Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan Riil

analisis riil universitas

Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan Riil

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 29, 2020 Komentar

Teorema Bolzano-Weierstrass yang akan kita bahas sebentar lagi menjelaskan perilaku subbarisan dari barisan bilangan riil \(X=\left(x_{n}\right)\) yang terbatas.

Kita tahu bahwa untuk sebarang barisan akan mempunyai subbarisan yang monoton. Namun bagaimana kalau barisan tersebut terbatas? Apa yang bisa kita lihat dengan subbarisanya?

Mari kita lihat teorema terkenal yang disebut dengan teorema Bolzano-Weierstrass untuk barisan berikut

Teorema (Bolzano-Weierstrass) Setiap barisan yang terbatas mempunyai subbarisan yang konvergen

Bukti Misalkan $ X $ adalah barisan bilangan riil terbatas. Berdasarkan teorema subbarisan monoton maka barisan $ X $ mempunyai subbarisan yang monoton, misal $ X' $. Karena $ X $ terbatas, subbarisan $ X' $ juga terbatas. Jadi $ X' $ adalah barisan monoton dan terbatas sehingga berdasarkan teorema kekonvergenan barisan monoton subbarisan tersebut konvergen. QED

Contoh
Barisan $ (x_{n})=\left((-1)^{n}: n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan terbatas dan mempunyai subbarisan\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ -1 $ dan subbarisan\[\left(1,1,1,1, \cdots, (-1)^{2k},\cdots\right)\]yang konvergen ke $ 1 $.

Contoh di atas menunjukkan bahwa barisan yang terbatas mempunyai banyak jenis subbarisan. Ada yang konvergen ke limit yang berbeda ada juga (bahkan) yang divergen.

Misalkan barisan \(X\) dari bilangan riil dan \(X'\) adalah subbarisan dari $X$. Selanjutnya, \(X'\) sendiri adalah barisan yang juga mempunyai subbarisan, misalkan \(X''\).

Karena \(X''\) merupakan subbarisan \(X'\) maka \(X''\) juga subbarisan dari \(X\).

Lalu bagaimana jika subbarisan tersebut semua konvergen ke bilangan yang sama? Teorema berikut menjelaskan perilaku subbarisan yang demikian

Teorema 2. Misalkan $X= (x_{n}) $ barisan riil yang terbatas dan setiap subbarisan dari $ (x_{n}) $ yang konvergen mempunyai limit di $ x $. Maka barisan $ (x_{n}) $ konvergen ke $ x $

Bukti Misalkan $ M>0 $ batas dari barisan sedemikian sehingga $ \left|x_{n}\right| \leq M$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Andaikan barisan $ (x_{n}) $ tidak konvergen ke $ x $ maka terdapat $ \varepsilon_{0}>0 $ dan subbarisan $ X'=(x_{n_{k}}) $\[\left|x_{n_{k}}-x\right| \geq \varepsilon_{0}\qquad\text{untuk semua }k \in \mathbb{N}\qquad \qquad(1)\]Karena $ X' $ subbarisan maka terbatas juga dengan $ M $ dan mempunyai subbarisan $ X" $ yang konvergen ke $ x $. Akibatnya suku-suku dari $ X" $ ini berada di persekitaran-$ \varepsilon_{0} $ atau $ \left|x_{n_{k'}}-x\right|<\varepsilon_{0} $. Kontradiksi dengan persamaan (1). Pengandaian salah. Yang benar barisan $ X $ konvergen ke $ x $.  QED

Contoh
Barisan $ X= (x_{n}) = \left(\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right)$ terbatas oleh 1, yaitu $ \left|x_{n}\right| \leq 1$ untuk semua $ n \in \mathbb{N} $. Subbarisan dari $X $ di antaranya\begin{eqnarray*}X'&=& \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6} \cdots , \frac{1}{2k}, \cdots \right) \\X''&=& \left(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \cdots , \frac{1}{2k-1}, \cdots \right) \\X'''&=& \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9} \cdots , \frac{1}{3k}, \cdots \right) \\X''''&=& \left(\frac{1}{5}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15} \cdots , \frac{1}{5k}, \cdots \right)\end{eqnarray*}yang semua subbarisan tersebut konvergen ke 0.

Untuk lebih jelas silahkan lihat video penjelasan saya di bawah

Baca selengkapnya

Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

analisis riil universitas

Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2020 Komentar

Sebarang barisan yang diberikan belum tentu monoton. Akan tetapi kita bisa memastikan bahwa sebarang barisan tersebut pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

 Anda tahu tidak kalau diberikan sebarang barisan bilangan riil maka kita pasti tentu tidak bisa menyebut barisan tersebut monoton.

Bisa jadi barisan tersebut tidak monoton. Ya karena memang ada barisan yang tidak monoton. Seperti barisan\[\left(\sin n : n \in \mathbb{N}\right)\]yang bukan barisan monoton, tapi barisan yang naik dan barisan yang turun sekaligus.

Meskipun demikian, kita bisa memastikan bahwa di dalam sebarang barisan bilangan riil \(X=\left(x_{n}\right)\)  pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

Loh koq bisa? Mari simak teorema berikut ini !

Teorema 1. Jika $ X=(x_{n}) $ merupakan barisan bilangan riil maka terdapat subbarisan dari $ X $ yang monoton

Bukti : Untuk membuktikan teorema 1, kita katakan suku ke-m , yaitu \(x_{m}\), sebagai 'puncak" jika\[x_{m} \geq x_{n}\]untuk semua \(n\) sedemikian sehingga \(n \geq m\). Jadi suku \(x_{m}\) ini tidak akan lebih kecil dari suku setelahnya.

Bisa dilihat bahwa, jika barisan $ X=(x_{n}) $ turun maka semua sukunya menjadi puncak dan jika barisan naik maka tidak ada suku puncak di dalamnya.

Di sini akan dilihat dari dua kasus, barisan yang mempunyai tak hingga banyak puncak dan barisan dengan berhingga banyak puncak.

KASUS 1; Jika $ X=(x_{n}) $ mempunyai tak hingga banyak puncak, maka untuk kumpulan suku puncak dapat diurutkan sebagai berikut\[x_{m_{1}}, x_{m_{2}}, x_{m_{3}},\cdots, x_{m_{k}},\cdots\]Karena setiap suku pada barisan di atas adalah puncak maka kita memperoleh\[x_{m_{1}} \geq  x_{m_{2}} \geq  x_{m_{3}} \geq  \cdots \geq  x_{m_{k}} \geq \cdots\]Jadi barisan \(\left(x_{m_{k}}\right)\) adalah subbarisan yang turun dari barisan $ X=(x_{n}) $.

KASUS 2; Jika $(x_{n})$ mempunyai berhingga puncak, yaitu \[ x_{m_{1}},x_{m_{2}},\cdots,x_{m_{r}}\]Misalkan $ s_{1}:=m_{r}+1 $ adalah indeks pertama di luar puncak terakhir. Karena $ x_{s_{1}} $ bukan puncak, maka ada $ s_{2} >s_{1}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{1}}<x_{s_{2}} $. Karena $ x_{s_{2}} $ juga bukan puncak maka ada $ s_{3} >s_{2}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{2}}<x_{s_{3}} $.

Proses ini dilanjutkan sehingga terbentuk barisan $ (x_{s_{k}}) $ yang merupakan subbarisan naik dari $ X $. Teorema 1 terbukti. QED

Contoh

Barisan $ (x_{n})=\left(\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan yang konvergen dan monoton turun. Barisan \((x_{n})\) juga mempunyai subbarisan turun\[\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\cdots, \frac{1}{2k},\cdots\right)\]Sedangkan barisan $ (y_{n}) =(-1)^{n}$ bukan merupakan barisan monoton. Tapi barisan \((y_{n})\) mempunyai subbarisan monoton\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]

Baca selengkapnya

Barisan Fungsi Bernilai Riil

analisis riil universitas

Barisan Fungsi Bernilai Riil

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 12, 2019 Komentar

Barisan fungsi adalah barisan \((f_{n})\) dengan \(f_{n}: A \rightarrow \mathbb{R}\) dan \(A \subseteq \mathbb{R}\).

Jadi barisan fungsi adalah barisan yang setiap sukunya berupa fungsi yang memetakan dari himpunan bagian bilangan riil \(\mathbb{R}\) ke himpunan \(\mathbb{R}\) itu sendiri.

