Pendahuluan Vektor | Kalkulus Lanjut

Hai sobat Matematika...

Jika Anda ditanya apa itu vektor, maka jawablah Vektor merupakan objek geometri yang mempunyai besaran dan arah.

Pada kajian matematika, biasanya vektor muncul di kalkulus atau juga analisis vektor. Namun ada juga yang membahas di geometri.

Analisis vektor juga banyak digunakan aplikasinya pada dunia fisika. Diantaranya untuk membahas hukum elektromagnetik dan sebagainya.

Sebelum mengenalkan apa yang dinamakan vektor, mari berkenalan dulu dengan ruas garis berarah.

Ruas Garis Berarah

Ruas garis berarah dari suatu titik \(P\) ke titik \(Q\) dinotasikan dengan \( \boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }\).

Awalan dan akhiran pada ruas garis berarah tidak boleh dibolak balik ya. Nanti bikin bingung.hehe

Maksudnya rancu dari segi definisi mas bro mbak sis.😉

Titik \(P\) pada ruas garis berarah \( \overrightarrow{ PQ }\) dinamakan titik awal sedangkan titik \(Q\) dinamakan titik ujung.

Anda sudah mengerti sampai disini? Saya yakin Anda mengerti.he

Jadi ruas garis berarah digambarkan pada bidang datar dengan anak panah dengan titik pangkal dan titik ujung.

Terus kalau dua ruas garis berarah dikatakan sama itu yang bagaimana? Berikut definisi yang Anda cari.

DEFINISI KESAMAAN
Ruas garis berarah \( \overrightarrow{ PQ } \). dikatakan sama dengan ruas garis berarah \( \overrightarrow{ RS } \). jika dan hanya jika keduanya mempunyai arah dan panjang yang sama. Dinotasikan dengan\[\boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }.= \boldsymbol { \overrightarrow{ RS } }\]

Ruas garis berarah ini nantinya akan menjadi representasi dari suatu vektor. Atau dengan kata lain suatu vektor bisa diwakilkan dengan ruas garis berarah.

Vektor di Bidang Datar

Vektor yang pertama yang sama-sama kita bahas adalah vektor pada bidang datar terleih dahulu.

Vektor di bidang dinyatakan oleh suatu pasangan bilangan riil \( \langle x, y \rangle \) sebagai ganti dari \( ( x , y)\) supaya tidak terjadi kebingungan penulisan antara titik dan vektor.

DEFINISI VEKTOR
Ruas garis berarah \( \boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }\).didefinisikan sebagai vektor dari \(P\) ke \(Q\). Suatu vektor dituliskan dengan huruf besar dan dituliskan dengan cetak tebal seperti\[ \boldsymbol { A } \]

Ada juga yang memakai simbol \(\boldsymbol{\overrightarrow{a}}\) sebagai penulisan suatu vektor. Tapi pada artikel ini kita menggunakan \( \boldsymbol{A} \) daripada \(\boldsymbol{\overrightarrow{a}}\).

Definisi formal vektor dalam bidang datar diberikan sebagai berikut

DEFINISI VEKTOR
Suatu vektor dalam bidang adalah pasangan berurutan dari bilangan riil \( \left\langle x,y\right \rangle\). Bilangan \( x \) dan \( y \) disebut komponen dari vektor \( \left\langle x,y\right\rangle \).

Misakan vektor \( \boldsymbol{A} \) adalah pasangan berurutan bilangan riil \( \left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) dan titik \(A= (a_{1},a_{2}) \). Maka vektor \( \boldsymbol{A} \) bisa direpresentasikan secara geometri dengan ruas garis berarah \( \overrightarrow{OA} \) yang disebut dengan vektor posisi dari vektor \( \boldsymbol{A} \).

Contoh Soal 1
Vektor \( \left\langle 2,3\right\rangle \) mempunyai vektor posisi yaitu garis berarah dari titik asal ke titik \( (2,3) \). Sedangkan representasi dari vektor \( \left\langle 2,3\right\rangle \) dengan titik pangkal \( (h,k) \) mempunyai titik ujung \( (h+2,k+3) \).

