ dan subbarisan\[\left(1,1,1,1, \cdots, (-1)^{2k},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ 1 $.

Contoh di atas menunjukkan bahwa barisan yang terbatas mempunyai banyak jenis subbarisan. Ada yang konvergen ke limit yang berbeda ada juga (bahkan) yang divergen.

Misalkan barisan $X$ dari bilangan riil dan $X'$ adalah subbarisan dari $X$. Selanjutnya, $X'$ sendiri adalah barisan yang juga mempunyai subbarisan, misalkan $X''$.

Karena $X''$ merupakan subbarisan $X'$ maka $X''$ juga subbarisan dari $X$.

Lalu bagaimana jika subbarisan tersebut semua konvergen ke bilangan yang sama? Teorema berikut menjelaskan perilaku subbarisan yang demikian

Teorema 2. Misalkan $X= (x_{n}) $ barisan riil yang terbatas dan setiap subbarisan dari $ (x_{n}) $ yang konvergen mempunyai limit di $ x $. Maka barisan $ (x_{n}) $ konvergen ke $ x $

Bukti Misalkan $ M>0 $ batas dari barisan sedemikian sehingga $ \left|x_{n}\right| \leq M$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Andaikan barisan $ (x_{n}) $ tidak konvergen ke $ x $ maka terdapat $ \varepsilon_{0}>0 $ dan subbarisan $ X'=(x_{n_{k}}) $\[\left|x_{n_{k}}-x\right| \geq \varepsilon_{0}\qquad\text{untuk semua }k \in \mathbb{N}\qquad \qquad(1)\]Karena $ X' $ subbarisan maka terbatas juga dengan $ M $ dan mempunyai subbarisan $ X" $ yang konvergen ke $ x $. Akibatnya suku-suku dari $ X" $ ini berada di persekitaran-$ \varepsilon_{0} $ atau $ \left|x_{n_{k'}}-x\right|<\varepsilon_{0} $. Kontradiksi dengan persamaan (1). Pengandaian salah. Yang benar barisan $ X $ konvergen ke $ x $. QED

Contoh
Barisan $ X= (x_{n}) = \left(\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right)$ terbatas oleh 1, yaitu $ \left|x_{n}\right| \leq 1$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Subbarisan dari $X $ di antaranya\begin{eqnarray*}X'&=& \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} \cdots , \frac{1}{2k}, \cdots \right) \\X''&=& \left(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \cdots , \frac{1}{2k-1}, \cdots \right) \\X'''&=& \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9} \cdots , \frac{1}{3k}, \cdots \right) \\X''''&=& \left(\frac{1}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15} \cdots , \frac{1}{5k}, \cdots \right)\end{eqnarray*}yang semua subbarisan tersebut konvergen ke 0.

Untuk lebih jelas silahkan lihat video penjelasan saya di bawah