Jelas bahwa jika untuk setiap \(x \in A\) akan menentukan suatu barisan bilangan riil, yaitu\[\left(f_{n}(x)\right)\]
Contoh Soal 1
Misalkan fungsi \(f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan\[f_n(x):=x^{n}\]Barisan fungsi \(\left(f_{n}\right)\) adalah barisan\[\left(f_{n}\right)=\left(x, x^{2},x^{3},x^{4},\cdots\right)\]Untuk \(x=2\) maka barisan \(\left(f_{n}(2)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(2)\right)=\left(2,4,8,16,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil divergen. Sedangkan \(x=1\) maka barisan \(\left(f_{n}(1)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(1)\right)=\left(1,1,1,1,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil konvergen ke \(x=1\).


Pada contoh 1 menunjukkan bahwa untuk suatu barisan fungsi \((f_{n})\) bisa saja menentukan kekonvergenan yang berbeda dari  barisan bilangan riil \((f_{n}(x))\) dengan nilai \(x \in A\) yang berbeda.

Bagaimana degan definisi kekonvergenan dari barisan fungsi \((f_{n})\) sendiri?

DEFINISI
Misalkan \(\left(f_{n}\right)\) merupakan barisan fungsi pada \( A \subseteq \mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) dan \(A_{0} \subseteq A\) dan \(f:A_{0} \rightarrow \mathbb{R}\).
Barisan \(\left(f_{n}\right)\) dikatakan konvergen pada $A_{0}$ ke fungsi $ f $ jika dan hanya jika untuk setiap $ x \in A_{0} $ barisan $ \left(f_{n}(x)\right) $ konvergen ke $ f(x) $ di $ \mathbb{R} $.

Jika fungsi $ f $ tersebut ada, maka barisan $ \left(f_{n}\right) $ dikatakan konvergen pada $ A_{0} $ atau $ \left(f_{n}\right)$ konvergen sepotong-sepotong di $ A_{0} $.

Barisan $ \left(f_{n}\right) $ konvergen ke $ f $ dinotasikan dengan\[f=\lim \left(f_{n}\right)\]atau\[f_{n} \rightarrow f\]
Contoh 2
Barisan $ \left(f_{n}\right) $ dengan $ f_{n}=\frac{x}{n} $ konvergen ke $ f $ dengan $ f(x)=0 $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $,\[\frac{x}{n} \rightarrow 0\]Hal ini dikarenakan pada teorema limit yang menunjukkan bahwa\[\lim \left(f_{n}(x)\right)=\lim \frac{x}{n} = x \lim \frac{1}{n}=x \cdot 0=0\]untuk semua $ x \in \mathbb{R}$.


Contoh 3
Misalkan $ g_{n}(x):=x^{n} $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $, $ n \in \mathbb{N} $
Untuk $ x=1 $ maka $ \lim g_{n}(1) =1 $. Sedangkan untuk $ 0 \leq x < 1 $ dan $ -1<x<0 $ berlaku \[ \lim g_{n}(x) = \lim x^{n} = 0 \].
Akan tetapi untuk $ x=-1 $ barisan $ \left(g_{n}(-1)\right)=\left(-1\right)^{n} $ divergen.
Mirip juga, untuk $ |x|>1 $ menghasilkan barisan $ \left(g_{n}\right)=\left(x^{n}\right) $ tak terbatas sehingga divergen.
Oleh karena itu barisan $ \left(g_{n}\right) $ konvergen pada $ (-1,1] $ ke fungsi $ g $, dengan\[g(x):=\left\{\begin{array}{ll}0&\quad \text{untuk }-1<x<1  \\ 1& \quad \text{untuk }x=1 \end{array} \right.\]
Contoh 4
Misalkan $ h_{n}(x)=\frac{x^{2}+nx}{n} $ untuk setiap $ x \in \mathbb{R} $ dan $ n \in \mathbb{N} $ dan $ h(x)=x $ untuk $ x \in \mathbb{R} $. Maka\[\frac{x^{2}+nx}{n} \rightarrow x\]untuk semua $ x \in \mathbb{R} $. Atau\[\lim \left(\frac{x^{2}+nx}{n}\right)=x\qquad\text{untuk } x \in \mathbb{R}\]

Baca selengkapnya

Persamaan Garis Pada Dimensi Tiga

geometri analitik universitas

Persamaan Garis Pada Dimensi Tiga

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 11, 2019 1 Komentar

Artikel ini akan mengkontruksi persamaan dari garis lurus pada dimensi tiga. Alat yang digunakan dalam hal ini adalah vektor pada ruang dimensi \(\mathbb{R}^{3}\).

Pertama akan dikontruksi garis yang sejajar dengan suatu vektor yang diberikan namun mempunyai panjang vektor yang berbeda.

Misalkan sebuah garis \(L\) melalui sebuah titik \(P_{1} (x_{1},y_{1},z_{1})\) dan sejajar dengan vektor tak nol yang diberikan\[\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\]Jika sebarang titik \(P(x,y,z)\) berada di garis, maka vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}\). Sebaliknya jika vektor \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}\) maka titik \(P\) terletak pada garis \(L\).

Oleh karena itu jika \(P\) terletak di dalam garis \(L\) maka vektor  \(\overrightarrow{P_{1}P}\) bisa dinyatakan sebagai perkalian vektor \(\boldsymbol{V}\) dengan suatu skalar.

Hal ini dikarenakan vektor \(\boldsymbol{V}\) dan vektor  \(\overrightarrow{P_{1}P}\) sejajar dan berbeda panjang.

Jadi \[ \overrightarrow{P_{1}P}=t\boldsymbol{V} \]atau\[(x-x_{1})\boldsymbol{i}+(y-y_{1})\boldsymbol{j}+(z-z_{1})\boldsymbol{k}=At\boldsymbol{i}+Bt\boldsymbol{j}+Ct\boldsymbol{k}\]Karena kedua vektor sama, maka dapat dilihat bahwa koefisien yang seletak sama. Jadi\[x-x_{1}=At, \quad y-y_{1}=Bt, \quad z-z_{1}=Ct\]selanjutnya variabel \(x, y\) dan \(z\) dicari sehingga\[x=x_{1}+At,\quad y=y_{1}+Bt, \quad z=z_{1}+Ct \qquad (1)\]Ketika nilai \(t\) diberikan dengan sebarang bilangan riil, maka akan ditemukan koordinat titik \((x,y,z)\) yang terletak di garis \(L\).

Persamaan 1 di atas dinamakan persamaan parametrik dari garis.

Dengan menyamakan nilai \(t\) pada ketiga persamaan diperoleh persamaan garis berikut\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C} \qquad (2)\]Persamaan 2 ini dinamakan persamaan simetri dari garis lurus di dimensi tiga.

Sebuah bidang yang memuat garis dan tegak lurus ke bidang koordinat disebut bidang proyeksi. Persamaan 2 di atas menunjukkan tiga bidang proyeksi. Untuk membuktikan hal ini, persamaan dapat ditulis dengan\[\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B},\quad \frac{x-x_{1}}{A}=\frac{z-z_{1}}{C}, \quad \frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C}\]Masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan bidang yang tegak lurus dengan bidang \(xy, xz\) dan \(yz\).

Perhatikan persamaan bidang
\[
\begin{eqnarray}
\frac{x-x_{1}}{A}&=&\frac{y-y_{1}}{B}\\
B(x-x_{1})&=&A(y-y_{1})\\
B(x-x_{1})-A(y-y_{1})&=&0
\end{eqnarray}\]yang tegak lurus vektor normal \(\boldsymbol{N}=B\boldsymbol{i}-A\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}\). Karena vektor \(\boldsymbol{N}\) berada di bidang \(xy\) maka bidang \(\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}\) juga tegak lurus dengan bidang \(xy\).

Contoh soal 1
Tulis persamaan garis yang melalui \((2, -1, 3)\) yang sejajar dengan vektor \(\boldsymbol{V}=-2\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}\).

Pembahasan Soal 1
Persamaan garis dalam bentuk simetri adalah\[\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}\]Sedangkan persamaan parametrik garis dalam bidangnya adalah\[x=2-2t, y=-1+4t, z=3+6t\]Contoh Soal 2
Tulis persamaan garis yang melalui dua titik \(P(2,-4,5)\) dan \(Q(-1,3,1)\).

Pembahasan Soal 2
Vektor dari titik \(Q\) ke \(P\)\[\overrightarrow{QP}=3\boldsymbol{i}-73\boldsymbol{j}+43\boldsymbol{k}\]sejajar dengan garis yang dicari. Jadi persamaan simetri dari garis dalam ruang yang diinginkan adalah\[\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-5}{4}\]Jika mengggunakan vektor \(\overrightarrow{PQ}\) bisa yang akan berlainan tanda pada penyebut persamaan di atas.

