Logaritma : Definisi, Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan (Terbaru)

matematika sma

Logaritma : Definisi, Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan (Terbaru)

Mohammad Mahfuzh Shiddiq April 12, 2019 Komentar

Logaritma muncul dari pertanyaan yang muncul pada operasi aritmetika dasar, yaitu perpangkatan. Misalkan diberikan perpangkatan 3 dari bilangan 4 dengan\[4^{3}=64\]yang didefinisikan dengan \(4 \times 4 \times 4 = 64\).

Pertanyaan balikan (baca: invers) yang berkaitan dengan fakta pangkat tersebut adalah

"4 pangkat berapa yang menghasilkan 64? ".

Maka muncul istilah logaritma dalam kasus ini, yaitu logaritma (dengan basis 4) dari 8 adalah 3.

Pada tulisan ini Anda akan disajikan teori tentang logaritma yang komperhensif. Mulai dari definisi logaritma, sifat-sifat yang dimiliki logaritma, fungsi logaritma, persamaan dan pertidak samaan logaritma dibahas pada tulisan ini.

Jangan Lewatkan : Bilangan Berpangkat

Definisi Logaritma

Seperti yang saya katakan sebelumnya dipengantar bahwa logaritma merupakan invers dari operasi perpangkatan. Secara formal definisi logaritma adalah sebagai berikut

dengan

• Bilangan  a disebut basis atau bilangan pokok
• Bilangan b disebut numerus atau domain logaritma.
• Bilangan c disebut range atau hasil logaritma.

Beberapa notasi lain yang digunakan di antaranya adalah\[\log_{a}b=c\]yang berbeda peletakkan bilangan basis \(a\).

Contoh Soal 1

Nilai dari logaritma \(\log_{2}16=4\) karena \(2^4=16\) dan nilai logaritma \(log_{2}\frac{1}{8}=-3\) karena \(2^{-3}=\frac{1}{8}\).

Sedangkan untuk sebarang nilai basis \(a\) berlaku\begin{eqnarray*}\log_{a}a&=&1\\
\log_{a}1&=&0
\end{eqnarray*}karena \(a^{1}=a\) dan \(a^{0}=1\).

Sifat-Sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat yang dimiliki. Sifat ini dapat diturnkan dari definisi logaritma di atas. Biasanya sifat logaritma yang diberikan menunjukkan logaritma dari operasi suatu bilangan.

1. Sifat Penjumlahan; \[\log_{a}bc = \log_{a}b+\log_{a}c\]
2. Sifat Pengurangan; \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b-\log_{a}c\]
3. Sifat Perpangkatan; \[\log_{a}b^{m} = m \log_{a}b\]
4. Sifat Perpangkatan 2 ; \[\log_{a^{n}}b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a}b\]
5. Sifat Perpangkatan 3 ; \[\log_{a}b = \frac{\log_{p}b}{\log_{p}a} \]
6. Sifat Pembagian ; \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a} \]
7. Sifat Pangkat; \[a^{\log_{a}b}=b\]
8. Sifat Transitif; \[\log_{a} d = \log_{a} b \cdot \log_{b} c \cdot \log_{c} d\]

Contoh Soal 2
\begin{eqnarray*}\log_{2}\left(\frac{16}{2}\right)&=&\log_{2}16 - \log_{2}2= 4 - 1 = 3=\log_{2}8\\
16^{\log_{16}32}&=&32\\
\log_{2}\sqrt{32}&=&\log_{2}\left(2^{5}\right)^{2} = \log_{2}2^{5/2}= \frac{5}{2}
\end{eqnarray*}

Baca Juga : Logaritma dengan Bilangan Pokok e

Fungsi Logaritma

Seperti halnya yang lain, fungsi logaritma mempunyai domain dan range. Definisi bentuk logaritma berasal dari operasi pangkat sehingga fungsi logaritma pun pendefinisian sama dengan definisi logaritma tersebut.

DEFINISI

Misalkan \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan\[g(x):=a^{x}\]dengan \(a>0, a \neq 1\). Invers fungsi \(g\) adalah fungsi logaritma\(g^{-1}=f\) didefinisikan dengan\[\boldsymbol{f(x)=\log_{a}x}\]

Jika fungsi logaritma \(f(x)=\log x\) akan terlihat seperti di bawah ini

Untuk lebih memperjelas, silahkan Anda lihat grafik fungsi logaritma di bawah ini

Gambar di atas menunjukan grafik fungsi \(g(x)=10^{x}\) dan grafik inversnya, yaitu fungsi logaritma \(f(x)=\log_{10}(x)\).

Mari kita lihat beberapa grafik dari fungsi logaritma lainnya dengan bilangan basis selain 10.

Waaahh...grafiknya keren kan. Apa yang Anda tangkap dari grafik di atas.

Mari kita lihat satu persatu

Titik potong grafik fungsi logaritma terhadap sumbu-\(X\) adalah titik \((1,0)\). Karena jika Anda subtitusi \(f(x)=y=0\) maka diperoleh
\begin{eqnarray*}f(x)&=&\log_{a}(x)\\
0&=&\log_{a}(x)\\
x&=&1
\end{eqnarray*}Satu tanda berikutnya adalah jika bilangan basisnya \(a>1\) maka fungsi logaritma \(f(x)=\log_{a}(x)\) adalah fungsi naik. Sedangkan fungsi logaritma \(f(x)=\log_{a}(x)\) turun jika nilai basisnya \(0 < a < 1\).

Contoh Soal 3
Perhatikan gambar dibawah. Jika \(f(x)=\log_{2}(x)\) maka fungsi yang dinyatakan grafik berwarna merah adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 3
Grafik dengan warna merah adalah translasi grafik fungsi logaritma (warna hitam) \(f(x)=\log_{2}(x)\) ke arah kiri 2 satuan. Jadi persamaan yang dimaksud adalah fungsi logaritma \(g(x)=\log_{2}(x+2)\).
Lebih lanjut untuk \(x=-1\) maka \(y=\log_{2}(-1+2)=0\). Jadi titik \((-1,0)\) berada pada grafik fungsi logaritma \(y=\log_{2}(x+2)\) atau dengan kata lain titik potong sumbu-\(x\) adalah \((-1,0)\)


Contoh Soal 4
Fungsi \(y=\log_{1/2}(x)\) berada di atas sumbu-\(x\) ketika ...

Pembahasan Contoh Soal 4
Berdasarkan sifat yang kita sebut di atas, maka dapat disimpulkan grafik fungsi \(y=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) berada di atas sumbu-\(x\) ketika\[0 < x < 1\]memotong sumbu-\(x\) di \(x=1\) dan melewati \(\left(\frac{1}{2},1\right)\) dan dibawah sumbu-\(x\) jika \[x>1\]Perhatikan grafik fungsi \(y=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) berikut

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yang memuat bentuk logaritma, baik variabel \(x\) sebagai tanda logaritma maupun variabel \(x\) sebagai bilangan pokok atau bilangan basis suatu logaritma.

Jika suatu persamaan memuat bentuk logaritma maka ada beberapa sifat yang berlaku pada persamaan logaritma.

1. Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{a}p\), maka \(f(x) = p \) asalkan \(f(x)>0\)
2. Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{b}f(x)\), dengan \(a \neq b \) maka \(f(x) = 1\)
3. Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x)\), maka \(f(x) = g(x)\) asalkan \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)
4. Jika \(\log_{h(x)}f(x) = \log_{h(x)}g(x)\), maka \(f(x) = g(x) \) asalkan \(f(x)>0, g(x)>0\) serta \(h(x)>0\) dan \(h(x) \neq 1\)
5. Jika \(\log_{f(x)}h(x) = \log_{g(x)}h(x)\), maka beberapa kemungkinan adalah
   1. \(f(x) = g(x)\) dengan syarat \(h(x)=1, f(x)>0, f(x) \neq 1, g(x)>0, g(x) \neq 1\)
   2. \(f(x) = g(x)\) dengan syarat \(h(x) \neq 1, h(x)> 0 \)

Contoh Soal 5
Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(\log_{3x+2}27 = \log_{5}3\) adalah...

Pembahasan Contoh Soal 5
Berdasarkan sifat-sifat persamaan logaritma diperoleh\begin{eqnarray*}
\log_{3x+2}27&=&\log_{5}3\\
\log_{3x+2}3^{3}&=&\log_{5^{3}}3^{3}\\
3x+2&=&5^{3}\\
3x+2&=&125\\
3x&=&123\\
x&=&41\end{eqnarray*}
Contoh Soal 6
Jika diketahui \(\log_{9}8=3m\) maka nilai \(\log_{4}3=\cdots \)

Pembahasan Contoh Soal 5
Berdasarkan sifat persamaan logaritma di atas\begin{eqnarray*}
\log_{9}8&=&3m\\
\frac{\log 8}{\log 9}&=&3m\\
\frac{\log 2^{3}}{\log 3^{2}}&=&3m\\
3 \log 2&=&3m \cdot 2 \log 3\\
\log 2&=&2m \log 3\\
x&=&41\end{eqnarray*}Selanjutnya dapat dicari nilai yang dimaksud\begin{eqnarray*}
\log_{4}3&=&\frac{\log 3}{\log 4}\\
&=&\frac{\log 3}{2 \log 2}\\
&=&\frac{\log 3}{2 \cdot 2 \log 3}\\
&=&\frac{1}{4m}\end{eqnarray*}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi logaritma dengan bentuk umum\[\log_{a}f(x) > \log_{a}g(x)\]yang menunjukkan bahwa\begin{eqnarray*}
f(x)>g(x),&~~~&a>1\\
f(x)<g(x),&~~~&0<a<1
\end{eqnarray*}Oleh karena itu untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tersebut digunakan langkah-langkah berikut

Pertama dicek syarat-syarat \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\). Selanjutnya diselesaikan pertidaksamaan \(f(x)>g(x)\) untuk \(a>1\) dan \(f(x)<g(x)\) untuk \(0<a<1\)

Contoh Soal 6

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan logaritma berikut adalah\[\log_{2}(2x+7)>2\]

Pembahasan Contoh Soal 6

Akan kita cek syarat pertama yaitu\begin{eqnarray*}
2x+7&>&0\\
2x&>&-7\\
x&>&-\frac{7}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Selanjutnya diselesaikan pertidaksamaan logaritma yang dimaksud\begin{eqnarray*}
\log_{2}(2x+7)&>&2\\
\log_{2}(2x+7)&>&\log_{2}2^{2}\\
2x+7&>&2^{2}\\
2x&>&4-7\\
x&>&-\frac{3}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(\star\star)
\end{eqnarray*}Berdasarkan \((\star)\) dan \((\star\star)\) diperoleh himpunan penyelesaian \(\boldsymbol{\{x \in \mathbb{R}: x > -\frac{3}{2}\}}\)

Baca selengkapnya

Barisan dan Deret Bilangan

matematika sma matematika smp

Barisan dan Deret Bilangan

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 24, 2018 Komentar

Hai sobat matematika

Bilangan merupakan salah satu objek matematika yang paling utama. Matematika sering melibatkan bilangan dalam setiap kajiannya. Salah satunya barisan bilangan.

