Logaritma : Definisi, Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan (Terbaru)

Logaritma muncul dari pertanyaan yang muncul pada operasi aritmetika dasar, yaitu perpangkatan. Misalkan diberikan perpangkatan 3 dari bilangan 4 dengan\[4^{3}=64\]yang didefinisikan dengan \(4 \times 4 \times 4 = 64\).

Pertanyaan balikan (baca: invers) yang berkaitan dengan fakta pangkat tersebut adalah

"4 pangkat berapa yang menghasilkan 64? ".

Maka muncul istilah logaritma dalam kasus ini, yaitu logaritma (dengan basis 4) dari 8 adalah 3.

Pada tulisan ini Anda akan disajikan teori tentang logaritma yang komperhensif. Mulai dari definisi logaritma, sifat-sifat yang dimiliki logaritma, fungsi logaritma, persamaan dan pertidak samaan logaritma dibahas pada tulisan ini.

Jangan Lewatkan : Bilangan Berpangkat

Definisi Logaritma

Seperti yang saya katakan sebelumnya dipengantar bahwa logaritma merupakan invers dari operasi perpangkatan. Secara formal definisi logaritma adalah sebagai berikut

dengan

Bilangan a disebut basis atau bilangan pokok
Bilangan b disebut numerus atau domain logaritma.
Bilangan c disebut range atau hasil logaritma.

Beberapa notasi lain yang digunakan di antaranya adalah\[\log_{a}b=c\]yang berbeda peletakkan bilangan basis \(a\).

Contoh Soal 1

Nilai dari logaritma \(\log_{2}16=4\) karena \(2^4=16\) dan nilai logaritma \(log_{2}\frac{1}{8}=-3\) karena \(2^{-3}=\frac{1}{8}\).

Sedangkan untuk sebarang nilai basis \(a\) berlaku\begin{eqnarray*}\log_{a}a&=&1\\
\log_{a}1&=&0
\end{eqnarray*}karena \(a^{1}=a\) dan \(a^{0}=1\).

Sifat-Sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat yang dimiliki. Sifat ini dapat diturnkan dari definisi logaritma di atas. Biasanya sifat logaritma yang diberikan menunjukkan logaritma dari operasi suatu bilangan.

Sifat Penjumlahan; \[\log_{a}bc = \log_{a}b+\log_{a}c\]
Sifat Pengurangan; \[\log_{a}\frac{b}{c} = \log_{a}b-\log_{a}c\]
Sifat Perpangkatan; \[\log_{a}b^{m} = m \log_{a}b\]
Sifat Perpangkatan 2 ; \[\log_{a^{n}}b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a}b\]
Sifat Perpangkatan 3 ; \[\log_{a}b = \frac{\log_{p}b}{\log_{p}a} \]
Sifat Pembagian ; \[\log_{a}b = \frac{1}{\log_{b}a} \]
Sifat Pangkat; \[a^{\log_{a}b}=b\]
Sifat Transitif; \[\log_{a} d = \log_{a} b \cdot \log_{b} c \cdot \log_{c} d\]

Contoh Soal 2
\begin{eqnarray*}\log_{2}\left(\frac{16}{2}\right)&=&\log_{2}16 - \log_{2}2= 4 - 1 = 3=\log_{2}8\\
16^{\log_{16}32}&=&32\\
\log_{2}\sqrt{32}&=&\log_{2}\left(2^{5}\right)^{2} = \log_{2}2^{5/2}= \frac{5}{2}
\end{eqnarray*}

Baca Juga : Logaritma dengan Bilangan Pokok e

Fungsi Logaritma

Seperti halnya yang lain, fungsi logaritma mempunyai domain dan range. Definisi bentuk logaritma berasal dari operasi pangkat sehingga fungsi logaritma pun pendefinisian sama dengan definisi logaritma tersebut.

DEFINISI

Misalkan \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan\[g(x):=a^{x}\]dengan \(a>0, a \neq 1\). Invers fungsi \(g\) adalah fungsi logaritma\(g^{-1}=f\) didefinisikan dengan\[\boldsymbol{f(x)=\log_{a}x}\]

Jika fungsi logaritma \(f(x)=\log x\) akan terlihat seperti di bawah ini

Untuk lebih memperjelas, silahkan Anda lihat grafik fungsi logaritma di bawah ini

Gambar di atas menunjukan grafik fungsi \(g(x)=10^{x}\) dan grafik inversnya, yaitu fungsi logaritma \(f(x)=\log_{10}(x)\).

Mari kita lihat beberapa grafik dari fungsi logaritma lainnya dengan bilangan basis selain 10.

Waaahh...grafiknya keren kan. Apa yang Anda tangkap dari grafik di atas.

Mari kita lihat satu persatu

Titik potong grafik fungsi logaritma terhadap sumbu-\(X\) adalah titik \((1,0)\). Karena jika Anda subtitusi \(f(x)=y=0\) maka diperoleh
\begin{eqnarray*}f(x)&=&\log_{a}(x)\\
0&=&\log_{a}(x)\\
x&=&1
\end{eqnarray*}Satu tanda berikutnya adalah jika bilangan basisnya \(a>1\) maka fungsi logaritma \(f(x)=\log_{a}(x)\) adalah fungsi naik. Sedangkan fungsi logaritma \(f(x)=\log_{a}(x)\) turun jika nilai basisnya \(0 < a < 1\).