Contoh Soal 3
Temukan persamaan simetri dari persamaan garis berikut\[x+y-z-7=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Pembahasan Soal 3
Persamaan pertama dikali dengan 5 sehingga dapat ditulis dengan\[5x+5y-5z-35=0, \quad x+5y+5z+5=0\]Jika persamaan pertama dijumlahkan dengan persamaan kedua maka\[6x+10y-30=0\]Jika persamaan kedua dikurangi dengan persamaan pertama maka diperoleh\[4y+6z+12=0\]Jadi didapatkan dua persamaan\[y=\frac{-3x+15}{5},\quad y=\frac{-3z-6}{2}\]Jika kedua persamaan dibagi dengan \(-3\) maka didapatkan persamaan garis dalam bentuk simetri\[\frac{y}{-3}=\frac{x-5}{5}=\frac{z+2}{2}\]Contoh Soal 4
Tuliskan persamaan garis pada ruang yang melalui titik \(A(2,,6,4)\) dan \(B(3,-2,4)\)!

Pembahasan Soal 4
Vektor dari \(A\) ke \(B\) adalah\[\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}-8\boldsymbol{j}\]Jadi persamaan garis yang dicari sejajar dengan bidang \(xy\).

Bidang \(z=4\) yang sejajar dengan  bidang \(xy\) memuat garis yang dimaksud karena garis melewati titik dengan koordinat bagian \(z\) adalah 4.

Jadi persamaan simetri dari garis adalah dengan menggunakan dua bagian pertama variabel \(x\) dan \(y\) dan ditambah dengan persamaan \(z=4\) sehingga\[z=4, \frac{x-3}{1}, \frac{y+2}{-8}\]atau\[z=4, 8x+y-22=0\]Contoh Soal 5
Temukan persamaan garis yang melalui \((2,-1,3)\) dan sejajar dengan bidang \(2x-y+4z-5=0\) dan \(3x+y+z-4=0\).

Pembahasan Soal 5
Vektor normal dari kedua bidang adalah\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1}&=&=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{N}_{2}&=&3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\end{eqnarray}\]Maka garis yang dimaksud akan tegak lurus dengan kedua vektor normal tersebut.

Jika vektor \(\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\) sejajar dengan garis, maka\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1} \cdot \boldsymbol{V}&=&2A-B+4C=0\\ \boldsymbol{N}_{2} \cdot \boldsymbol{V}&=& 3A+B+C=0\end{eqnarray}\]Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh solusi\[A=-c, B=2C\]Jadi vektor \(\boldsymbol{V}=-C\boldsymbol{i}+2C\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}\). Jika \(C=1\) maka \(\boldsymbol{V}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\).

Oleh karena itu persamaan garis yang diminta adalah\[\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}\]

Sudut Arah dan Kosinus Arah

Sudut \(\alpha, \beta\) dan \(\gamma\) antara garis berarah dengan sumbu \(x\), sumbu \(y\) dan sumbu\(z\) negatif
 disebut sudut arah dari garis tersebut.

Sedangkan kosinus dari sudut arah dinamakan kosinus arah dari garis tersebut.

Contoh Soal 6
Temukan arah postif dari garis yang direpresentasikan dengan persamaan\[\frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-5}{-2}\]dan temukan kosinus arah dari garis tersebut

Pembahasan Soal 6
Berdasarkan definisi persamaan garis di dimensi tiga, vektor \(4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}\) dan \(-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\) sejajar dengan garis yang dimaksud. Kita pilih arah positif dari garis yang mengarah ke atas sedemikian sehingga \(\gamma\) meruapakan sudut lancip. Maka vektor \(-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}\) menghadap arah positif dari garis.
Selanjutnya dengan menggunakan perkalian titik diperoleh\[\begin{eqnarray}\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{V}&=& |\boldsymbol{i}| |\boldsymbol{V}| \cos \alpha\\ -4&=& \sqrt{29} \cos \alpha \\ \cos \alpha &=& -\frac{4}{\sqrt{29}}\end{eqnarray}\]Secara serupa, untuk perkalian titik \(\boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{V}\) dan \(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{V}\) menghasilkan\[\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{29}}, \qquad \cos \gamma = \frac{2}{\sqrt{29}}\]

Latihan Soal

Pada nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan garis yang sejajar dengan garis yang diberikan dan tentukan titik potong garis dengan bidang koordinat.
1.  \(\frac{x-6}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{3}\)
2.  \(\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}\)
3.  \(\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{2}\)
4.  \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{3}\)

Tulis persamaan garis dalam dimensi tiga dalam dua bentuk dari garis yang melalui titik dan sejajar garis yang diberikan
5. \(P(4, -3, 5); -2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\)
6. \(P(3, 3, 3); \boldsymbol{i}+\boldsymbol{k}\)
7. \(P(0, 0, 0); \boldsymbol{k}\)

Tulis persamaan garis dalam dimensi 3 yang melalui dua titik berikut
8. \((1, 2, 3), (-2, 4, 0)\)
9. \((0, 0, 0), (3, 4, 5)\)
10. \((0, 0, 2), (0, 0, 4)\)

11.  Temukan bentuk simetri dari masing-masing pasangan persamaan berikut\[\begin{eqnarray} x-y-2z+1&=&0\\ x-36y-3z+7&=&0 \end{eqnarray}\]12. Temukan kosinus arah dari soal 1 sampai 4

Temukan kosinus dari sudut lancip yang dibentuk oleh masing-masing pasangan garis berikut
13. \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2},\quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{1}\)
14. \(x=3+t, y=5-8t, z=2+4t; \quad x=3+4t, y=5-2t, z=2-4t\)

15. Temukan persamaan garis yang melewati \((2,1,3)\) dan sejajar dengan bidang \(2x-3y+2z=5\) dan \(3x+2y-2z=7\)

Baca selengkapnya

Persamaan Parametrik

geometri analitik universitas

Persamaan Parametrik

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 03, 2019 Komentar

Persamaan parametrik adalah persamaan yang mendefinisikan hubungan dua variabel, misalkan \(x\) dan \(y\), dengan cara menggunakan dua persamaan dari dua variabel tersebut di mana masing-masing persamaan dinyatakan dalam suatu variabel.

Variabel tersebut dinamakan parameter.

Bingung ya?

Mari saya ulangi dalam kalimat sederhana apa itu persamaan parametrik.

Persamaan parametrik adalah persamaan yang menyatakan hubungan variabel \(x\) dan \(y\) dituliskan dengan\[\begin{eqnarray}x&=&f(t)\\y&=&g(t)\end{eqnarray}\]dengan \(a \leq t \leq b\).

Perhatikan dua persamaan berikut\[x=2t\qquad ; y=t-4\]Persamaan di atas dinamakan persamaan parametrik dari \(x\) dan \(y\) dengan parameter \(t\).

Jika nilai \(t\) disubtitusikan, maka nilai ini akan menentukan nilai \(x\) dan \(y\) yang merupakan koordinat dari kedudukan titik titik \(P(x,y)\).

Terus bagaimana menyatakan persamaan parametrik ke persamaan di koordinat salib sumbu atau koordinat kartesius?

Cara yang lazim untuk merubah persamaan parametrik ke persamaan persegi panjang (koordinat kartesius) adalah dengan mengeliminasi parameter.

Pada persamaan parameter di atas, jika anda subtitusikan nilai \(t=\frac{x}{2}\) ke persamaan kedua akan diperoleh\[
\begin{eqnarray}
y&=&\frac{x}{2}-4\\
2y&=&x-8\\
x-2y&=&8
\end{eqnarray}
\]yang merupakan persamaan derajat satu atau persamaan garis.

Sedangkan kalau merubah suatu persamaan ke persamaan parametrik. Lihat contoh berikut

Contoh Soal 1
Persamaan parabola yang didefinisikan dengan\[x^{2}+2x+y=4\]Tentukan persamaan parametrik dari persamaan tersebut!

Penyelesaian contoh soal 1
Misalkan \(x=2t\). Maka jika disubtitusi pada persamaan parabola di atas didapatkan\[
\begin{eqnarray}
\left(2t\right)^{2}+2(2t)+y&=&4\\
4t^{4}+4t+y&=&4\\
y&=&4-4t-4t^{2}
\end{eqnarray}\]Jadi persamaan parametrik dari parabola di atas adalah\[x=2t,\qquad y=4-4t-4t^{2}\]
Pada contoh 1 di atas, persamaan parametrik tentu tidak haya satu saja, bisa banyak.