Barisan bilangan merupakan suatu barisan bilangan yang memiliki pola tertentu dan kaitan yang khas diantara setiap suku-sukunya.

Anda sering menemui suatu pola di kehidupan nyata yang sering berulang kan? Masih ingat?

Saya sebutkan diantaranya ya!

Andi menabung setiap harinya bertambah Rp. 2000 maka barisan bilangan yang dibentuk Andi adalah \( \left(2000, 4000, 6000, 8000, \cdots \right)\)

Pada suatu perusahaan, kenaikan gaji pegawainya tetap yaitu 10\%, maka barisan gaji yang bisa dibentuk \( \left( 3jt, 3.3jt, 3.63jt, \cdots\right)\)

Jika barisan tersebut dijumlahkan setiap sukunya maka dinamakan dengan deret.

Diketahui barisan uang tabungan Andi tadi \( \left(2000, 4000, 6000, 8000, \cdots \right)\), maka bentuk \( \left(2000 + 4000 + 6000 + 8000 + \cdots \right)\) merupakan deret dari barisan tersebut.

Anda bisa menghitung jumlah uang Andi pada hari tertentu dengan deret ini.

Materi berikut akan mengupas seputar barisan dan deret bilangan.

NOTASI SIGMA

Penjumlahan setiap suku pada barisan bilangan dinamakan dengan deret bilangan. Salah satu notasi untuk menyatakan deret bilangan adalah notasi sigma\[\sum\]Notasi sigma berasal dari huruf yunani kuno yang berarti sum atau penjumlahan.

Secara umum, notasi sigma di dalam matematika didefinisikan dengan\[ \sum_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \cdots a_{n} \]dibaca penjumlahan suku \( a_{i} \) untuk \( k = 1 \) sampai \( k = n \).
\(k\)   adalah indeks penjumlahan
\(1\)   adalah batas bawah penjumlahan
\(n\)   adalah batas atas penjumlahan
\( \{ 1, 2, \cdots , n \} \) adalah wilayah penjumlahan

Sifat-sifat yang dimiliki oleh notasi sigma adalah sebagai berikut

#1.  \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \cdots a_{n} \)

#2. \(  \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \)

#3. \( \sum\limits_{k=1}^{n} C = nC \), dengan \(C\) adalah konstanta

#4. \( \sum\limits_{k=1}^{n} Ca_{k} = C \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \) , dengan \(C\) adalah konstanta

#5. \( \sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} + b_{k}\right) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k} \)

#6. \( \sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} - b_{k}\right) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} - \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k} \)

#7. \( \sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} + b_{k}\right)^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} a^{2}_{k} + 2\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b^{2}_{k} \)

#8. \( \sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} - b_{k}\right)^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} a^{2}_{k} - 2\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b^{2}_{k} \)

#9. \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_{i} + \sum\limits_{k=m+1}^{n} a_{k} \) dengan \( m < n \)

#10. \( \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{k+1} = \sum\limits_{k=2}^{n+1} a_{k-1} \)

#11. \( \sum\limits_{i = k }^{k} a_{i} = a_{k} \) dengan \( k = 1, 2, 3, \cdots , n \)


Untuk lebih memahami konsep tentang notasi sigma, perhatikan beberapa contoh soal berikut

Contoh Soal 1
\(1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11}\) dapat ditulskan dengan \( \cdots \)

A. \(\sum\limits_{i =  1}^{5} \frac{2}{2i + 1} \)
B. \(\sum\limits_{i =  1}^{6} \frac{2}{2i - 1} \)
C. \(\sum\limits_{i =  1}^{6} \frac{2}{2i + 1} \)
D. \(\sum\limits_{i =  1}^{6} \frac{1}{2i + 1} \)
E. \(\sum\limits_{i =  1}^{5} \frac{i+1}{2i - 1} \)

Pembahasan Contoh Soal 1
Pertama diketahui \(1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11} \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11}\)

Langkah berikutnya adalah menentukan setiap suku-sukunya
\(
\begin{array}{rl}
 u_{1}  &=\frac{1}{1} = \frac{(1)}{2(1) - 1}  \\
 u_{2}  &=\frac{2}{3} = \frac{(2)}{2(2) - 1}  \\
 u_{3}  &=\frac{3}{5} = \frac{(3)}{2(3) - 1}  \\
 u_{6}  &=\frac{6}{11} = \frac{(6)}{2(6) - 1}  \\
 u_{i}  &=\frac{(i)}{2(i) - 1}
\end{array}
\)
Jadi diperoleh bentuk umum dari setiap sukunya yaitu \( u_{i}  =\frac{(i)}{2(i) - 1}   \)  dengan batas bawah 1 dan batas atasnya 6.

Oleh karena itu \(1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11} = \sum\limits_{i =  1}^{6} \frac{2}{2i - 1}\)

Baca Juga : Aturan pangkat dan bentuk akar

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (DERET HITUNG)

Suatu barisan bilangan \( U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots , U_{n} \) dikatakan dengan barisan aritmetika jika dan hanya jika selisih antara dua suku yang berututan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda, dinotasikan dengan \( b \) dengan \[\boldsymbol{b = u_{n} - u_{n-1}} \]
Bentuk umum barisan Aritmetika adalah\[a, a+b, a+2b, \cdots ,a+(n-1)b\]dengan \( a = U_{1} \).

Sedangkan bentuk umum dari deret Aritmetika adalah\[a + \left(a+b\right) + \left(a+2b\right) + \cdots + \left(a+(n-1)b\right)\]
Berdasarkan definisi dan uraian singkat tersebut dapat disimpulkan bahwa

1. Suku ke-\(n\) dari barisan aritmetika dinyatakan dengan\[ \boldsymbol{ U_{n} = a + (n-1)b} \]
2. Jumlah \(n\) suku pertama dari deret aritmetika dinyatakan dengan
\begin{eqnarray*}
   \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{n}{2} \left( a + (n-1) b\right) }  \\
   \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{n}{2} \left( 2a + U_{n} \right) } \\
   \boldsymbol{U_{n}} &=& \boldsymbol{S_{n} - S_{n-1}}
\end{eqnarray*}3. Jika \( n \) ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika \( U _{t} \) dinyatakan dengan\[U_{t}=\frac{a+Un}{2}\]4. Jika terdapat \(k\) suku baru disisipkan ke dalam barisan maka diperoleh hubungan berikut
Beda baru \( ( b' )\) \[b'=\frac{b}{k+1}\]
Banyaknya suku baru \((n')\) \[n'=n+(n-1)k\]
Jumlah \(n\) suku pertama sesudah disisipi \(S'_{n}\) \[S'_{n}=\frac{n'}{2}(a+U_{n})\]

Contoh Soal 2 UMPTN 2000
Suku ke-6 sebuah barisan aritmetika adalah 24000 dan suku ke-10 adalah 18000. Supaya suku ke-\(n\) sama dengan 0, maka nilai \(n\) adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 2
Diketahi suku ke-6 dan suku ke-10 sehingga
\(
\begin{array}{rl}
   U_{6}&= a + 5b = 24.000  \\
   U_{10}&= a + 9b = 18.000  \\
   & ~~~~~-4 b = 6.000\\
   &~~~~~~~b = - 1.500
\end{array}
\)
Karena \(b = -1.500\) maka
\(
\begin{array}{rl}
 a+5b&=24.000 \\
 a+5(-1.500)  &=24.000\\
 a&= 31.500
\end{array}\)
Berikutnya, diharapkan suku ke-\(n\) sama dengan 0, yaitu \( U_{n} = 0\)
\(
\begin{array}{rl}
   U_{n}&= a + (n-1)b  \\
  0 &= 31.500 + (n-1)(-1.500)\\
  n&= 22
\end{array}
\)
Oleh karena itu agar \(U_{n}=0\) maka nilai \( \boldsymbol {n = 22}\)

Contoh Soal 3
Jumlah \(n\) buah suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan oleh \( S_{n} = \frac{n}{2} (5n - 19) \). Beda deret tersebut adalah...

