Teorema Roole dan Teorema Nilai Rata-Rata

Hai sobat matematika

Anda tentu masih belum lupa kapan suatu fungsi mempunyai nilai ekstrim kan?

Suatu fungsi bisa saja mempunyai nilai ekstrim, nilai maksimum atau nilai minimum diantara dua tempat, yaitu di dalam interval tutup \( [a, b] \) atau di titik ujung-ujung interval tersebut yaitu titik \( x =a \) atau titik \( x = b \).

Tepatnya pada teorema nilai ekstrim yang menyatakan fungsi yang kontinu di interval tertutup \( [a,b] \) pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum di interval. Dua nilai ekstrim tersebut bisa saja terjadi di titik ujung interval yaitu titik \( x = a \) atau \( x = b \).

Ada suatu kasus pada suatu fungsi tertentu dimana nilai ekstrim terletak di dalam interval tutup \( [a,b]\).

Teorema Roole

Teorema Roole sedikit memberikan perbedaan jika dibandingkan dengan teorema nilai ekstrim. Eksistensi nilai ektrim dijamin berada di dalam interval buka \( (a,b )\) bukan di titik ujung interval tutup tersebut.

Mari kita lihat teorema Rolle

TEOREMA ROOLE
Misalkan fungsi \( f \) kontinu di interval tertutup \( [ a, b] \) dan dapat diturunkan pada interval buka \( ( a, b ) \). Jika \[f(a) = f(b)\]maka terdapat paling tidak satu bilangan \( \boldsymbol{c} \) di \( (a,b) \) sedemikian sehingga\[ \boldsymbol{ f'(x) = 0 } \]

Teorema rolle di atas mensyaratkan fungsinya harus kontinu dan ada turunnya di interval buka dan nilai fungsi di titik ujung sama supaya menjamin ada nilai ekstrim di dalam interval buka.

Untuk memberikan ilustrasi dari teorema rolle, perhatikan contoh berikut

Contoh Soal 1 ILUSTRASI TEOREMA ROLLE
Temukan titik potong sumbu \(x\) dari fungsi \( f(x) = x^{2} - 3x + 2 \) dan tunjukkan bahwa \( f'(x) = 0 \) pada suatu titik diantara titik potong tersebut!

Pembahasan Contoh Soal 1
diketahui bahwa fungsi polinom \( f(x) \) dapat diturunkan di garis riil. Untuk mencari titik potong fungsi terhadap sumbu \( x\) dengan mensubtitusikan \( f(x) = 0 \) sehingga
\begin{eqnarray*}
x^{2} - 3x + 2&=& 0 \\
(x-1)(x-2) &=&
\end{eqnarray*}Jadi titik potong fungsi terhadap sumbu \( x\) adalah \( x = 1 \) dan \( x= 2\), atau \( f(1) = 0 \) dan \( f(2) = 0 \).

Berdasarkan teorema Rolle, terdapat bilangan \( c \) di \( (1,2)\) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \). Mencari nilai \( c\) dengan cara
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 2x-3 \\
0 &=& 2x - 3 \\
x &=& \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}Oleh karena itu nilai \(c=\frac{3}{2} \in (1,2)\) sedemikian sehingga \(f'\left(\frac{3}{2}\right)=0\).

Teorema Rolle mengatakan eksistensi nilai \(c\) dengan kalimat paling tidak. Artinya tidak menutup kemungkinan terdapat nilai \( c\) lebih dari satu sedemikian sehingga \( f'(c) = 0 \).

Contoh Soal 2
Diberikan fungsi \(f(x)=x^{4} - 2 x^{2} \). Cari nilai \( c \) di interval \( ( -2, 2) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \)!

Pembahasan Contoh Soal 2
Fungsi \( f(x) \) kontinu di interval \( [-2,2] \) dan dapat diturunkan di interval buka \( ( -2, 2) \) dan \( f(-2)= f(2) = 8 \). Jadi teorema Rolle bisa dipakai dan menjamin terdapat \( c \) di interval \( ( -2, 2) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \).

Pertama mencari nilai turunan dari fungsi \( f(x) \) kemudian mensetting nilai \( f'(x)=0 \)
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 4x^{3} \\
4x(x-1)(x+1) &=& 0 \\
x=0,~x=1, &&x=-1
\end{eqnarray*}Jadi nilai \( c \) yang dimaksud adalah \( \{-1, 0, 1\}\).