Hal ini karena permisalan variabel \(x\) bisa sebarang fungsi dalam \(t\). Bisa \(x=t\) bisa \(x=t+1\) ataupun yang lain.

Berikut akan dilihat beberapa persamaan parametrik dari kurva yang terkenal.

Persamaan Parametrik Lingkaran

Persamaan parametrik dari suatu lingkaran dengan jari-jari \(r\) dan berpusat di titik asal \(O\) dapat dikontruksi dari gambar berikut

Perhatikan kedudukan titik \(P(x,y)\) pada lingkaran yang dapat dinyatakan dalam bentuk dua persamaan dengan parameter sudut \(\theta\).

Berdasarkan definisi fungsi trigonometri, fungsi sinus dan kosinus, dapat dilihat bahwa\[\cos \theta=\frac{x}{r}\]atau\[x=r\cos\theta\]dan\[\sin \theta = \frac{y}{r}\]atau\[y=r \sin \theta\]Jadi persamaan parametrik dari lingkaran dengan jari-jari \(r\) berpusat di \(O(0,0)\) dengan parameter \(\theta\) adalah\[
\begin{eqnarray}
x&=&r\cos \theta\\
y&=&r \sin \theta
\end{eqnarray}\]Jika nilai \(\theta\) naik dari \(0^{0}\) sampai \(360^{0}\) maka titik \(P(x,y)\) bergerak dari titik \(P(r,0)\) melingkar dengan arah berlawanan arah jarum jam sepanjang lingkaran.

Untuk merubah persamaan parametrik ini, akan kita eliminasi parameter \(\theta\).

Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada kedua persamaan dan dijumlahkan maka didapatkan\[
\begin{eqnarray}
x^{2}+y^{2}&=&r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\\
&=&r^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)\\
x^{2}+y^{2}&=&r^{2}
\end{eqnarray}\]yang merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari \(r\) dan berpusat di titik asal.

Persamaan Parametrik Ellips

Sekarang akan kita bentuk persamaan parametrik untuk ellips dengan pusat di titik asal \(O(0,0)\) dengan sumbu mayor di sumbu \(x\) dan sumbu minor terletak di sumbu \(y\).

Perhatikan gambar di bawah ini

Akan dicari tempat kedudukan titik \(P(x,y)\) yang bergerak sepanjang lintasan berbentuk ellips.

Berdasarkan gambar dapat disimpulkan bahwa\[
\begin{eqnarray}
x&=&OM=OA \cos \theta = a \cos \theta\\
y&=&MP=NB=OB \sin \theta=b \sin \theta
\end{eqnarray}
\]Titik \(P(x,y)\) akan bergerak dimulai dari \((a,0)\) dan melewati lintasan ellips berlawanan arah jarum seiring nilai \(\theta\) bertambah dari \(0^{0}\) sampai ke \(360^{0}\).

Oleh karena itu persamaan parametrik dari ellips dengan pusat di titik asal adalah\[x=a\cos \theta;\qquad y=b\sin\theta\]Jika parameter \(\theta\) dieliminasi maka dapat dilihat bahwa\[
\begin{eqnarray}
x^{2}&=&a^{2}\cos^{2}\theta\\
\frac{x^{2}}{a^{2}}&=&\cos^{2}\theta\\
y^{2}&=&b^{2}\sin^{2}\theta\\
\frac{y^{2}}{b^{2}}&=&\sin^{2}\theta
\end{eqnarray}
\]sehingga\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]yang merupakan persamaan ellips.

Grafik Persamaan Parametrik

Seperti halnya menggambar suatu persamaan, persamaan parametrik dapat digambarkan dengan mencacah nilai dari variabel \(x\) dan variabel \(y\).

Tentu, nilai dari dua variabel tersebut diperoleh dengan mensubtitusikan beberapa nilai dari parameternya dahulu.

Cara alternatif menggambar persamaan parametrik yaitu dengan menghilangkan parameter dan dapat diketahui persamaan tersebut dalam bidang kartesius

Perhatikan ilustrasi di dalam contoh berikut

Contoh Soal 2
Gambar sketsa dari grafik\[x=5t-t^{2};\quad y=4t-t^{2}\]Penyelesaian Contoh Soal 2
Tabel di bawah menunjukkan nilai dari variabel \(x\) dan \(y\) untuk suatu nilai \(t\)

\(\boldsymbol{t}\)	\(\boldsymbol{x}\)	\(\boldsymbol{y}\)
\(-\frac{3}{2}\)	\(-\frac{39}{4}\)	\(-\frac{33}{4}\)
\(-1\)	\(-6\)	\(-5\)
\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{11}{4}\)	\(-\frac{9}{4}\)
\(-0\)	\(-0\)	\(-0\)
\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{9}{4}\)	\(\frac{7}{4}\)
\(1\)	\(4\)	\(3\)
\(\frac{3}{2}\)	\(\frac{21}{4}\)	\(\frac{15}{4}\)

Data pada tabel di atas selanjutnya dibuat di bidang kartesius dan digambarkan sketsanya.

Jika ingin mengeliminasi parameter, langkah pertama adalah dengan mengurangkan kedua persamaan\[\begin{eqnarray}x-y&=&(5t-t^{2}) - (4t-t^{2})\\x-y&=&t\end{eqnarray}\]Selanjutnya mensubtitusi nilai \(t\) tersebut ke salah satu persamaan semula\[\begin{eqnarray}x&=&5(x-y)-(x-y)^{2}\\&=&5x-5y-x^{2}+2xy-y^{2}\\0&=&x^{2}-2xy+y^{2}-4x+5y\end{eqnarray}\]yang merupakan persamaan dari parabola.

Contoh Soal 3
Konstruksi grafik dari persamaan parametrik berikut\[x=2\sin^{2}\theta,\quad y=2 \cos^{2}\theta\]Penyelesaian Contoh Soal 3
Menkontruksi grafik dari persamaan tersebut lebih mudah dengan mengelimasi parameter.

Jika kedua persamaan dijumlahkan maka didapatkan\[\begin{eqnarray}x+y&=&2 \sin^{2}\theta+2\cos^{2}\theta\\&=&2 (\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\\x+y&=&2\end{eqnarray}\]yang meruapkan persamaan garis lurus

Cycloid

Pernahkan anda melihat benda bulat menggelinding. Pasti pernah.

Roda ban yang menggelinding salah satu contoh yang kerap terlihat.

Ada apa dengan ban menggelinding? Coba lihat animasi berikut

Garis merah merupakan lintasan yang diperoleh dari suatu titik (pentil jika dalam kasus roda ban berputar) pada keliling lingkaran yang menggelinding.

Bagaimana mendapatkan persamaan dari cycloid tersebut?

Pertama adalah dengan memilih garis sebagai sumbu-\(x\) dan titik asal sebagai titik sentuh lintasan dengan sumbu \(x\).

Pada gambar di atas, jari-jari lingkaran yang menggelinding dalah \(a\) dan titik \(P(x,y)\) sebagai titik penulusur.

Pada posisi di atas, \(CP\) membentuk sudut \(\theta\) dengan garis vertikal. Jika lingkaran menggelinding maka diperoleh panjang \(OB\) dan \(PB\). Jadi\[OB = arc PB = a\theta\]Perhatikan segitiga \(\triangle PDC\) \[\begin{eqnarray}x&=&OA=OB-PD=a\theta - a \sin \theta\\y&=&AP=BC-DC=a - a\cos\theta\end{eqnarray}\]Oleh karena itu, persamaan parametrik dari cycloid adalah\[\boldsymbol{x=a(\theta - \sin \theta);\quad y=a(1 - \cos\theta)}\]

Baca selengkapnya

Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung

matematika diskrit universitas

Fungsi Pembangkit - Teknik Menghitung

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 13, 2019 2 Komentar

Fungsi pembangkit di dalam matematika diskrit sering kali digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah menghitung.

Fungsi pembangkit juga dapat digunakan untuk menyelesaikan relasi rekursif. Pembuktian identitas dalam kombinatorial juga dapat menggunakan fungsi pembangkit.

Apa itu Fungsi Pembangkit

Fungsi pembangkit adalah fungsi yang berbentuk deret kuasa yang digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efektif dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel \(x\) di dalam bentuk formal deret kuasa.

Fungsi pembangkit dibagi menjadi dua yaitu fungsi pembangkit biasa dan fungsi pembangkit eksponensial.