Pembahasan Contoh Soal 3
Diketahui rumusan jumlah n suku pertama \( S_{n} \). Langkah pertama dalah mencari suku pertama, \( S_{1} = a \)
\(
\begin{array}{rl}
 S_{n}  &= \frac{n}{2} (5n - 19) \\
  S_{1} &= \frac{(1)}{2} (5(1) - 19) = \frac{1}{2} (-14) = -7\\
  a & = -7
\end{array}
\)

Jadi \( U_{1}=a=-7 \). Selanjutnya mencari jumlah 2 suku pertama

\(
\begin{array}{rl}
 S_{2}  &= \frac{(2)}{2} (5 (2) - 19) = -9  \\
  U_{2} &= S_{2} - S_{1} = -9 - (-7) = -2 \\
  U_{2}&= a + b \\
  -2 &= -7 + b \\
  b&= 5
\end{array}
\)
Oleh karena itu beda barisan tersebut adalah \( \boldsymbol{b = 5} \)

Jangan Lewatkan : Pembahasan Soal Turunan

BARISAN DAN DERET GEOMETRI (DERET UKUR)

Suatu barisan bilangan \( U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots , U_{n} \) dikatakan dengan barisan geometri jika dan hanya jika perbandingan (rasio) antara dua suku yang berututan selalu tetap. Perbandingan antar dua suku tersebut dinamakan pembanding atau rasio, dinotasikan dengan \( r \) dengan \[ \boldsymbol{r = \frac{U_{n}}{U_{n-1}}} \]
Bentuk umum barisan Geometri dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\) adalah\[a, ar, ar^{2}, \cdots ,ar^{n-1}\]dengan \( a = U_{1} \).
Sedangkan bentuk umum dari deret geometri adalah\[a + \left(ar\right) + \left(ar^{2}\right) + \cdots + \left(ar^{n-1}\right)\]
Beberapa sifat-sifat pada barisan atau deret geometri adalah sebagai berikut

1. Suku ke-\(n\) dari barisan geometri dinyatakan dengan\[ \boldsymbol{ U_{n} = a r^{n-1}} \]
2. Jumlah \(n\) suku pertama dari deret aritmetika dinyatakan dengan
\begin{eqnarray*}
   \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(r^{n} - 1\right)}{r - 1} } \text{ untuk } r>1  \\
   \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(1 - r^{n}\right)}{1 - r} } \text{ untuk } r<1  \\
   \boldsymbol{U_{n}} &=& \boldsymbol{S_{n} - S_{n-1}}
\end{eqnarray*}
3. Jika \( n \) ganjil, maka suku tengah barisan geometri \( U _{t} \) dinyatakan dengan\[U_{t}= \sqrt{ a\cdot Un}\]
4. Jika terdapat \(k\) suku baru disisipkan ke dalam barisan maka diperoleh hubungan berikut
Rasio baru \( ( r' )\) \[r' = \sqrt[k+1]{r}\]
Banyaknya suku baru \((n')\) \[n'=n+(n-1)k\]
Jumlah \(n\) suku pertama sesudah disisipi \(S'_{n}\)
\begin{eqnarray*}
 \boldsymbol{ S'_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(r'^{n'} - 1\right)}{r' - 1} } \text{ untuk } r'>1 \\
   \boldsymbol{ S'_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(1 - r'^{n'}\right)}{1 - r'} } \text{ untuk } r'<1
\end{eqnarray*}

Contoh Soal 4
Jika \( k+1, k-1, k-5\) membentuk barisan geometri, maka nilai \( k \) adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 4
Karena barisan \( k+1, k-1, k-5\) merupakan barisan geometri maka
\(
\begin{array}{rl}
 r  &=\frac{k-1}{k+1}=\frac{k-5}{k-1}  \\
 (k-1)(k-1)  &=(k-5)(k+1)\\
 k^{2} -2k + 1  &= k^{2} -4k -5 \\
 -2k + 4k &= -5 -1 \\
 k &= -3
\end{array}
\)Oleh karena itu nilai \( \boldsymbol{k = -3}\)

Contoh Soal 5
Suku ke-5 dan suku ke-8 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku keempat barisan tersebut adalah...

Pembahasan Contoh Soal 5
\(
\begin{array}{rl}
  U_{5} &= ar^{4}=48  \\
  U_{8} &= ar^{7}=384 \\
  \frac{U_{8}}{U_{5}} &= \frac{ar^{7}}{ar^{4}}=\frac{384}{48}\\
  r^{3}&=8\\
  r&=2 \\
  r&=\frac{U_{5}}{U_{4}}\\
  U_{4}&=\frac{U_{5}}{r}=\frac{48}{2}\\
  &= 24
 \end{array}
\)
Jadi suku keempat barisan tersebut adalah \( \boldsymbol{U_{4} = 24} \)

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Jika suatu deret batas atasnya \( n \rightarrow \infty \), maka deret tersebut dikatakan deret tak hingga\[\sum_{i=1}^{\infty}U_{i}\]Jika \(U_{i}\) adalah suku pada barisan geometri, maka deret tak hingga tersebut dinamakan deret geometri hingga.

#1. Deret geometri tak hingga mempunyai nilai (konvergen) jika \( -1 < r < 1 \) dengan jumlah\[\boldsymbol{S_{\infty} = \frac{a}{1-r}}\]
#2. Deret geometri tak hingga tidak mempunyai jumlah (divergen) jika \( r \leq -1 \) atau \( r \geq 1 \).

Contoh Soal 6
Diketahui deret \(1 + \log \cos x + \log^{2}\cos x + \log^{3}\cos x + \cdots \). Jika jumlah deret tersebut adalah \(S\), maka nilai \(S\) terletak di interval nilai ...

Pembahasan Contoh Soal 6
Deret \(1 + \log \cos x + \log^{2}\cos x + \log^{3}\cos x + \cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan rasio \(r=\log \cos x\).

Syarat numerus logaritma \( \log \cos x \) adalah \( 0 < \cos x < 1\) sehingga \( - \infty < \log \cos x < 0 \).

Jumlah tak hingga deret geometri dinyatakan dengan
\(
\begin{array}{rl}
S_{\infty}   &= \frac{a}{1 - r}  \\
 S  &= \frac{1}{1 - \log \cos x} \\
 \log \cos x & = 1 - \frac{1}{S}
\end{array}
\)
Syarat suatu deret geometri tak hingga mempunyai nilai \( -1 < r < 1 \) sehingga
\(
\begin{array}{rl}
 -1  &< \log \cos x < 1  \\
 -1  &< 1 - \frac{1}{S} < 0 \\
 -2 &<\frac{1}{S}<-1\\
 2&>\frac{1}{S}>1 \\
 \frac{1}{2}&<S<1
\end{array}
\)
Jadi nilai \( S\) terletak di \( \left\{ x \in \mathbb{R}| \frac{1}{2} < x < 1\right\} \)

Baca selengkapnya

Turunan Fungsi - Matematika SMA

matematika sma

Turunan Fungsi - Matematika SMA

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 19, 2018 3 Komentar

Hai sobat Matematika

Turunan merupakan konsep pertama di bidang Kalkulus yang menjadi jembatan matematikia teori ke kehidupan nyata. Banyak aplikasi turunan digunakan dalam berbagai bidang.

Turunan fungsi digunakan dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan suatu populasi hewan di dalam suatu ekosistem.

Fisika menggunakan turunan fungsi, salah satunya untuk menghitung kecepatan dan percepatan seorang pembalap GP menunggangi motor balapnya.

Turunan sendiri dalam matematika berarti pengukuran perubahan suatu fungsi terhadap perubahan nilai inputnya. Proses dalam menurunkan suatu fungsi dinamakan diferensiasi.

Turunan merupakan salah satu bahasan yang melibatkan limit. Definisi awal turunan suatu fungsi melibatkan limit suatu fungsi untuk suatu bilangan mendekati suatu nilai.

Definisi Turunan

Definisi awal dari turunan merupakan limit suatu fungsi terhadap perubahan nilai domainnya. Lebih lengkap perhatikan definisi berikut

DEFINISI TURUNAN
Turunan suatu fungsi \( f \) adalah fungsi lain \( f' \) ( dibaca " \(f \) aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan \( x \) adalah\[ \boldsymbol { f' (x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h) - f(x)}{h} }\]

Nilai turunan fungsi di titik \( c \) juga bisa dinyatakan dalam definisi\[\boldsymbol{ f'( c ) = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x) - f (c)}{ x - c} }\]Sedangkan notasi dari turunan ada bebarapa macam, diantaranya\[ y', f'(x), \frac{d[f(x)]}{dx}, \frac{dy}{dx}\]Sekedar informasi bahwa notasi terakhir, yaitu \( \frac{dy}{dx} \) lebih dikenal dengan notasi turunan Leibniz.

Penggunaan definisi turunan suatu fungsi tersebut dalam soal dapat Anda lihat pada contoh soal berikut

Contoh Soal 1
Misalkan \( f(x) = 13x - 6 \). Tentukan nilai \( f'(4)\)

Pembahasan Contoh Soal 1
Berdasarkan definisi di atas maka dapat dihitung
\begin{eqnarray*}
 f'(4)  &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( 4 + h) - f(4)}{h} \\
   &=&  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[13 (4+h) - 6\right] - \left[13 (4) - 6\right]}{h}\\
   &=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{13h}{h}= 13
\end{eqnarray*}
Contoh Soal 2
Jika \( f(x) = x^{2} \), maka tentukan nilai dari \( f'(x) \)

Pembahasan Contoh Soal 2\begin{eqnarray*}
                          f' (x) & = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h) - f(x)}{h}  \\
                           & = &   \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x + h\right]^{2} - \left[x\right]^{2}}{h}\\
                           &=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^{2}+ 2xh + h^{2} - x^{2}}{h}\\
                           &=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{2xh+h^{2}}{h}\\
                           &=& \lim_{h \rightarrow 0}2x+h \\
                           &=& 2x
                        \end{eqnarray*}Nah Anda sudah mempelajari definisi dari turunan fungsi.

Repot kan kalau harus menurunkan fungsi melalui definisi? Pakai limit segala.hehe

Jangan khawatir, ada aturan turunan fungsi yang akan diperkenalkan sesaat lagi yang akan mempermudah Anda untuk mencari turunan fungsi.

Baca Juga : Beda kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian (kombinatorika)

ATURAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Turunan fungsi aljabar mempunyai aturan-aturan yang bisa dipakai untuk mencari turunannya. Aturan turunan fungsi alajabar yang dimaksud sebagai berikut

#1. Turunan Fungsi Konstan;\[\text {Jika }  \boldsymbol {f (x) = k} \text{ maka }  \boldsymbol { f'(x) = 0} \].Jadi turunan suatu fungsi konstan adalah nol di sebarang titik.

Contoh Soal 3
1. Diberikan fungsi \( f (x) = 100\) maka turunan fungsi \( f \) adalah \( f' (x) = 0 \).