Contoh Soal 3
Perhatikan gambar dibawah. Jika \(f(x)=\log_{2}(x)\) maka fungsi yang dinyatakan grafik berwarna merah adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 3
Grafik dengan warna merah adalah translasi grafik fungsi logaritma (warna hitam) \(f(x)=\log_{2}(x)\) ke arah kiri 2 satuan. Jadi persamaan yang dimaksud adalah fungsi logaritma \(g(x)=\log_{2}(x+2)\).
Lebih lanjut untuk \(x=-1\) maka \(y=\log_{2}(-1+2)=0\). Jadi titik \((-1,0)\) berada pada grafik fungsi logaritma \(y=\log_{2}(x+2)\) atau dengan kata lain titik potong sumbu-\(x\) adalah \((-1,0)\)

Contoh Soal 4
Fungsi \(y=\log_{1/2}(x)\) berada di atas sumbu-\(x\) ketika ...

Pembahasan Contoh Soal 4
Berdasarkan sifat yang kita sebut di atas, maka dapat disimpulkan grafik fungsi \(y=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) berada di atas sumbu-\(x\) ketika\[0 < x < 1\]memotong sumbu-\(x\) di \(x=1\) dan melewati \(\left(\frac{1}{2},1\right)\) dan dibawah sumbu-\(x\) jika \[x>1\]Perhatikan grafik fungsi \(y=\log_{\frac{1}{2}}(x)\) berikut

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma merupakan persamaan yang memuat bentuk logaritma, baik variabel \(x\) sebagai tanda logaritma maupun variabel \(x\) sebagai bilangan pokok atau bilangan basis suatu logaritma.

Jika suatu persamaan memuat bentuk logaritma maka ada beberapa sifat yang berlaku pada persamaan logaritma.

Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{a}p\), maka \(f(x) = p \) asalkan \(f(x)>0\)
Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{b}f(x)\), dengan \(a \neq b \) maka \(f(x) = 1\)
Jika \(\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x)\), maka \(f(x) = g(x)\) asalkan \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\)
Jika \(\log_{h(x)}f(x) = \log_{h(x)}g(x)\), maka \(f(x) = g(x) \) asalkan \(f(x)>0, g(x)>0\) serta \(h(x)>0\) dan \(h(x) \neq 1\)
Jika \(\log_{f(x)}h(x) = \log_{g(x)}h(x)\), maka beberapa kemungkinan adalah
1. \(f(x) = g(x)\) dengan syarat \(h(x)=1, f(x)>0, f(x) \neq 1, g(x)>0, g(x) \neq 1\)
2. \(f(x) = g(x)\) dengan syarat \(h(x) \neq 1, h(x)> 0 \)

Contoh Soal 5
Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan \(\log_{3x+2}27 = \log_{5}3\) adalah...

Pembahasan Contoh Soal 5
Berdasarkan sifat-sifat persamaan logaritma diperoleh\begin{eqnarray*}
\log_{3x+2}27&=&\log_{5}3\\
\log_{3x+2}3^{3}&=&\log_{5^{3}}3^{3}\\
3x+2&=&5^{3}\\
3x+2&=&125\\
3x&=&123\\
x&=&41\end{eqnarray*}
Contoh Soal 6
Jika diketahui \(\log_{9}8=3m\) maka nilai \(\log_{4}3=\cdots \)

Pembahasan Contoh Soal 5
Berdasarkan sifat persamaan logaritma di atas\begin{eqnarray*}
\log_{9}8&=&3m\\
\frac{\log 8}{\log 9}&=&3m\\
\frac{\log 2^{3}}{\log 3^{2}}&=&3m\\
3 \log 2&=&3m \cdot 2 \log 3\\
\log 2&=&2m \log 3\\
x&=&41\end{eqnarray*}Selanjutnya dapat dicari nilai yang dimaksud\begin{eqnarray*}
\log_{4}3&=&\frac{\log 3}{\log 4}\\
&=&\frac{\log 3}{2 \log 2}\\
&=&\frac{\log 3}{2 \cdot 2 \log 3}\\
&=&\frac{1}{4m}\end{eqnarray*}

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang mengandung fungsi-fungsi logaritma dengan bentuk umum\[\log_{a}f(x) > \log_{a}g(x)\]yang menunjukkan bahwa\begin{eqnarray*}
f(x)>g(x),&~~~&a>1\\
f(x)<g(x),&~~~&0<a<1
\end{eqnarray*}Oleh karena itu untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tersebut digunakan langkah-langkah berikut

Pertama dicek syarat-syarat \(f(x)>0\) dan \(g(x)>0\). Selanjutnya diselesaikan pertidaksamaan \(f(x)>g(x)\) untuk \(a>1\) dan \(f(x)<g(x)\) untuk \(0<a<1\)

Contoh Soal 6

Nilai \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan logaritma berikut adalah\[\log_{2}(2x+7)>2\]

Pembahasan Contoh Soal 6

Akan kita cek syarat pertama yaitu\begin{eqnarray*}
2x+7&>&0\\
2x&>&-7\\
x&>&-\frac{7}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Selanjutnya diselesaikan pertidaksamaan logaritma yang dimaksud\begin{eqnarray*}
\log_{2}(2x+7)&>&2\\
\log_{2}(2x+7)&>&\log_{2}2^{2}\\
2x+7&>&2^{2}\\
2x&>&4-7\\
x&>&-\frac{3}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(\star\star)
\end{eqnarray*}Berdasarkan \((\star)\) dan \((\star\star)\) diperoleh himpunan penyelesaian \(\boldsymbol{\{x \in \mathbb{R}: x > -\frac{3}{2}\}}\)

Logaritma : Definisi, Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan (Terbaru)

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq April 12, 2019 Komentar