Definisi formal fungsi pembangkit biasa untuk suatu barisan sebagai berikut

DEFINISI

Fungsi pembangkit biasa untuk barisan \(\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}, \cdots\right)\) adalah deret tak hingga\[G(x):=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}\cdots\]

Mari kita lihat contoh soal penggunaan dari definisi fungsi pembangkit di atas

Contoh Soal 1
Fungsi pembangkit biasa dari barisan konstan \((2, 2, 2, 2, \cdots)\) adalah\[G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}2 x^{k}=2+2x+2x^{2}+2x^{3}+\cdots\]Sedangkan fungsi pembangkit untuk barisan \((a_{k})\) dengan \(a_{k}=k+2\) adalah\[G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2) x^{k}=2+3x+4x^{2}+5x^{3}+\cdots\]Dan fungsi pembangkit untuk barisan \(a_{k}=3^{k}\) adalah fungsi\[G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(3^{k}\right) x^{k}=1+3x+9x^{2}+27x^{3}+\cdots\]
Berikut adalah beberapa macam-macam deret kuasa yang biasa dijadikan rujukan dalam  fungsi pembangkit
\[
\begin{eqnarray*}
e^{x}&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\\
&=&1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\\
\frac{1}{1-x}&=&\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\\
&=&1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\\
\frac{1}{(1-x)^{2}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^{n}\\
&=&1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots\\
\frac{1}{1-ax}&=&\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}x^{n}\\
&=&1+ax+a^{2}x^{2}+a^{3}x^{3}+\cdots\\
\frac{1}{1-x^{r}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}x^{rn}\\
&=&1+x^{r}+x^{2r}+x^{3r}+\cdots\\
(1+x)^{n}&=&\sum_{k=0}^{n}C(n,k)x^{k}
\end{eqnarray*}
\]


Contoh 1 di atas yang dicari adalah fungsi pembangkit dari suatu barisan yang diketahui. Contoh berikut kebalikannya, dicari barisan dengan fungsi pembangkit yang diketahui.

Contoh Soal 2
Fungsi \(\frac{1}{1-x}\) merupakan fungsi pembangkit dari barisan \((1, 1, 1, 1, \cdots)\) karena\[\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\]untuk \(|x|<1\).

Contoh Soal 3
Fungsi \(f(x)=e^{x}\) merupakan fungsi pembangkit untuk barisan \((1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \cdots)\) karena\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\]
Beberapa contoh soal berikut adalah mencari fungsi pembangkit dari barisan yang khusus

Contoh Soal 4
Fungsi pembangkit dari barisan \((0, 0, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \cdots)\) adalah
\[\begin{eqnarray*}
G(x)&=&0+0+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots\\
&=&\left(1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots \right)-(1+x)\\
&=&e^{x} - (1+x)
\end{eqnarray*}
\]Oleh karena itu fungsi pembangkit yang diinginkan adalah fungsi \(\boldsymbol{e^{x}-1-x}\).

Contoh soal sebelumnya membahas fungsi pembangkit untuk barisan yang tak hingga. Namun, fungsi pembangkit juga dapat digunakan pada barisan yang berhingga.

Contoh Soal 5
Fungsi pembangkit dari barisan \((1,1,1,1,1)\) adalah
\[\begin{eqnarray*}
G(x)&=&1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\\
&=&\left(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots\right) - \left(x^{5}+x^{6}+x^{7}+x^{8}+\cdots\right)\\
&=&\frac{1}{1-x}- x^{5}\left(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots\right) \\
&=&\frac{1}{1-x} - \frac{x^{5}}{1-x}\\
&=&\frac{1-x^{5}}{1-x}
\end{eqnarray*}
\]Oleh karena itu fungsi pembangkit yang dicari adalah fungsi \(\boldsymbol{\frac{1-x^{5}}{1-x}}\).

Mulai dari awal tadi anda mungkin secara sadar bahwa dalam fungsi pembangkit banyak menggunakan deret tak hingga.

Deret tak hingga yang didefinisikan pada fungsi pembangkit tersebut digolongkan dalam deret kuasa.

Sifat Deret Kuasa

Karena dalam pembahasan fungsi pembangkit, kita banyak melibatkan deret kuasa, maka akan kita tinjau beberapa sifat dari deret kuasa

Teorema

Misalkan \(f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\) dan \(g(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}\) maka
\[
\begin{eqnarray*}
f(x)+g(x)&=&\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right) x^{k}\\
f(x)\cdot g(x)&=&\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}\right)x^{k}
\end{eqnarray*}
\]

Contoh Soal 6
Misalkan fungsi \(f(x)= \frac{1}{(1-x)^{2}}\). Tentukan barisan yang fungsi pembangkitnya adalah fungsi \(f(x)\)!

Solusi Contoh soal 6
Berdasarkan deret kuasa dari fungsi \(f(x)\) diperoleh\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\]Berdasarkan teorema di atas didapatkan
\[\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\sum\limits_{j=0}^{k}1\right)x^{k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(k+1)x^{k}
\]Oleh karena itu, barisan yang dicari adalah \(a_{k}=k+1\) yaitu \((1,2,3,4,5,\cdots)\).

Penggunaan fungsi pembangkit dalam menyelesaikan masalah perhitungan juga seringkali melibatkan teorema binomial dengan pangkat tidak hanya bilangan bulat positif.

Oleh karena itu diperlukan koefisien binomial yang diperluas.

DEFINISI

Misalkan \(u\) adalah bilangan riil dan \(k\) adalah bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas \(\left(\begin{array}{c}u\\k\end{array}\right)\) yang didefinisikan dengan
\[
\left(\begin{array}{c}u\\k\end{array}\right):=\left\{\begin{array}{ll}u(u-1)(u-2)\cdots\frac{(u-k+1)}{k!}&\quad\text{jika } k>0\\1,&\quad\text{jika }k=0\end{array}
\right.
\]

Ketika parameter atas pada koefisien binomial meruapakan bilangan bulat negatif, maka koefisien binomial diperluas ini dapat disajikan dengan koefisien binomial biasa, yaitu\[\left(\begin{array}{c}-n\\r\end{array}\right)=(-1)^{r}\left(\begin{array}{c}n+r-1\\r\end{array}\right)\]Sehingga mengantarkan kita pada teorema binomial berikut

Teorema Binomial Diperluas

Misalkan \(x\) adalah bilangan riil dengan \(|x|<1\) dan misalkan \(u\) merupakan bilangan riil. Maka\[\left(1+x\right)^{u}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}u\\k\end{array}\right)x^{k}\]

Sekarang kita akan melihat beberapa aplikasi dari fungsi pembangkit untuk teknik menghitung

Fungsi Pembangkit untuk Kombinasi

Masalah menghitung tingkat lanjut dapat menggunakan fungsi pembangkit dalam solusinya.

Kalau di dalam masalah kombinasi, Anda sering menghitung banyaknya cara untuk memilih suatu cara dengan bilangan yang tetap.

Bagaimana kalau pemilihan cara ini dengan bilangan yang umum dan objek pun umum.

Bingung??hehe

Mari lihat contoh di bawah ini.

===================
Soal Contoh 7
Misalkan terdapat tiga objek \(a, b\) dan \(c\). Syarat pengambilan objek tersebut sebagai berikut
Objek \(a\) boleh diambil paling banyak 2 kali
Objek \(b\) boleh diambil paling banyak 1 kali
Objek \(c\) boleh diambil paling banyak 1 kali

Ada berapa banyak cara pengambilan \(k\) objek dengan syarat di atas ?

Solusi Soal Contoh 7

Misalkan \(a_{k}\) adalah banyak cara pengambilan \(k\) objek dengan syarat yang ditentukan.

Fungsi pembangkit untuk masalah ini adalah\[\boldsymbol{P(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}}\]Berdasarkan syarat yang ditentukan
Objek \(a\) dapat dipilih 0, 1, dan 2 kali, bbjek \(a\) dapat dipilih 0 dan 1kali, objek \(a\) dapat dipilih 0 dan 1 kali

Maka fungsi pembangkit yang dipakai adalah\[
\begin{eqnarray*}
P(x)&=&\left[(ax)^{0}+(ax)^{1}+(ax)^{2}\right]\left[(bx)^{0}+(bx)^{1}\right]\left[(cx)^{0}+(cx)^{1}\right]\\
&=&\left(1+ax+a^{2}x^{2}\right)\left(1+bx\right)\left(1+cx\right)\\
&=&1+(a+b+c)x+(ab+bc+ac+a^{2})x^{2}+(abc+a^{2}b+a^{2}c)x^{3}+(a^{2}bc)x^{4}
\end{eqnarray*}
\]Jika dilhat persamaan terakhir, koefisien \(x^{k}\) mengindikasikan memilih \(k\) objek dengan syarat yang telah ditentukan.