2. Jika \( y = 5 \) maka \( y' = 0 \)

3. \( f (x) = 0 \) maka \( f'(x) = 0 \)

4. Jika \( y = k \pi^{2} \) dengan \( k \) adalah konstan, maka \( y' = 0\)

#2. Turunan Fungsi Identitas; \[ \text{ Jika }  \boldsymbol {f (x)  =  x } \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = 1} \].
#3. Aturan Fungsi Pangkat; \[ \text{ Jika } \boldsymbol {f (x) = x^{n}} \text{  maka } \boldsymbol { f'(x) = nx^{n-1}} \].Anda bisa lihat pada aturan fungsi pangkat ini, turunan fungsi berpangkat menjadikan pangkat sebelumnya menjadi koefisien dan pangkatnya dikurangi satu.

Contoh Soal 4
Dengan menggunakan aturan pangkat dapat diketahui bahwa
1. Jika \( f(x) = x^{5} \) maka \( f'(x) = 5x^{4} \)

2. \( g(x) = \sqrt[4]{x} \) maka \( g'(x) = \frac{d[x^{1/4}]}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)

3. \( y = \frac{1}{x^{2}} \) maka \( \frac{dy}{dx} = \frac{d[x^{-2}]}{dx} = (-2)x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}\)

#4. Aturan Perkalian Konstan; \[\text{ Jika }  \boldsymbol { f(x)  =  k  u(x)} \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = k u'(x) }  \text{ dengan }  k \text{ konstanta.}\]Perhatikan contoh penerapan aturan perkalian sklar tersebut

Contoh Soal 5
1. Karena fungsi \( y = \frac{2}{x} \) maka \( \frac{dy}{dx}=\frac{d[2x^{-1}]}{dx} = 2 \frac{d[x^{-1}]}{dx} = 2 (-1)x^{-2}\)

2. Fungsi \( f(t) = \frac{4t^{2}}{5} \)mempunyai turunan  \( f'(t) = \frac{d}{dt}\left[\frac{4}{5}t^{2} \right] = \frac{4}{5}\frac{d}{dt}[t^{2}] = \frac{4}{5} (2t) = \frac{8}{5}t \)

3. Fungsi \( y = \frac{1}{2\sqrt[3]{x^{2}}}\) mempunyai turunan \( \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} x^{-2/3} \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2}{3}x^{-5/3} \right] = -\frac{1}{3 x^{5/3}}\)

Aturan perkalian konstan ini dapat digabungkan dengan aturan pangkat\[ \boldsymbol{ f(x) = cx^{n} \text{ maka } f'(x)=c n x^{n-1} }\]
Contoh Soal 6
1. Jika \( f(x) = \frac{7}{3(x)^{-2}} \) maka turunan fungsi \( f'(x) = \frac{7}{3} (2x) = \frac{14}{3}x \)

2. Turunan dari fungsi \( y = \frac{5}{(2x)^{3}} \) adalah  \( y' = \frac{5}{8} (-3x^{-4}) = -\frac{15}{8x^{4}}\)

#5. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi; \[\text{ Jika }  \boldsymbol { f(x) = g(x) \pm h(x) } \text{  maka }  \boldsymbol { f'(x) = g'(x)  \pm  h'(x) }\]Perhatikan contoh penggunaan aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi

Contoh Soal 7
1. Jika \( f(x) = x^{4} + 2x^{3} - x \) maka turunan fungsi \( f'(x) = 4x^{3} + 6x^{2} - 1 \)

2. Turunan fungsi \( y = - \frac{x^{4}}{2} + 3x^{3} - 2x\) adalah  \( y' = -2x^{3} + 9x^{2} - 2\)

#6. Aturan Perkalian Fungsi; \[\text{  Jika } \boldsymbol { f(x) = u(x) v(x) } \text{   maka }  \boldsymbol { f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)} \]Aturan turunan fungsi yang merupakan hasil perkalian dua fungsi agak sedikit berbeda dengan aturan fungsi yang sebelumnya. Perhatikan bahwa turunan fungsi tersebut bergantian diturunkan masing-masing fungsinya.

Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih paham tentang konsep aturan turunan fungsi perkalian

Contoh Soal 8
Diberikan fungsi \( f(x) = (3x - 2x^{2})( 5 +4x) \) maka turunan fungsi \( f\) adalah
\begin{eqnarray*}
  f'(x) &=& \overbrace{\frac{d}{dx}[3x - 2x^{2}]}^{ \text{Turunan Fungsi Pertama}} \overbrace{( 5 +4x) }^{ \text{Fungsi Kedua}}+  \overbrace{(3x - 2x^{2}) }^{ \text{Fungsi Pertama}}\overbrace{\frac{d}{dx}[5 +4x]}^{ \text{Turunan Fungsi Kedua}} \\
  &=&  (3-4x)(5+4x)+(3x - 2x^{2})(4)\\
   &=& -24x^{2} + 4x + 15
\end{eqnarray*}
#7. Aturan Pembagian Fungsi; \[\text{  Jika } \boldsymbol { f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} } \text{   maka } \boldsymbol { f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x)^{2})}} \]Aturan turunan fungsi pada pembagian fungsi ini mirip dengan perkalian, hanya berbeda pada pengurangan dan bentuk pecahan saja.

Contoh soal turunan fungsi berikut memberikan penjelasan

Contoh Soal 9
Tentukan turunan dari fungsi \( y = \frac{5x-2}{x^{2} + 1} \)

Pembahasan Contoh Soal 9
\begin{eqnarray*}
 \frac{d}{dx}\left[ \frac{5x-2}{x^{2} + 1}\right]  &=& \frac{5 (x^{2}+1) - (5x - 2)(2x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\
   &=&  \frac{-5x^{2} + 4x + 5}{(x^{2} + 1)^{2}}
\end{eqnarray*}

Baca Juga : Latihan Turunan Fungsi

Aturan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri memiliki turunan fungsi trigonometri yang lainnya. Hal ini diperoleh dari sifa limit pada fungsi trigonometri, yaitu\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1~~\text{dan}~~\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\cos \Delta x}{\Delta x}=0\]Berikut adalah beberapa rumus turunan fungsi trigonometri.
\[
\begin{array}{ll}
 \frac{d}{dx}\left[\sin x\right]= \cos x  &\frac{d}{dx}\left[\cot x\right]= -\csc^{2} x  \\
 \frac{d}{dx}\left[\cos x\right]= -\sin x  &\frac{d}{dx}\left[\sec x\right]= \sec x~\tan x  \\
 \frac{d}{dx}\left[\tan x\right]= \sec^{2} x & \frac{d}{dx}\left[\csc x\right]= -\csc x \cot x
\end{array}
\]
Perhatikan contoh soal berikut

Contoh Soal 10
1. Fungsi \( y = \frac{\sin x}{2} \) mempunyai turunan fungsi \( y' = \frac{1}{2} \cos x \)

2. Turunan fungsi \( y = x \sec x \) adalah \( y ' = 1\cdot \sec x + x (\sec x~\tan x ) \) \( = (\sec x) (1 + x \tan x) \)

Contoh Soal 11
Temukan turunan fungsi\[ y = 2x \cos x - 2 \sin x\]Pembahasan Contoh Soal 11
\[
\begin{array}{rl}
 \frac{dy}{dx}  &=\frac{d}{dx}[2x](\cos x)+(2x)\frac{d}{dx}[\cos x] - 2 \frac{d}{dx}[\sin x]  \\
   &  = 2\cdot \cos x - 2x\cdot \sin x - 2 \cos x \\
   & = -2x \sin x
\end{array}
\]

Sekian artikel tentang turunan fungsi mulai dari definisi turunan fungsi diteruskan dengan aturan turunan fungsi aljabar dan aturan fungsi trigonometri.

Jika Anda ingin melatih kemampuan materi turunan Anda, bisa kunjungi artikel latihan turunan di sini dan di sini juga bisa.

\(--\star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\star\star - -\)

Baca selengkapnya

Berapa Jumlah Luas 2 Segitiga Merah

bank soal matematika sma

Berapa Jumlah Luas 2 Segitiga Merah

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 09, 2018 Komentar

Hai sobat matematika

Anda yang sudah mendapatkan materi tentang trigonometri dan luas segitiga, coba selesaikan soal berikut.

Tapi tidak menutup kemungkinan bagi yang belum mendapatkan bisa juga mencoba juga.

SOAL
Perhatikan gambar di bawah ini!

Terdapat enam bidang datar. Tiga persegi dan tiga buah segitiga. Jika diketahui hubungan antara \(a, b,\) dan \(c\) adalah\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]Maka tentukan jumlah luas segitiga yang berwarna merah!

PEMBAHASAN SOAL

Mari kita lihat satu persatu apa yang bisa dikerjakan. Terlebih dahulu kita lihat lagi gambar soal dengan titik sudutnya diberi label.

Pertama adalah hubungan\[a^{2}+b^{2}=c^{2}\]pada segitiga \(\triangle ACE\), dengan \( CD =c , DE = a\) dan \( CE = b\).

Hubungan tersebut merupakan kesamaan pada teorema phytagoras segitiga siku-siku \( ACE\). Oleh karena itu segitga \(\triangle ACE\) merupakan segitiga siku-siku di titik \( E \) dengan sisi miring \( CD \) atau \( c \). Akibatnya sudut-sudut \( m \angle DEC = 90\).

Karena \( ABCD, CIHE,\) dan \( DEGH \) adalah persegi sehingga semua titik sudutnya mempunyai ukuran \( m \angle = 90 \) atau siku-siku.

Segitiga merah pertama yang akan kita hitung luasnya adalah segitiga \(\triangle BCI\).

Sisi \( CI \) dan \( BC \) merupakan sisi-sisi dari persegi \( ABCD \) dan \( CEHI\) dengan ukuran \( CI = b\) dan \( BC = c\).