Teorema Rolle bisa digunakan untuk membuktikan sebuah teorema yang terkenal yaitu teorema nilai rata-rata.

Baca Juga : Latihan Soal Turunan Fungsi

Teorema Nilai Rata-Rata

Salah satu teorema penting di analisis matematika adalah teorema nilai rata-rata. Teorema ini mempunyai banyak aplikasi.

Tidak hanya aplikasi dalam teori matematika sendiri, juga terdapat kegunaaan dalam matematika terapan.

Tapi Anda tidak perlu repot-repot kesana dulu. Pertama kali, Anda harus mengerti dahulu bunyi dari teorema ini.

TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika fungsi \( f \) kontinu di interval tertutup \( [ a, b] \) dan dapat diturunkan di interval buka \( (a,b) \), maka terdapat bilangan \( c\) di \( ( a, b) \) sedemikian sehingga\[ \boldsymbol{ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{ b - a} }\]

Secara geometri, teorema nilai rata-rata di atas menunjukkan jaminan eksistensi garis singgung kurva yang sejajar dengan garis potong kurva yang melalui titik \( (a, f(a)) \) dan \( (b, f(b)) \).

Perhatikan contoh berikut untuk memahami penerapan teorema nilai rata-rata.

Contoh Soal 3
Diberikan fungsi \( f(x) = 5 - \left( \frac{4}{x} \right)\). Temukan semua nilai \( c \) di dalam interval buka \( (1,4 ) \) sedemikian sehingga \[f'(c)=\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}\]
Pembahasan Contoh Soal 3
Gradien garis potong kurva yang melalui dua titik \( (1, f(1)) \) dan \( (4, f(4)) \) yaitu\[m_{g_{1}}=\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}=1\]Karena \(f\) kontinu di interval \( [1,4 ] \) dan dapat diturunkan pada interval \( (1,4 ) \), maka berdasarkan teorema nilai rata-rata menjamin terdapat nilai \( c\) di \( (1,4 ) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=1 \). Jadi
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{4}{x^{2}} \\
1 &=& \frac{4}{x^{2}}\\
x &=& \pm 2
\end{eqnarray*}Oleh karena itu didapatkan \( c = 2 \) di \( (1,4 ) \) seperti yang diinginkan. (Lihat gambar di bawah)

Jangan lewatkan : Apa sih fungsi kontinu itu?

Agar lebih memantapkan pengetahuan Anda tentang teorema rolle dan teorema nilai rata-rata, kerjakan latihan berikut

LATIHAN 1

Jelaskan kenapa fungsi-fungsi berikut tidak bisa mengunakan teorema Rolle meskipun terdapat \( a \) dan \( b \) sedemikian sehingga \( f(a) = f(b) \)
1. \( f(x) = \left|\frac{1}{x}\right|\), \( [-1, 1]\)
2. \( f(x) = \cot \frac{x}{2} \), \( [\pi, 3\pi]\)
3. \( f(x) = 1 - \left| x - 1\right| \), \( [0, 2]\)

Temukan titik potong terhadap sumbu \( x \) dan tunjukkan bahwa terdapat \( x \) dua titik potong tersebut sedemikian sehingga \( f'(x)=0 \)
4. \( f(x) = x^{2} - x - 2 \)
5. \( f(x) = x (x-3) \)
6. \( f(x) = x \sqrt{ x + 4 } \)

Temukan nilai \( c \) sedemikian sehingga \( f'(c) = 0 \) dengan menggunakan teorema rolle pada grafik berikut
7.

Jelaskan kenapa teorema nilai rata-rata tidak bisa dipakai pada fungsi \( f \) di interval \( [0,6] \)
9.

10.

11. \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
12. \( f(x) = |x-3| \)

15. Perhatikan grafik dari fungsi \( f(x) = -x^{2}+5 \) berikut

a) Cari persamaan garis potong yang melalui titik \( (-1,4) \) dan \( (2,1) \)

b) Tentukan nilai \( c \) di interval \( (-1, 2) \) dengan menggunakan teorema nilai rata-rata sedemikian sehingga garis singgung di titik \( c \) sejajar dengan garis potong pada poin a).

c) Cari persamaan garis singgung melalui titik \( c \) tersebut

\( - - \star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\star\star - -\)

Teorema Roole dan Teorema Nilai Rata-Rata

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 14, 2018 Komentar