Jadi, jika \(a=b=c=d=1\) maka koefisien \(x^{k}\) menyatakan banyaknya cara memilih \(k\) objek tersebut.

Sehingga, persamaan pembangkit dari masalah ini menjadi\[
\begin{eqnarray}
P(x)&=&1+3x+4x^{2}+3x^{3}+x^{4}\\
P(x)&=&(1+x+x^{2}+x^{3})(1+x)(1+x)
\end{eqnarray}
\]===================

Soal Contoh 8

Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih \(r\) objek dari \(n\) objek, dengan pengulangan tidak diperkenankan.

Penyelesaian Soal Contoh 8

Karena pengulangan tidak diperbolehkan maka pengambilang masing-masing objek hanya boleh 0 dan 1 kali.

Jadi fungsi pembangkit adalah\[
\begin{array}
G(x)&=&\underbrace{(1+x)(1+x) \cdots (1+x)}_{n}\\
&=&(1+x)^{n}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^{\infty}C(n,k)~x^{k}
\end{array}
\]

Baca selengkapnya

Deret tak Hingga yang Konvergen: Bagian 1

kalkulus universitas

Deret tak Hingga yang Konvergen: Bagian 1

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 18, 2019 Komentar

Hai sobat matematika

Sudah tahu belum apa deret tak hingga itu? Kalau belum coba baca dulu di sini.

Deret tak hingga disebut mempunyai jumlahan jika deret tak hingga tersebut konvergen. Kekonvergenan deret tak hingga menuntut kita untuk mencari kekonvergenan dari barisan jumlahan parsialnya.

Ini tidak mudah bro! Perlu senjata tambahan untuk memudahkan Anda dalam menunjukkan suatuu deret tak hingga konvergen atau tidak.

Artikel ini akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan deret tak hingga yang konvergen.

Jadi mari kita nikmati hidangan berikut.hehehe

Deret Tak Hingga Berbeda \(m\) Suku Pertama

Perhatikan dua deret tak hingga berikut\[\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots\end{eqnarray}\]

Dua deret di atas berbeda hanya pada suku ke-2, yaitu deret pertama selisih satu dengan deret kedua.

Jangan Lewatkan : Apa itu Vektor?

Jika terdapat dua deret tak hingga yang berbeda hanya dari \(m\) suku pertama akan mempunyai kekonvergenan yang sama.

TEOREMA 1

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ dua deret tak hingga yang berbeda hanya pada suku $ m $ pertama, yaitu $ a_{k}=b_{k} $ jika $ k>m $ maka kedua deret konvergen atau kedua deret divergen.

Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa jika suku-suku pada suatu deret tak hingga dikurangi atau ditambah sebanyak berhingga maka hal itu tidak mengurangi kekonvergenan deret tak hingga tersebut.

Pada ilustrasi di atas deret\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}\quad \text{ dan }\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\] hanya berbeda satu suku saja dan karena deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) merupakan deret-\(p\) yang konvergen sehingga deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}\) juga konvergen.

Mari kita lihat contoh lain di bawah ini

Contoh Soal 1
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4} $ divergen karena\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] dan deret harmonik\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] yang berbeda hanya suku empat pertama sehingga deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}$ divergen.

Perkalian Deret Tak Hingga dengan Konstanta

Pada kasus penjumlahan dan pengurangan suku-suku suatu deret tak mempengaruhi kekonvergenan deret tak hingga. Lalu muncul pertanyaan

Bagaimana jika masing-masing suku dari suatu deret tak hingga dikalikan dengan suatu kosntanta tetap? Apakah masih tetap sama status kekonvergenan?

Teorema berikut menjelaskan tentang hal itu

TEOREMA 2

Misalkan $ c $ adalah konstanta tak nol

i. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S $ maka deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ konvergen dengan jumlahan $ c\cdot S $.

ii. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ divergen maka deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ divergen.

Ternyata perkalian suku demi suku dengan suatu kosntanta dari deret tak hingga, kekonvergenan dan divergenan tidak berubah.

Contoh Soal 2
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} $ divergen karena $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ yang divergen berdasarkan teorema 2 dengan $ c=\frac{1}{4} $.

Baca Juga : Apa itu limit ?

Penjumlahan dan Pengurangan Deret Tak Hingga

Pengurangan dan penjumlahan suku suatu deret tak hingga sudah, perkalian suku demi suku deret tak hingga juga sudah diberikan kekonvergenannya.

Sekarang akan kita lihat bagaimana kekonvergenan dari dua deret yang dijumlahkan dan dua deret yang dikurangkan setiap suku-suku yang bersesuaian.

TEOREMA 3

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ merupakan deret tak hingga yang konvergen berturut-turut di $ R $ dan $ S $ maka

i. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S +R $

ii. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}-b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S-R $ 

Teorema 4 ini merupakan akibat dari teorema 3 di atas

TEOREMA 4

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konvergen dan konvergen  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ divergen maka $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ divergen.

Contoh Soal 3
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}+\frac{1}{4^{n}}\right) $ merupakan deret divergen karena  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}\right) $ merupakan deret divergen.

Catatan : Jika kedua deret tak hingga \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\) dan \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\) merupakan deret yang divergen maka deret \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})\) bisa jadi konvergen atau bisa jadi divergen.

Contoh 4
Misalkan \(a_{n}=\frac{1}{n}\),  \(b_{n} = \frac{1}{n}\) dan \(c_{n}=-\frac{1}{n}\). Akibatnya deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\] yang merupakan deret divergen karena hasil dari perkalian dua dari deret harmonik (teorema 2 bagian i).
Sedangkan deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+c_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}0\]merupakan deret yang konvergen.

Baca selengkapnya

Solusi UTS Teori Graf (2019)

teori graf universitas

Solusi UTS Teori Graf (2019)

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 16, 2019 Komentar

Soal 1
a. Jika \( G \) adalah graf reguler-$ k $ dengan $ n $ titik. Berapa banyak sisi yang bisa dimiliki $ G $ ?
b. Gambar graf reguler-$ 3 $ dengan 11 titik atau buktikan bahwa tidak ada graf yang seperti itu !

Penyelesaian
Formula jumlahan derajat titik mengatakan bahwa\[\sum_{v \in V}\deg(v)=2\left|E\right|\]Jadi untuk graf reguler-$k$ yang memiliki titik sebanyak $n$ akan memiliki sisi sebanyak $\boldsymbol{|E| = \frac{kn}{2}}$.

Berdasarkan formula jumlahan titik di atas diperoleh banyak sisi $|E|=\frac{3\cdot 11}{2}$ yang bukan merupakan bilangan bulat. Oleh karena itu tidak ada graf reguler-$3$ dengan 11 titik.

Baca juga : Pembahasan Soal Teori Graf

Soal 2
Misalkan $ n $ bilangan bulat positif. Tunjukkan bahwa subgraf yang teriduksi oleh subset tak kosong dari himpunan titik $ V(K_{n}) $ merupakan graf lengkap !

Penyelesaian
Misalkan $G$ adalah subgraf terinduksi dari graf lengkap $K_{n}$. Ambil sebarang titik $u$ dan $v$ di $G$.

Jika $u$ dan $v$ membentuk garis di $K_{n}$ maka berdasarkan definisi subgraf terinduksi titik $u$ dan $v$ juga harus membentuk garis di $G$.

Karena setiap dua titik membentuk di graf lengkap $K_{n}$ maka ini berlaku untuk sebarang dua titik $u$ dan $v$ di graf $G$.

Oleh karena itu, graf $G$ lengkap.

Soal 3
Jelaskan karakter atau ciri-ciri matriks ketetanggan dari suatu graf bipartit! Jelaskan !

Jangan lewatkan juga : Graf Pohon

Penyelesaian
Misalkan graf $G$ adalah graf bipartit dengan himpunan titik $V$ dipartisi menjadi dua himpunan yaitu $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\}$ dan himpunan $A=\left\{b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right\}$.

Berdasarkan definisi graf bipartit maka sebarang titik $a_{i}$ dan $a_{j}$ tidak bertetangga untuk $i \neq j$ begitu pula dengan $b_{i}$ dan $b_{j}$.