Sudut-sudut \( \angle BCD\) dan \( \angle ECI \) adalah siku-siku sehingga besar sudut \( m \angle BCI = 360 - 90 - 90 - m \angle DCE \). Jadi \[m \angle BCI = 180 - m \angle DCE ~~~~~~~~\cdots(1)\]Misalkan \( \angle DCE = \alpha\). Berdasarkan persamaan \( 1\) dan sifat sudut di kuadran kedua pada trigonometri diperoleh\[\sin \angle BCI = \sin \left( 180 - \alpha\right) = \sin \alpha\]Pada segitiga \( \triangle DCE \) diperoleh nilai \[\sin \alpha = \frac{DE}{DC} = \frac{a}{c}~~~~~~~~\cdots (2)\]Langkah berikutnya mencari luas segitiga memanfaatkan sudut apit pada trigonmetri dan persamaan (2), didapatkan\begin{eqnarray*}
  L_{ \triangle CBI} &=& \frac{1}{2}~ CI \cdot BC \cdot \sin \angle BCI \\
   &=&  \frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \frac{a}{c}\\
   &=&\frac{1}{2} ~ab~~~~~~~~~~~~~~\cdots(3)
\end{eqnarray*}Jalan yang serupa digunakan untuk mencari segitiga \( \triangle ADF \) diperoleh hasil\begin{eqnarray*}
  L_{ \triangle ADF} &=& \frac{1}{2}~ AD \cdot DF \cdot \sin \angle FDA \\
   &=&  \frac{1}{2} \cdot c \cdot a \cdot \frac{b}{c}\\
   &=&\frac{1}{2} ~ab~~~~~~~~~~~~~~\cdots(4)
\end{eqnarray*}Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (3) dan (4) diperoleh jumlah luas segitiga merah adalah \[L_{ \triangle CBI}+L_{ \triangle ADF}= \boldsymbol { \frac{1}{2} ~ab + \frac{1}{2} ~ab = ab}\]

\(--\star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \( \star \star --\)

Baca selengkapnya

Luas Segitiga Melalui Tiga Titik yang Diketahui

matematika sma matematika smp

Luas Segitiga Melalui Tiga Titik yang Diketahui

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 08, 2018 1 Komentar

Hai sobat matematika...

Mencari luas segitiga merupakan salah satu kemampuan yang harus dimiliki oleh siswa SD. Luas segitiga yang paling dasar adalah dengan mengalikan setengah dengan alas dan tinggi segitiga tersebut.\[L_{\triangle}=\frac{1}{2}\times a \times t\]dengan \(a\) adalah alas dan \(t\) adalah tinggi segitiga.

Rumus luas segitiga lainnya yang dikenalkan adalah formula Heron yaitu\[L_{\triangle}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]dengan \(a, b, c\) adalah panjang sisi segitiga dan \(s\) adalah setengah keliling segitiga.

Semakin lanjut, pencarian luas segitiga semakin berkembang. Salah satunya jika melibatkan materi trigonometri. Luas segitiga pada bahasan trigonometri diajarkan di tingkat matematika SMA.

Penggunaan trigonometri pada pencarian luas segitiga diantaranya adalah\begin{eqnarray*}
 L_{\vartriangle}  &=& \frac{1}{2}ab\sin C \\
 L_{\vartriangle}  &=& \frac{a^{2}\sin B \sin C}{2 \sin A}
\end{eqnarray*}Selain itu juga luas segitiga juga bisa dilihat dari jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari lingkaran luar segitiga.

Jika diketahui jari-jari lingkaran luar maka luas segitiga dihitung dengan\[L_{\triangle}=\frac{abc}{4R}\]Sedangkan luas segitiga lingkaran dalam dicari dengan rumus\[L_{\triangle}=rs\]Bagaimana kalau masalah mencari luas segitiga jika diketahui melalui tiga titik?

Ide apa yang Anda lakukan dalam mencari luas segitiga yang melalui tiga titik ini. Misalkan titik \(A (x_{1},y_{1})\), \(B (x_{2},y_{2})\) dan \(C (x_{3},y_{3})\)

Baik. mari kita lihat satu persatu kasus dan cara yang bisa kita tempuh untuk mencari luas segitiga dengan tiga titik yang diketahui.

Baca Juga : Bagaimana Matematikawan Menghemat Uang dengan Kunang-Kunang

Formula Heron

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa mencari luas segitiga bisa memanfaatkan formula Heron.

Rumus untuk mencari luas segitiga dengan cara ini mensyaratkan panjang setiap sisi segitiga harus diketahui.

Panjang setiap sisi ini bisa diperoleh dari mencari jarak dua titik sudut dari tiga titik yang diketahui. Katakanlah ingin mencari sisi panjang \(c = AB\) maka dicari dengan cara\[AB = c=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]Cara serupa juga digunakan untuk mencari panjang sisi \(BC\) dan \(AC\).\begin{eqnarray*}
   BC = a &=& \sqrt{(x_{3}-x_{2})^{2}+(y_{3}-y_{2})^{2}} \\
   AC = b &=& \sqrt{(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}} \\
\end{eqnarray*}Setelah diketahui nilai panjang sisi pada segitiga \(\triangle ABC\) yaitu \(a, b, \) dan \(c\) maka formula Heron bisa diaplikasikan untuk mencari luas segitiga.

Lihat contoh soal mencari luas segitiga melalui tiga titik yang diketahui berikut

Contoh Soal 1
Diberikan titik \(A(3,0), B(-1,4)\) dan \(C (-1,0)\). Tentukan luas segitiga \(\triangle ABC\) yang dibentuk melalui tiga titik tersebut?

Pembahasan Contoh Soal 1
Panjang sisi-sisi segitiga  \(\triangle ABC\)  dicari dengan cara\begin{eqnarray*}
   BC = a &=& \sqrt{(-1 -(-1))^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{0+4^{2}}=4 \\
   AC = b &=& \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(0 - 0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+0}=4 \\
   AB = c &=& \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}
\end{eqnarray*}Langkah selanjutnya adalah mencari nilai \(s\) yaitu setengah nilai dari keliling\[s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+4\sqrt{2}}{2}=4+2\sqrt{2}\]Oleh karena itu luas segitiga \(\triangle ABC\) adalah\begin{eqnarray*}
  L_{\triangle ABC} &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
   &=&  \sqrt{(4+2\sqrt{2})~(4+2\sqrt{2}-4)~(4+2\sqrt{2}-4)~(4+2\sqrt{2}-4\sqrt{2})}\\
   &=& \sqrt{(4+2\sqrt{2})~(2\sqrt{2})~(2\sqrt{2})~(4-2\sqrt{2})}\\
   &=& \sqrt{(16-8)~(8)}\\
   &=& \sqrt{8^{2}}\\
   &=& 8
\end{eqnarray*}Spoiler : Jika dilihat letak ketiga titik tersebut, segitiga \(ABC\) adalah segitiga siku-siku dengan alas \(BC\) dan \(AC\).

Jarak Titik dan Garis

Metode yang satu ini akan menggunakan rumus mencari luas segitiga yang paling dasar yaitu \( L_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times t \).

Metode ini merupakan penggabungan konsep jarak antara titik di luar garis dengan garis yang melalui dua titik.

Langkah-langkah yang diambil sebagai berikut

1. Ambil sebarang dua titik untuk membuat garis lurus.
2. Hitung jarak dua titik tersebut yang akan dijadikan alas
   \[a=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\]
3. Buat persamaan garis lurus yang melalui dua titik tersebut dengan rumus
   \[ \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}  = \frac{y-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \]
4. Hitung jarak titik ke tiga dengan garis yang diperoleh pada langkah sebelumnya.
   \[t = \left|\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|  \]
5. Luas segitiga \( \triangle ABC\) adalah setengah perkalian dari langkah 2 dan langkah 4.
   \[L_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times t\]

Perhatikan contoh berikut untuk lebih mempermudah ilustrasi langkah-langkah di atas

Baca Juga : Perbedaaan Kaidah Penjumlahan dan Kaidah Perkalian

Contoh Soal 2

Misalkan diberikan tiga titik seperti pada contoh soal 1, yaitu \(A(3,0), B(-1,4)\) dan \(C (-1,0)\). Tentukan luas segitiga \(\triangle ABC\) yang dibentuk melalui tiga titik tersebut?

Pembahasan Contoh Soal 2

Ambil dua titik \(A\) dan \(B\) dan dihitung jarak \( AB\) yaitu \[AB =  \sqrt{(-1 - 3)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\]Berikutnya menentukan persamaan garis yang melalui dua titik \(A(3,0)\) dan \(B(-1,4) \).\begin{eqnarray*}
 \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}  &=& \frac{y-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
 \frac{y-0}{4 - 0}  &=& \frac{x-3}{-1-3} \\
 \frac{y}{4}&=&\frac{x-3}{-4}\\
 y &=& -x+3\\
 y+x-3&=&0
\end{eqnarray*}Langkah selanjutnya mencari tinggi \(t\) dari segitiga dengan cara mencari jarak titik \( C (-1,0) \) ke garis \(y+x-3=0\).\begin{eqnarray*}
 t  &=& \left|\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right| \\
   &=&  \left|\frac{-1+0-3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\right|\\
   &=& \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}
\end{eqnarray*}Jadi langkah terakhir adalah menghitung luas segitiga yaitu\[L_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} (4\sqrt{2}) ~(2\sqrt{2})=8\]

Analisis Vektor

Karena vektor bisa direpresentasikan sebagai dua garis berarah di kooordinat kartesian, maka tiga titik yang diketahui juga bisa dipakai untuk membentuk vektor.

Jangan Lewatkan : Syarat-syarat fungsi dikatakan kontinu

#1. Perkalian Silang

Anda tentu masih ingat salah satu operasi di vektor ini, perkalian silang vektor

Perkalian silang dua vektor \(\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\) dan \(\boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\) menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor \(\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\) dan \(\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\).

Lebih lanjut, panjang perkalian dua vektor ini merupakan luasan jajar genjang yang dibentuk oleh dua vektor tersebut, yaitu \(\left|\boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\right|\).

Jadi luas segitiga yang dibentuk oleh vektor  \(\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\) dan \(\boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\) adalah\[ L_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left|\boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}}\right|\]Misalkan diberikan tiga titik \(A (x_{1},y_{1})\), \(B (x_{2},y_{2})\) dan \(C (x_{3},y_{3})\). Langkah untuk mencari luas segitiga bisa diberikan sebagai berikut

1. Tentukan vektor dua vektor yang dibentuk tiga titik tersebut yang saling berimpit yaitu\begin{eqnarray*}
   \boldsymbol{\overrightarrow{AB}} &=& \left\langle x_{2}-x_{1} , y_{2}-y_{1}\right\rangle \\
   \boldsymbol{\overrightarrow{AC}} &=& \left\langle x_{3}-x_{1} , y_{3}-y_{1}\right\rangle
   \end{eqnarray*}
2. Berikutnya dicari setengah nilai perkalian silang dua vektor tersebut yang merupakan luas segitiga tersebut
   \[ L_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \left| \boldsymbol{\overrightarrow{AB}} \times \boldsymbol{\overrightarrow{AC}} \right| = \frac{1}{2} \left| (x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1} )(y_{2}-y_{1})\right|\]

Mari kita lihat contoh soal berikut untuk lebih bisa memahami penerapan konsep di atas

Contoh Soal 3

Hitung luas segitiga yang dibentuk dari tiga titik berikut \(A(3,0), B(-1,4)\) dan \(C (-1,0)\)!

