Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

analisis riil universitas

Soal 001

Misalkan \(f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan \(f(x):=-(x^x)\). Tunjukkan \(f^{-1}\) monoton murni dan kontinu di \(f([1,\infty) )\)!

Pembahasan Soal 001

Ambil sebarang \(a,b \in [1,\infty)\) dengan \(a<b\) maka diperoleh\begin{eqnarray*}
a&<&b\\
a^a&<&b^b\\
-\left(a^a\right)&>&-\left(b^b\right)\\
f(a)&>&f(b)
\end{eqnarray*}Jadi fungsi \(f\) turun murni pada interval \([1,\infty) \)

Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa \(\lim\limits_{x \rightarrow c} -(x^x) = - (c^c) \) sehingga fungsi \(f\) kontinu.

Berdasarkan teorema invers monoton fungsi maka invers fungsi \(f\) yaitu \(f^{-1}\) merupakan fungsi yang turun murni dan kontinu pada interval \(f([1,\infty) )\). \(\blacksquare\)

Soal 002

Misalkan \(n \in \mathbb{N}\) dan fungsi \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    g(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{n}, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}Tentukan nilai \(n\) sedemikian sehingga \(g'\) kontinu di \(x=0\) dan nilai \(n\) sehingga \(g'(0)\) ada ! Jelaskan !

Pembahasan Soal 002

Klaim bahwa fungsi \(g''(0)\) ada untuk \(n \geq 2\).

Bukti : Untuk \(n=2\) dan untuk sebarang \(x \in \mathbb{R}\) diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                   2, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Jadi \(g''(0) = 2\) sehingga berdasarkan teorema maka fungsi \(g'\) kontinu di \(x=0\).

Andaikan \(g''(0)\)  ada untuk \(n=k\) , yaitu \(g''(0)=k(x^{k-1})=0\). Maka berdasarkan sifat pada turunan diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                 (k+1)(k)x^{k-1}  , & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Berdasarkan asumsi, \(g'(x)=k(x^{k-1})\) ada. Terbukti bahwa \(g''(0)\) ada.

Teorema mengatakan bahwa \(f'\) ada maka \(f\) kontinu. Oleh karena itu \(g'\) kontinu di \(x=0\) untuk \(n \geq 2\).

Soal 003

Misalkan \(x>y>0\) dan \(n \in \mathbb{N}\) dan \(n \geq 2\). Buktikan bahwa \(x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} < (x - y)^{\frac{1}{n}}\) !

Pembahasan Soal 003

Misalkan suatu fungsi didefinisikan dengan\[g(x):=x^{\frac{1}{n}} - (x-1)^{\frac{1}{n}}\]dengan \(n \in \mathbb{N}, n \geq 2\).

Bisa ditunjukkan bahwa fungsi \(g\) tersebut fungsi yang turun. Karena untuk sebarang \(x,y\) berlaku \(x>y\) sehingga\begin{eqnarray*}1&<&\frac{x}{y}\\g(1)&>&g\left(\frac{x}{y}\right)\\
1&>&\frac{x^{\frac{1}{n}}-(x-y)^{\frac{1}{n}}}{y^{\frac{1}{n}}} \\ (x - y)^{\frac{1}{n}}&>&x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}

Soal 004

Diberikan suatu fungsi \(h:[-10,10] \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    h(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{2}, & -10 \leq x \leq -1 \\
                   sgn(x), & -1 \leq x \leq 1 \\
                   -(x^{x}), & 1 \leq x \leq 10
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}
  Selidiki apakah \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\)! Jelaskan !

Pembahasan Soal 004

Bisa dilihat bahwa restriksi fungsi \(h\) pada setiap interval merupakan kelas fungsi terintegralkan Riemann sehingga fungsi \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\) berdasarkan teorema penjumlahan integral.

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-10,-1] yaitu\[h_{|_{[-10,-1]}}:=x^2\]merupakan fungsi kontinu sehingga berada di \(\mathcal{R}[-10,-1]\).

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-1,1] yaitu\[h_{|_{[-1,1]}}:=sgn(x)\]merupakan fungsi tangga sehingga berada di \(\mathcal{R}[-1,1]\)

Terakhir, restriksi fungsi \(h\) pada interval [1,10] yaitu\[h_{|_{[1,10]}}:=-(x^x)\]merupakan fungsi monoton sehingga berada di \(\mathcal{R}[1,10]\).

Bagikan

Jangan lewatkan

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2019 Komentar