Jadi jika setiap titik pada satu partisi diurutkan di entri matriks ketetanggan graf $G$ akan diperoleh bentuk matriks
\[\boldsymbol{\left(\begin{array}{cc}0_{m,m}&H\\H^{T}&0_{n,n}\end{array}\right)}\]dengan $0_{n,n}$  dan $0_{m,m}$ adalah matriks nol dengan ukuran $n \times n$. Sedangkan matriks $H$ adalah matriks berukuran $m \times n$ yang merepresentasikan matriks $G$.

Soal 4
Barisan derajat dari graf adalah barisan derajat setiap titik dari graf ke dalam urutan tak naik.
a. Barisan derajat dari graf $ K_{m,n} $ dengan $ m,n \in \mathbb{N} $ seperti apa? Jelaskan !
b. Berapa banyak sisi yang dimiliki suatu graf jika barisan derajatnya $ 4,3,3,2,2 $? Gambar graf tersebut!

Penyelesaian
(a). Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit yang setiap titik di salah satu partisi bertetangga dengan semua titik di partisi yang lain sehingga barisan derajat graf $K_{m,n}$ bisa dibagi dua macam bilangan $m$ dan $n$, yaitu\[\underbrace{m\cdot m \cdot \ldots \cdot m \cdot}_{n \text{ faktor}}\underbrace{n\cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{m \text{ faktor}}\]
(b). Berdasarkan formula jumlahan sisi di atas maka banyak sisi adalah\[|E|=\frac{\sum\limits_{v \in V}\deg (v)}{2}=\frac{4+3+3+2+2}{2}=7\]Oleh karena itu banyak sisi yang bisa dimiliki graf adalah 7.

Baca selengkapnya

Deret Tak Hingga; Definisi, Contoh dan Kekonvergenan (2019)

kalkulus universitas

Deret Tak Hingga; Definisi, Contoh dan Kekonvergenan (2019)

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 03, 2019 Komentar

Hai sobat matematika...

Anda mungkin sudah mengetahui sekilas bentuk deret di sekolah menengah, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.

Suatu deret bilangan di dalam matematika memegang peranan penting. Beberapa perhitungan di matematika terapan menggunakan deret sebagai teknik untuk menghampiri suatu fungsi. Bahkan di beberapa area di luar matematika juga menggunakan deret seperti di bidang fisika, ilmu komputer, statistik dan keuangan.

Kali ini kita akan melihat apa sih deret bilangan itu? atau formalnya dinamakan deret tak hingga suatu bilangan.

Jika berbicara deret tak hingga maka tidak akan lepas dari tiga unsur di dalamnya definisi deret tak hingga, apa saja bentuk deret tak hingga dan bagaimana kekonvergenan dari suatu deret tak hingga.

Tanpa panjang kali lebar, alas kali tinggi mari kita come on masuk pada bahasan deret tak hingga.

Barisan

Loh loh katanya bahas deret tak hingga kenapa ini malah ke barisan dulu? Ada apa gerangan?

Tenang Guys!!!

Deret tak hingga nantinya didefinisikan dari suatu barisan. So check it out !

DEFINISI BARISAN

Barisan adalah suatu fungsi yang mempunyai domain bilangan bulat positif dan daerah hasil bilangan riil.\[\boldsymbol{u_{n}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}}\]

Berdasarkan definisi di atas, barisan merupakan suatu fungsi. Jadi fungsi itu tidak melulu \(f(x)=x^{2}\) atau \(g(x)=2x+3\), keduanya bisa dirangkum menjadi suatu fungsi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) atau \[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\]
Kembali ke barisan tadi.

Suatu barisan dinotasikan dengan \[\mathbb{(a_{n})}\]Tanda kurung lengkung untuk membedakan dengan himpunan karena beberapa literatur menuliskan barisan dengan kurung kurawal \(\{a_{n}\}\).

Suku-suku suatu barisan tertentu akan menuju suatu nilai artinya suku-suku yang relatif besar nilanya menuju (dekat) dengan suatu nilai yang disebut titik limit. Barisan yang seperti ini disebut barisan yang konvergen.

Untuk alasan kepraktisan kita loncati dulu definisi formal barisan konvergen. Lain waktu kita bahas tentang hal ini.

Tapi tidak usah kuatir, kali ini Anda akan saya berikan beberapa kriteria apa saja yang memenuhi barisan konvergen itu.

Siaap!!!

Baca Juga : Barisan dan Deret Bilangan

TEOREMA BARISAN KONVERGEN

1. Barisan konstan \(\left(c\right)\) konvergen

2. Jika \(\left(a_{n}\right)\) barisan konvergen dan \(c\) adalah konstan maka \(\left(ca_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim ca_{n}=c \lim a_{n}\]

3. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\left(a_{n}\pm b_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim \left(a_{n}\pm b_{n}\right)= \lim a_{n}\pm \lim b_{n}\]

4. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\left(a_{n} b_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim a_{n}b_{n} =\left(\lim a_{n}\right) \left( \lim b_{n} \right)\]

5. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\frac{(a_{n})}{ (b_{n})}\) juga barisan konvergen dan\[\lim \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}} \]jika \(\lim b_{n} \neq 0\)

6. Barisan  \(\left(a_{n}\right)\) barisan konvergen jika dan hanya jika  \(\left(a_{n}\right)\) barisan monoton dan terbatas.

7. Jika barisan $ (a_{n}) $ naik dan $ D $ merupakan batas atas barisan $ (a_{n}) $ maka $ (a_{n}) $ konvergen dan \[ \lim a_{n} \leq D \]

8. Jika barisan $ (a_{n}) $ turun dan $ C $ merupakan batas bawah barisan $ (a_{n}) $ maka $ (a_{n}) $ konvergen dan \[ \lim a_{n} \geq C \]

Sesudah dikenalkan sekilas dengan teori barisan, sudah saatnya Anda beranjak ke bahasan awal kita yaitu tentang deret tak hingga.

Definisi Deret Tak Hingga

Di awal sudah saya sebut bahwa definisi deret tak hingga dibangun dari barisan. mari kita lihat definisi deret yang saya maksud

DEFINISI

Jika $ (u_{n}) $ adalah barisan dan \[ s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} \]maka barisan $ (s_{n}) $ dikatakan deret tak hingga.

Ohh jadi yang dimaksud deret tak hingga adalah barisan dari jumlahan parsialnya, \((s_{n}) \).

Bilangan $ u_{1},u_{2},\cdots $ disebut suku-suku deret tak hingga

Deret tak hingga biasa dinotasikan dengan\[\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots\]

Bilangan\[ s_{k}=\sum_{i=1}^{k}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{k}\]disebut jumlahan parsial ke-k dari deret.

Hubungan jumlahan parsial dan suku pada deret tak hingga\[s_{n}=s_{n-1}+u_{n}\]

Contoh Soal 1
Diberikan deret tak hingga\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]Temukan empat suku pertama barisan jumlahan parsial \((s_{n}) \), tentukan formula \(s_{n} \) dalam variabel $n$!

Penyelesaian Contoh Soal 1
Berdasarkan informasi yang diberikan diperoleh\[
\begin{eqnarray*}
s_{1}&=&u_{1}=\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{1}{2}\\
s_{2}&=&s_{1}+u_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}\\
s_{3}&=&s_{2}+u_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3 \cdot 4}=\frac{3}{4}\\
s_{4}&=&s_{3}+u_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4 \cdot 5}=\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}
\]Berikutnya akan kita lihat bentuk masing-masing suku deret yang diberikan dan dibuat pecahan parsialnya menjadi\[u_{k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]Oleh karena itu\[
\begin{eqnarray*}
u_{1}&=&1-\frac{1}{2}\\
u_{2}&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\
u_{3}&=&\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\
&\vdots&\\
u_{n-1}&=&\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\
u_{n}&=&\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}
\]Karena $s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}$sehingga
\[s_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]Dengan menghapus tanda kurung maka persamaan di atas diperoleh
\[s_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\]

Jadi pekerjaan untuk mencari barisan jumlahan parsial dari suatu deret tak hingga dalam variabel \(n\) memerlukan banyak energi.

Ga percaya dengan omongan saya??? Nanti lihat di latihan soal ya.hehe

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Sesudah mendefinisikan deret tak hingga dan beberapa istilah dasar di dalamnya, kita akan beranjak di masalah kekonvergenan suatu deret tak hingga.

Kekonvergenan suatu deret tak hingga didefinisikan oleh kekonvergenan barisan jumlahan parsialnya.