Pembahasan Contoh Soal 3

Berdasarkan langkah terakhir pada tahapan di atas dapat dihitung langsung luas segitiga\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  L_{\triangle ABC}  &=& \frac{1}{2} \left| (x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}) - (x_{3}-x_{1} )(y_{2}-y_{1})\right| \\
   &=&  \frac{1}{2} \left|(-1-3)(0-0)-(-1-3)(0-4)\right|\\
   &=& \frac{1}{2} |(-4)(0)-(-4)(-4)|\\
   &=& \frac{1}{2}(16)=8
\end{eqnarray*}

Kesimpulan

Luas segitiga yang melalui tiga titik dapat dikerjakan dengan tiga metode yaitu formula Heron, Jarak titik ke garis dan melalui perkalian silang dua vektor.

Berdasarkan penjelasan di atas, tentunya Anda akan memilih metode terakhir karena langsung menggunakan koordinat titik tersebut untuk digunakan dalam menghitung luas segitiga yang diinginkan.

\(--\star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\star\star--\)

Baca selengkapnya

Kaidah Perkalian dan Kaidah Penjumlahan - Teknik Menghitung Dasar

matematika diskrit matematika sma

Kaidah Perkalian dan Kaidah Penjumlahan - Teknik Menghitung Dasar

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 03, 2018 Komentar

Matematika selalu memberikan solusi dari setiap masalah yang timbul. Salah satu soal dalam kehidupan sehari-hari yang sering Anda jumpai adalah menghitung. Anda tidak akan bisa lepas dari menghitung setiap hari di kehidupan Anda. Salah satu bentuk kegiatan menghitung di sini adalah menghitung alternatif dari beberapa kemungkinan kejadian dalam suatu aktifitas Anda.

Ketika mau belanja di pasar, timbul pertanyaan "Berapa banyak pilihan yang dimiliki untuk memasak sebuah resep sayuran jika tersedia beberapa jenis sayur yang tersedia di pasar?"

Memasuki kamar dan mau berpakaian, Anda akan dihadapkan masalah menghitung "Berapa banyak alternatif yang Anda miliki untuk memakai pakaian ketika Anda membuka lemari terdapat sekian baju dan bawahan?"

Mau merencanakan bepergian ke luar kota, pilihan yang akan Anda pertanyakan bisa jadi berupa "Berapa banyak cara memilih rute penerbangan dari kota A ke kota C dengan terlebih dahulu transit di kota B jika masing-masing tujuan memiliki jadwal penerbangan yang berbeda?"

Masalah menghitung muncul dan dipelajari secara sistematis melalui matematika dan ilmu komputer. Salah satu cabang ilmu matematika yang membahas ini adalah kombinatorika. Matematika menjelaskan masalah menghitung mulai dari dasar sampai tingkat lanjut.

Anda dan saya akan melihat terlebuh dahulu teknik dasar menghitung tingkat dasar terlebih dahulu kali ini. Dua kaidah yang akan dikenalkan berikut akan menjadi dasar dalam teknik menghitung dan menunjukkan bagaimana mereka bisa digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah menghitung yang berbeda.

Kaidah Perkalian

Misalkan suatu prosedur bisa dipecah menjadi dua pekerjaan. Jika terdapat $n_{1}$ cara untuk melakukan pekerjaan pertama dan $n_{2}$ cara untuk melakukan pekerjaan kedua, maka terdapat $\boldsymbol{n_{1}n_{2}}$ cara untuk menyelesaikan prosedur tersebut.

Coba Anda perhatikan aturan atau kaidah yang didefinisikan di atas. Jika Anda lihat secara teliti, kalimat kunci yang dimiliki dalam kaidah perkalian adalah prosedur itu bisa dipecah menjadi dua pekerjaan dan harus dilalukan keduanya. Contoh berikut menjelaskan bagaiman kaidah perkalian digunakan

Contoh 1
Suatu perusahaan baru memiliki dua karyawan, Andi dan Budi. Perusahaan tersebut menyewa satu lantai di suatu gedung perkantoran yang terdiri dari 10 kantor setiap lantainya. Berapa banyak cara menempatkan karyawan tersebut ke dalam kantor yang berbeda?

Pembahasan Contoh 1
Prosedur untuk menempatkan dua karyawan tersebut ke dalam kantor yang berbeda memuat pekerjaan memberikan sebuah kantor untuk Andi, yang bisa dilakukan dengan 10 cara, dan menempatkan Budi ke kantor yang berbeda dengan Andi, yang tentunya bisa dilakukan dengan 9 cara karena satu kantor sudah milik Andi. Berdasarkan kaidah perkalian, terdapat $10 \cdot 9 = 90$ cara untuk menempatkan dua karyawan tersebut.

Contoh 2
Suatu event organizer (EO) akan memberikan tanda kursi di dalam auditorium dengan huruf dan bilangan bulat positif tak lebih dari 100. Banyak kursi terbesar yang bisa dilabeli berbeda, tidak ada kursi dengan label yang sama, oleh EO tersebut adalah $\cdots$

Pembahasan Contoh 2
Prosedur melabeli kursi terdiri dari dua pekerjaan. Pertama memberikan label huruf alfabet sebanyak 26 dan kedua memberikan angka setelahnya sebanyak 100 kemungkinan bilangan bulat positif. Kaidah perkalian menunjukkan bahwa terdapat $26 \cdot 100 = 2600$ cara melabeli kursi tersebut. Oleh karena itu, banyak terbesar kursi yang bisa dilabeli secara berbeda adalah $\boldsymbol{2600}$.

Contoh 3
Pada suatu sekolah SMA terdapat 12 kelas. Masing-masing kelas mempunyai siswa sebanyak 30 siswa. Berapa banyak siswa yang berada di sekolah tersebut?

Pembahasan Contoh 3
Prosedur menghitung siswa bisa dipecah menjadi menghitung kelas yang ada dan menghitung siswa di sebarang kelasnya. Berdasarkan kaidah perkalian, dapat disimpulkan bahwa terdapat $12 \cdot 30 = 360$ siswa di sekolah tersebut.

Pemecahan prosedur bisa jadi tidak dua pekerjaan saja, bisa lebih dari dua. Oleh karena itu dikenalkan perluasan dari kaidah perkalian.

Perluasan Kaidah Perkalian
Misalkan suatu prosedur berturut-turut terdiri dari $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{m}$ pekerjaan. Jika masing-masing pekerjaan $P_{i}$ bisa dilakukan dengan $n_{i}$ cara untuk $i= 1,  2, 3, \cdot, m$ maka terdapat $\boldsymbol{n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3} \cdots n_{m}}$ cara untuk menyelesaikan prosedur tersebut.

Contoh 4
Berapa banyak plat kendaraan bermotor yang bisa dibuat jika plat kendaraan terdiri dari dua huruf diikuti empat digit bilangan dan paling belakang dua huruf?

Pembahasan Contoh 4
Terdapat 26 huruf alfabet untuk masing-masing pilihan membuat huruf dan ada 10 angka untuk pilihan membuat bilangan. Akibatnya, berdasarkan kaidah perkalian terdapat total jumlah $\boldsymbol{26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 26 \cdot 26 = 26^{4} \cdot 10^{4} = 4.569.760.000}$

Contoh 5
Berapa banyak fungsi yang bisa dibentuk dari sutu himpunan dengan $m$ elemen ke suatu himpunan dengan $n$ anggota?

Pembahasan Contoh 5
Diketahui banyak anggota domain adalah $m$ dan banyak anggota kodomain adalah $n$ anggota. Prosedur untuk membuat membuat fungsi adalah memasangkan tepat satu setiap anggota domain ke anggota kodomain sehingga terdapat $n$ cara pemasangan. Karena anggota domain sebanyak $m$, maka berdasarkan kaidah perkalian diperoleh $\boldsymbol{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n = n^{m}}$ fungsi yang terbentuk.

Contoh 6
Pada suatu sistem penomeran HP terdapat bebarapa aturan untuk membedakan provider dan signal yang digunakan. Suatu nomor HP terdiri 10 digit bilangan yang dibagi menjadi tiga digit kode provider, tiga digit wilayah dan empat digit kode unik tiap HP.  Misalkan format $X$ menyatakan digit 0 sampai 9, format  $N$ membolehkan bilangan 2 sampai 9 sedangkan format $Y$ hanya untuk bilangan 0 dan 1.

Suatu pemerintahan daerah menetapkan aturan penomeran HP di wilayahnya dengan format $NYX-NNX-XXXX$. Berapa banyak nomor HP yang mungkin dengan aturan ini?

Pembahasan Contoh 6
Berdasarkan kaidah perkalian terdapat $8 \cdot 2 \cdot 10 = 160$ kode provider dengan format $NYX$ dan $8 \cdot 8 \cdot 10 = 640$ kode wilayah dengan format $NNX$. Dengan cara serupa diperoleh $10\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$ kode unik tiap HP. Oleh karena itu, berdasarkan kaidah perkalian lagi, banyak nomer HP yang mungkin sebanyak $\boldsymbol{160 \cdot 640 \cdot 10000 = 1.024.000.000}$.

Kaidah Penjumlahan 

Jika sebuah pekerjaan bisa dikerjakan dengan $n_{1}$ cara atau dengan $n_{2}$ cara, dimana himpunan dari $n_{1}$ cara tidak ada yang sama dengan himpunan $n_{2}$ cara. Maka terdapat $\boldsymbol{n_{1}+n_{2}}$ cara untuk mengerjakan pekerjaan tersebut. 