Panjang Vektor
Seperti dikatakan di atas, bahwa vektor mempunyai besaran panjang yang dinyatakan dalam bilangan riil non negatif.

Baca Juga : Pentingnya Belajar Kalkulus

Panjang suatu vektor \( \boldsymbol{A} \) dinotasikan dengan\[ \left|\textbf{A}\right| \]

PANJANG VEKTOR

Jika \( \boldsymbol{A} \) adalah vektor \(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka\[ \boldsymbol{\left|\textbf{A}\right| = \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}} \]

Contoh Soal 2
Jika vektor \(\boldsymbol{A}=\left\langle -3, 4\right\rangle \) maka\[|\boldsymbol{A}|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5\]
Arah Vektor
Selain mempunyai panjang, vektor juga mempunyai arah. Arah dari vektor tak nol diberikan dengan ukuran radian dari sudut \( \theta \) diukur dari sumbu \(x\) positif dan berlawanan arah jarum jam ke vektor posisi dari suatu vektor, dengan\[ 0 \leq \theta < 2\pi\] Jika \(\boldsymbol{A} =\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka \[ \tan \theta = \frac{a_{2}}{a_{1}}\] dengan \( a_{1} \neq 0 \)

Contoh Soal 3
Tentukan ukuran sudut yang diberikan dari masing-masing vektor berikut
1. \( \left\langle -1,1 \right\rangle\)
2. \( \left\langle 0,-5 \right\rangle \)
3. \( \left\langle 1,-2 \right\rangle \)

Pembahasan Contoh Soal 3
Berdasarkan definisi maka ukuran sudut dari vektor \( \left\langle -1,1 \right\rangle\) adalah\begin{eqnarray*}
\tan \theta &=& \frac{-1}{1} = -1 \\
\theta &=& \frac{3}{4}\pi
\end{eqnarray*}

Sedangkan untuk vektor \( \left\langle 0,-5 \right\rangle \) mempunyai sudut dengan sumbu \(x\) sebesar \( \frac{3}{2} \pi\) karena berada di sumbu \(y\) negatif.

Vektor terakhir yaitu \( \left\langle 1,-2 \right\rangle \) mempunyai arah vektor\begin{eqnarray*}
\tan \theta &=& \frac{-2}{1} \\
\theta &=& \arctan -2 + 2\pi
\end{eqnarray*}

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor \( \boldsymbol{{A} =\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle}\) dan \( \boldsymbol{{B} = \left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle}\) adalah vektor \(\textbf{A+B}\) yang didefinisikan dengan\[ \textbf{A+B}= \boldsymbol{\left\langle a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\right\rangle}\]

Negatif Vektor
Jika vektor \(\textbf{A}=\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka vektor \(\textbf{B}=\left\langle -a_{1},-a_{2}\right\rangle\) didefinisikan sebagai negatif dari vektor \(\textbf{A}\) yang dinotasikan dengan \(\textbf{-A}\)

Selisih Vektor
Selisih dua vektor \(\textbf{A}=\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) dan \(\textbf{B}=\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle\) adalah vektor \(\textbf{A-B}\) yang didefinisikan dengan\[\textbf{A - B}=\textbf{A+(-B)}=\left\langle a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2}\right\rangle\]

Jangan Lewatkan : Fungsi Kontinu pada Kalkulus

Perkalian Skalar Vektor
Jika \( c \) adalah skalar dan \( \textbf{A} \) adalah vektor \( \left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle \) maka perkalian \( c \) dengan \(\textbf{A}\), dinotasikan dengan \( c\textbf{A} \), didefinisikan dengan\[c\textbf{A}= c\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle=\left\langle ca_{1},ca_{2}\right\rangle\]

Sifat-Sifat Operasi Vektor

to be continued

Pendahuluan Vektor | Kalkulus Lanjut

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 15, 2018 Komentar