Kata kunci yang bisa Anda garis bawahi pada kaidah penjumlahan di atas adalah prosedur bisa dilakukan salah satu diantara dua pekerjaan yang dua pekerjaan tersebut berbeda semua. Kaidah penjumlahan bisa Anda pelajari penggunaannya pada beberapa conoth berikut

Contoh 7
Andaikan mahasiswa matematika dipilih untuk mewakili tim suatu olimpiade matematika. Berapa banyak pilihan dari perwakilan ini jika terdapat 37 mahasiswa laki-laki dan 83 mahasiswa perempuan?

Pembahasan Contoh 7
Terdapat 37 cara memilih mahasiswa laki-laki dan 83 cara memilih mahasiswa perempuan. Memilih mahasiswa laki-laki tidak akan sama dengan memilih mahasiswa perempuan untuk perwakilan ini. Berdasarkan aturan penjumlahan, maka terdapat $\boldsymbol{37+83=120}$ cara yang mungkin untuk memilih perwakilian.

Seperti halnya kaidah perkalian yang bisa diperluas, kaidah penjumlahan juga bisa diperluas sebagaimana di bawah ini.

Perluasan Kaidah Perkalian
Misalkan suatu pekerjaan bisa dikerjakan dengan salah satu dari $n_{1}$ cara, salah satu dari $n_{2}$ cara, $\cdots$ ,atau salah satu dari $n_{m}$ cara, dimana tidak ada himpunan $n_{i}$ cara mengerjakan pekerjaan yang sama seperti pada himpunan $n_{j}$ cara, untuk setiap pasangan $i$ dan $j$ dengan $1 \leq i \leq j \leq m$. Maka banyak cara untuk mengerjakan pekerjaan adalah $\boldsymbol{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{m}}$ cara.


Contoh 8
Seorang pelajar bisa memilih sebuah tugas Matematika dari tiga kelompok. Ketiga kelompok tersebut secara berurutan masing-masing terdiri dari 23, 15 dan 19 tugas. Tidak ada tugas yang terletak dalam dua kelompok atau lebih. Berapa banyak pilihan tugas pelajar tersebut dari ketiga kelompok?

Pembahasan Contoh 8
Pelajar bisa memilih tugas dari ketiga kelompok tersebut yang tidak ada tugas yang sama dalam kelompok tersebut. Berdasarkan aturan penjumlahan, terdapat $\boldsymbol{23+15+19=57}$ cara untuk memilih tugas.$$--\star\star\star--$$

Baca selengkapnya

Pembahasan Soal Latihan Turunan - Matematika SMA

latihan soal matematika sma

Pembahasan Soal Latihan Turunan - Matematika SMA

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 31, 2018 Komentar

Hai kembali lagi sobat matematika. Kali ini saya akan memberikan pembahasan soal yang sudah Anda kerjakan sebelumnya di sini.

Pembahasan yang disajikan berikut ini memuat beberapa materi tentang turunan, sifat turunan dan beberapa materi yang terkait dengan materi turunan.

Pembahasan Soal No. 1
Diketahui fungsi $y=(1-x)^{2}(2x+3)$. Misalkan $u(x)=(1-x)^{2}$ dan $v(x)=(2x+3)$ sehingga turunannya adalah $u'(x)=2(1-x)$ dan $v'(x)=2$. Jadi $y = u(x)v(x)$ dan$$    \begin{eqnarray}
     y'  & = & u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\
       & = & 2(1-x)(2x+3)+(1-x)^{2}\cdot 2 \\
       & = &  2(1-x)(2x+3+1-x)\\
       &=& 2(1-x)(x+4)
    \end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{2(1-x)(x+4)}$

Pembahasan Soal No.2$$\begin{eqnarray}
      y&=&\sqrt[4]{(2x^{2}-3)^{2}}=(2x^{2}-3)^{\frac{3}{4}}  \\
      y' & = &\frac{3}{4}(2x^{2}-3)^{-\frac{1}{4}}\cdot (4x)  \\
       &  =& \frac{3x}{\sqrt[4]{2x^{2}-3}}
\end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{3x}{\sqrt[4]{2x^{2}-3}}}$

Pembahasan Soal No.3$$\begin{eqnarray}
      f(x) & = &x^{2}\sqrt{4-6x}  \\
       & = & x^{2}(4-6x)^{\frac{1}{2}} \\
      f'(x) & = & 2x (4-6x)^{\frac{1}{2}}\\
       &  &+x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)(4-6x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-6)\\
       &=& 2x (4-6x)^{\frac{1}{2}}\\
       &&+x^{2}\cdot\frac{-6}{2\sqrt{4-6x}}\\
      f'(2) &=& -4\sqrt{16}-4\cdot\frac{6}{2\sqrt{16}}\\
      &=&-4\cdot4-4\frac{6}{2\cdot4}\\
      &=&-19
\end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-19}$

Pembahasan Soal No. 4
Diketahui $f(x)=\frac{x+2}{-3x+5}$ maka invers fungsi dari $f(x)$ adalah $f^{-1}(x)=\frac{-5x+2}{-3x-1}$. Jika fungsi $g(x)$ adalah turunan dari fungsi $f^{-1}(x)$ maka nilai dari $g(x)$ adalah$$\begin{eqnarray}
      g(x) & = &\frac{-5(-3x-1)-(-5x+2)(-3)}{(-3x-1)^{2}}  \\
       & = & \frac{15x+5+15x+6}{(-3x-1)^{2}} \\
       & = & \frac{5+6}{(-3x-1)^{2}} \\
       & = & \frac{11}{(-3x-1)^{2}}
\end{eqnarray}$$dan $g(1)=\frac{11}{-3(1)-1}^{2}=\frac{11}{6}$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{11}{6}}$

Pembahasan Soal No. 5
Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{6x+7}=(6x+7)^{\frac{1}{2}}$ maka turunan dari fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\frac{1}{2}(6x+7)^{-\frac{1}{2}}(6)$ $=\frac{6}{2\sqrt{6x+7}}$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
   f'(3)  &=& \frac{6}{2\sqrt{18+7}} \\
     &=&  \frac{3}{5}
  \end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Pembahasan Soal No. 6
Fungsi $y=\cos^{4}x$ mempunyai turunan$$\begin{eqnarray*}
   y'  &=& 4 \cos^{3}x (-\sin x) \\
     &=&  -4\cos^{3}x \cdot \sin x
  \end{eqnarray*}$$  Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-4\cos^{3}x \cdot \sin x}$

Pembahasan Soal No. 7
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ $=\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}$ $=1+\cot x$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah$$\begin{eqnarray*}
  f'(x) &=& -\csc^{2}x \\
   &=&  -\frac{1}{\sin^{2}x}
\end{eqnarray*}$$sehingga nilai $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ adalah $f'(\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}=-1$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-1}$

Pembahasan Soal No. 8
Diketahui fungsi $f(x)=a\tan x + bx$. Turunan fungsi tersebut $f'(x)=a \sec^{2} x+b$ $=\frac{a}{\cos^{2}x}+b$. Pada soal disebutkan bahwa $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=3$ dan $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=9$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
  f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &=& \frac{a}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)}+b \\
  3 &=& \frac{a}{\frac{1}{2}}+b\\
  3&=& 2a+b
\end{eqnarray*}$$dan$$\begin{eqnarray*}
  f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& \frac{a}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)}+b \\
 9 &=& \frac{a}{\frac{1}{4}}+b\\
  9&=& 4a+b
\end{eqnarray*}$$
Diperoleh sistem persamaan linier dua variabel$$\begin{eqnarray*}
  2a+b &=& 3 \\
  4a+b &=& 9
\end{eqnarray*}$$Penyelesaian sistem persamaan tersebut menghasilkan nilai $a=3$ dan $b=-3$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{a+b=0}$

Pembahasan Soal No. 9
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{3x-2}{x+4}$ maka invers fungsinya adalah$$\begin{eqnarray*}
 f^{-1}(x)  &=& \frac{-4x-2}{x-3} \\
   &=&  \frac{4x+2}{3-x}
\end{eqnarray*}$$Turunan pertama dari fungsi invers tersebut adalah$$\begin{eqnarray*}
 \left(f^{-1}(x)\right)'  &=& \frac{4(3-x)-(-1)(4x+2)}{(3-x)^{2}} \\
   &=&  \frac{14}{(x-3)^{2}}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{14}{(x-3)^{2}}}$

Pembahasan Soal No. 10
Diketahui bahwa$$\begin{eqnarray*}
 h(x)  &=& f(x)-2g(x) \\
   &=&  3x^{2}-5x+2-2(x^{2}+3x-3)\\
   &=& x^{2}-11x+8
\end{eqnarray*}$$Maka turunan dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=2x-11$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{2x-11}$

Pembahasan Soal No. 11
Diketahui fungsi $y=3x^{4}+\sin 2x + \cos 3x$ . Maka turunan fungsi $f(x)$ adalah $\frac{dy}{dx}=12x^{3}+2\cos 2x - 3 \sin 3x$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{12x^{3}+2\cos 2x - 3 \sin 3x}$

Pembahasan Soal No. 12
Diketahui fungsi $y=2\sin 3x - 3\cos 2 x$ . Maka turunan fungsi $f(x)$ adalah $\frac{dy}{dx}=6\cos 3x + 6 \sin 2x$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{6\cos 3x + 6 \sin 2x}$ .

Pembahasan Soal No. 13
Dilketahui fungsi $f(x)=\frac{(x+2)^{3}}{(1-3x)^{2}}$ maka turunan fungsi tersebut adalah$$\begin{align*}
    f'(x)&=\frac{3(x+2)^{2}(1-3x)^{2}-(x+2)^{3}2(1-3x)(-3)}{(1-3x)^{4}}\\
   f'(-3) &= \frac{3((-3)+2)^{2}(1-3(-3))^{2}-((-3)+2)^{3}2(1-3(-3))(-3)}{(1-3(-3))^{4}}\\
   &=\frac{30-6}{10^{3}}\\
   &=0,024
\end{align*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{0,024}$

Pembahasan Soal No. 14
Diketahui $f(x)=e^{3x+5}+\ln (2x + 7)$ maka turunannya adalah $f'(x)=3 \cdot e^{3x+5}+\frac{2}{2x+7}$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{3 \cdot e^{3x+5}+\frac{2}{2x+7}}$

Pembahasan Soal No. 15
Diketahui persamaan reaksi $f(t)=15t^{2}-t^{3}$. Reaksi akan berhenti jika $f(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  t^{2}(15-t) &=& 0 \\
  t &=& 0~~\text{atau}~~t=15
\end{eqnarray*}$$
Reaksi akan mencapai maksimum jika $f'(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 30t-3t^{2}  &=& 0 \\
  t(30-3t) &=& 0 \\
  t&=& 0~~\text{atau}~~t=10
\end{eqnarray*}$$Jadi reaksi maksimum pada saat $t=10$ atau terjadi pada 5 jam sebelum reaksi habis.

Pembahasan Soal No.16
Diketahui $f(x)=x(6+x)^{2}$ $=x^{3}+12x^{2}+36x$. Turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^{2}+24x+36$. Syarat fungsi naik adalah $f'(x)>0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 3x^{2}+24x+36  &>&0  \\
   x^{2}+8x+12&>&0\\
   (x+6)(x+2)&>&0 \\
   x<-6 \text{ atau } x&>&-2
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No. 17
Diketahui jarak $P(0,3)$ ke $y=x^{2}+1$ minimum, maka jarak $=\sqrt{(x-0)^{2}+(x^{2}+1-3)^{2}}$. Jrak kuadrat $= f(x)$ maka $f(x)=x^{4}-3x^{2}+4$. Syarat mencapai ekstrim jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  4x^{3}-6x &=&0  \\
  x(4x^{2}-6) &=&  \\
  x=0~~\text{atau}~~x^{2}=\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}$$Subtitusikan nilai $x^{2}=\frac{3}{2}$ ke $f(x)$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
 f(x)  &=& x^{4}-3x^{2}+4 \\
 f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)  &=& \left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{3}{2}\right)+4 \\
   &=& \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4 \\
   &=&  \frac{7}{4}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{7}{4}}$

Pembahasan Soal No.18
Diketahui persamaan $f(x)=2\cos 2x+4\sin x$ mencapai maksimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$
\begin{eqnarray*}
 -4(2\sin x \cdot \cos x)+4\cos x  &=&0  \\
 4 \cos x (-2 \sin x +1)  &=& 0\\
 \cos x =0~~~\text{atau}~~~\sin x=\frac{1}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}~~~\text{atau}~~~x=\frac{\pi}{6}~~~\text{atau}~~~x=\frac{5}{6}\pi
\end{eqnarray*}$$Jika dicek untuk semua nilai $x$ yang mungkin, maka didapatkan $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=3$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$ dan $f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=3$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{3}$.

Pembahasan Soal No.19
Diketahui persamaan $f(x)=\frac{3x^{2}-5}{x+6}$. Nilai $f(0)=-\frac{5}{6}$ dan $f'(x)=\frac{6x(x+6)-1(3x^{2}-5)}{(x+6)^{2}}$ sehingga $f'(0)=\frac{0+5}{36}=\frac{5}{36}$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 f(0)+6f'(0)  &=& -\frac{5}{6}+6\frac{5}{36} \\
   &=& -\frac{5}{6}+\frac{5}{6} \\
   &=&  0
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No.20
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{1}{x}+x^{3}-\sqrt{2x}$ $=x^{-1}+x^{3}-(2x)^{\frac{1}{2}}$. Turunan dari fungsi $f(x)$ adalah$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=&-x^{-2}+3x^{2}-\frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(2)  \\
   &=&  -x^{-2}+3x^{2}-(2x)^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No.21
Luas kandang $=x \cdot y = 12$ atau $y=\frac{12}{x}$. Sedangkan keliling kandang $=3x+4y$ $=3x+\frac{48}{x}$. Fungsi keliling kandang$$\begin{eqnarray*}
 f(x)  &=& 3x+48x^{-1} \\
 f'(x)  &=& 3-48x^{-2}
\end{eqnarray*}$$Mencapai nilai minimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  3-48x^{-2} &=& 0 \\
 x^{2}  &=& 16 \\
 x &=& 4
\end{eqnarray*}$$Akibatnya $y=\frac{12}{x}=\frac{12}{4}=3$. Jadi jawabannya dalah $\boldsymbol{x=4}$ dan $\boldsymbol{y=3}$.

Pembahasan Soal No.22
Keliling daerah berwarna biru 100 sehingga$$\begin{eqnarray*}
 2q+p+\frac{1}{2}\pi p  &=& 100 \\
 2q  &=& 100 - \left(p+\frac{1}{2}\pi p\right) \\
 2q &=& 100 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)p \\
 q&=& 50 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)\frac{p}{2}
\end{eqnarray*}$$Sedangkan luas daerah berwarna biru adalah$$\begin{eqnarray*}
  Luas_{biru} &=& pq-\frac{1}{8}\pi p^{2} \\
   &=&  p\left(50 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)\frac{p}{2}\right)-\frac{1}{8}\pi p^{2}\\
   &=& 50p-\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\frac{p^{2}}{2}-\frac{1}{8}\pi p^{2}
\end{eqnarray*}$$Luas maksimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& 0 \\
 50- \left(\frac{\pi}{2}+1\right)p-\frac{1}{4}\pi p &=& 0 \\
 50 &=&   \left(\frac{3}{2}\pi+1\right)p\\
 200 &=& (3\pi+4)p\\
 p &=& \frac{200}{3\pi+4}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabanny adalah $\boldsymbol{\frac{200}{3\pi+4}}$.

Pembahasan Soal No.23$$\begin{eqnarray*}
  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(a-x)-f(a)}{x} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\left(f(a)-f(a-x)\right)}{x} \\
   &=&  - f'(a)
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{- f'(a)}$

Pembahasan Soal No.24
Diketahui fungsi $y=4x^{3}-18x^{2}+15x-20$ mencapai nilai maksimum jika $y'=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 12x^{2}-36x+15  &=& 0 \\
 4x^{2}-12x+5  &=&0  \\
  (2x-5)(2x-1) &=& 0 \\
  x&=& \frac{5}{2}~~~\text{atau}~~~x=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}$$Selanjutnya akan ditentukan turunan keduanya$$\begin{eqnarray*}
 f''(x)  &=& 24x-36 \\
 f''\left(\frac{5}{2}\right)  &=& 24 \\
 f''\left(\frac{1}{2}\right)  &=&  -12
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$

Pembahasan Soal No. 25
Misalkan $f(x)=x \cdot \cos x$. Maka turunan fungsi tersebut adalah $f'(x)=\cos x - x\sin x$. Selanjutnya $$\begin{eqnarray*}
 f'\left(x+\frac{\pi}{2}\right)  &=& \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) - \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)  \\
   &=& -\sin x - \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \cos x \\
   &=&  -\sin x - x \cos x - \frac{\pi}{2}\cdot \cos x
\end{eqnarray*}$$
Pembahasan Soal No.26
Keliling pintu adalah$$Keliling=2y+2x+\pi x=p$$ sehingga $y=\frac{p-2x-\pi x}{2}$. Sedangkan luas pintu adalah$$\begin{eqnarray*}
  Luas &=& 2xy+\frac{1}{2}\pi x^{2} \\
   &=& x(p-2x-\pi x)+ \frac{1}{2}\pi x^{2}\\
   &=&  px-(2x+\frac{1}{2}\pi)x^{2}
\end{eqnarray*}$$Mencapai minimum jika $f'(x)=0$ maka$$
\begin{eqnarray*}
  p-(4+\pi)x &=&0  \\
  -(4+\pi)x &=& -p \\
  x &=& \frac{p}{4+\pi}
\end{eqnarray*}$$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{p}{4+\pi}}$

Pembahsan Soal No. 27$$\begin{eqnarray*}
  f(x) &=&\left(2x+\frac{x}{\sqrt{x^{3}}}\right)^{2}  \\
  f'(x) &=& 2\left(2x+\frac{3}{\sqrt{x^{3}}}\right)\left(2-\frac{9}{2\sqrt{x^{5}}}\right) \\
   &=&  2\left(4x-\frac{9}{\sqrt{x^{3}}}+\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{2x^{4}}\right)\\
   &=& 8x-\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{x^{4}}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{8x-\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{x^{4}}}$.

Pembahasan Soal No. 28
Diketahui persamaan kurva $y=x^{2}-4x$ yang mempunyai turunan $y'=2x-4$. Jika absis $x=4$ maka $y=0$. Sedangkan gradien $m=y'(4)=4$. Oleh karena itu persamaan garis singgung pada kurva di titik $(4,0)$ dengan gradien $4$ adalah $y-0=4(x-4)$ atau $\boldsymbol{y=4x-16}$.

Pembahasan Soal No.29$$S(t)=-\frac{1}{3}t^{3}-5t$$Kecepatan $V(t)=S'(t)=-t^{2}+6t-5$. Agar kecepatan maksimum maka $V'(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  -2t+6 &=& 0 \\
  t &=& 3
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya saat $\boldsymbol{t=3}$

Pembahasan Soal No.30
Misalkan panjang = lebar = $x$ dan tinggi $y$. Karena luasnya $27$ maka$$\begin{eqnarray*}
 x^{2}+4xy  &=& 27 \\
 y  &=& \frac{27-x^{2}}{4x}
\end{eqnarray*}$$Fungsi volume dari bak tersebut adalah$$\begin{eqnarray*}
 V(x)  &=&p\cdot l \cdot t  \\
   &=& x^{2}y \\
   &=&x^{2}\frac{27-x^{2}}{4x}  \\
   &=& \frac{27x-x^{3}}{4}
\end{eqnarray*}$$Agar volume maksimum maka $V'(x)=0$ yaitu$$\begin{eqnarray*}
  \frac{27}{4}-\frac{3}{4}x^{2} &=& 0 \\
  x^{2} &=& 9 \\
  x&=& 3
\end{eqnarray*}$$Maka luas alasnya adalah $\boldsymbol{9~meter^{2}}$.

Baca selengkapnya