Definisi berikut memberikan gambaran apa itu deret tak hingga yang konvergen.

DEFINISI DERET KONVERGEN

Misalkan deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ dan barisan jumlahan parsial $ (s_{n}) $ yang mendefinisikan deret tak hingga tersebut. Deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan $ (s_{n}) $ konvergen. Misalkan $ s_{n} \rightarrow S $ ketika $ n \rightarrow \infty $ maka deret tak hingga dikatakan mempunyai jumlahan $ S $. Jika $ (s_{n}) $ tidak konvergen maka deret dikatakan divergen.

Perhatikan lagi deret yang didefinisikan pada contoh soal 1, akan kita lihat kekonvergenan deret tak hingga tersebut pada contoh di bawah ini.

Contoh Soal 2
Diberikan deret tak hingga\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]Selidiki apakah deret tak hingga tersebut konvergen!

Pembahasan Contoh Soal 1
Seperti pada pembahasan contoh soal 1 di atas, barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ adalah \[s_{n}=\frac{n}{n+1}\]Pekerjaan berikutnya adalah menyelidiki apakah barisan \((s_{n})\) di atas konvergen apa tidak (berdasarkan definisi deret tak hingga konvergen). Dapat dilihat bahwa\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} =1 \]Jadi berdasarkan definisi deret konvergen di atas, dapat disimpulkan bahwa deret tak hingga $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$  konvergen dan mempunyai jumlahan 1. Akibatnya deret tak hingga tersebut dapat ditulis\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots =\frac{1}{n(n+1)+\cdots}= 1\]

Baca juga ini ya : Cara mencari Limit Fungsi

Definsi di atas mewajibkan Anda untuk mengetahui barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga \(\left(s_{n}\right)\). Hal ini terkadang menjadi kesulitan tersendiri bagi Anda.

Mencari pola suatu barisan dalam variabel \(n\) tidaklah mudah untuk beberapa barisan. Anda sudah melihat bagaimana proses mencari barisan  \(\left(s_{n}\right)\) dari deret tak hingga \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\) di atas.

Oleh karena itu diperlukan sifat atau teorema turunannya yang lebih mudah untuk mencari kekonvergenan dari deret tak hingga.

Seperti halnya pada bahasan barisan konvergen, deret tak hingga yang konvergen bisa diidentifikasi melalui beberapa sifat atau teorema diantaranya adalah

TEOREMA DERET TAK HINGGA KONVERGEN (1)

1. Jika deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ maka $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n}=0 $

2. Jika $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n} \neq 0 $ maka deret tak hingga $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ divergen.

3. Misalkan $ (s_{n}) $ merupakan deret jumlahan parsial dari deret tak hingga konvergen $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n} $. Maka untuk sebarang $ \varepsilon>0 $ terdapat bilangan $ N $ sedemikian sehingga untuk $ R>N $ dan $ T>N $ berlaku\[\left|s_{R}-s_{T}\right|< \varepsilon\]

Poin pertama tidak berlaku sebaliknya, artinya deret tak hingga yang suku-sukunya konvergen ke nol belum tentu deret tak hingga tersebut konvergen.

Ilustrasi pada contoh di bawah menerangkan hal tersebut.

Contoh Soal 3
Perhatikan deret harmonik berikut\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots\]Dapat ditunjukkan bahwa $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $ namun deret tak hingga $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ divergen.

Pembahasan Contoh Soal 3
Akan ditunjukkan deret harmonik divergen. Perhatikan barisan\[s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\]dan\[s_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}\]Jadi\[s_{2n}-s_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad(*)\]Jika $ n>1 $ maka\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad (**)\]Setiap ruas pada ketaksamaan (**) di atas mempunyai suku sebanyak $ n $ sehingga ruas kiri $ n(\frac{1}{2n})=\frac{1}{2} $. Jadi berdasarkan persamaan (*) dan (**) diperoleh

\[s_{2n}- s_{n} > \frac{1}{2} \qquad  n > 1 \]

Hal ini kontradiksi dengan teorema bagian 3; ambil $ \varepsilon = \frac{1}{2} $ maka untuk setiap $ N $ sedemikian sehingga untuk $ 2n>N $ dan $ n>N $ berlaku\[s_{2n}-s_{n}>\frac{1}{2}\]

Jadi deret harmonik $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}  $ divergen meskipun barisan $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0 $.

Berikutnya akan kita tinjau salah satu jenis deret tak hingga yang cukup populer, yaitu deret geometri. Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada contoh di bawah.

Contoh Soal 4
Deret geometri dengan bentuk\[\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\]dengan barisan jumlahan parsial ke-\(n\) didefinisikan dengan\[s_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\qquad(r\neq 1)\]

Teorema 1 di atas mencari kekonvergenan deret tak hingga \(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\) masih berkutat pada barisan jumlahan parsialnya yang terkadang sulit untuk mencari kekonvergenan barisan.

Harus diperlukan beberapa beberapa teorema lanjutan yang menjelaskan kekonvergenan deret tak hingga dari sudut lain.

Bahasan lanjutan dapat dibaca di artikel pada link berikut.

Kesimpulan

Deret tak hingga merupakan suatu barisan dari jumlahan parsialnya. Deret tak hingga akan dikatakan konvergen atau mempunyai jumlahan jika dan hanya jika jumlahan parsialnya konvergen.

Identifikasi kekonveergenan deret tak hingga lain selain definisi bisa dicari lewat selisih jumlahan parsialnya yang diwajibkan relatif kecil.

\(--\bigstar\bigstar\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\bigstar\bigstar--\)

Baca selengkapnya

Masalah Bilangan Ramsey: Teori Graf

teori graf universitas

Masalah Bilangan Ramsey: Teori Graf

Mohammad Mahfuzh Shiddiq September 23, 2019 Komentar

Hai sobat matematika...

Pada sebuah pesta yang akan diadakan, seseorang bernama Ramsey mengundang lima orang. Jadi pesta dihadiri enam orang.

Lalu muncul teka teki di pesta Ramsey

Tunjukkan bahwa pada sebarang pesta dengan enam orang, terdapat tiga orang yang saling kenal atau tidak orang yang tidak saling kenal.

Matematika sebagai bahasa universal dapat memecahkan teka teki semacam ini. Masalah Ramsey tersebut terkenal dalam teori graf, cabang matematika yang membahas titik dan garis.

Teori Graf, Ulasan Sekilas

Graf dalam matematika didefinisikan dengan pasangan himpunan berurutan \(\boldsymbol{G = \left(V,E\right)}\) dari himpunan titik \(V\left(G\right)\) dan himpunan sisi \(E\left(G\right)\).

Suatu titik \(v\) anggota dari himpunan \(V\) dikatakan bertetangga dengan titik \(u\) jika dan hanya jika terdapat sisi \(uv\) anggota dari \(E\) di dalam graf \(E\).

Suatu graf yang sebarang dua titik di dalamnya bertetangga disebut graf lengkap. Graf lengkap dengan \(n\) titik dinotasikan dengan \(\boldsymbol{K_{n}}\). Misalkan graf lengkap \(K_{3}\) berikut.

Komplemen suatu graf \(G\), dinotasikan dengan \(\boldsymbol{\overline{G}}\), adalah graf yang mempunyai himpunan titik  \(V\left(G\right)\) namun dua titik bertetangga di \(\overline{G}\) jika dan jika dua titik tersebut tidak bertetangga di \(G\).

Baca Juga : Apa sih itu graf pohon ?

Masalah ramsey tersebut digambarkan sebagai graf \(G\) dengan enam titik sebagai enam orang dan sisi di dalam graf \(G\) merepresentasikan hubungan saling kenal.

Jadi masalah ramsey merupakan salah kasus dalam bilangan ramsey, dan dapat dinyatakan pada teorema berikut

Teorema

Untuk sebarang graf \(G\) dengan enam titik, maka graf \(G\) atau komplemen \(\overline{G}\) memuat \(K_{3}\)

Bukti. Misalkan titik \(v\) adalah titik di dalam \(G\) di atara enam titik. Karena titik \(v\) bertetangga di \(G\) atau kalau tidak di \(\overline{G}\) dengan kelima titik yang lainnya. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan titik \(v\) bertetangga dengan tiga titik \(u_{1}\), \(u_{2}\), dan \(u_{3}\).
Jika dua di antara ketiga titik ini bertetangga, maka dua titik tersebut berada di \(K_{3}\) yang titik ketiga adalah \(v\). Namun, jika tidak ada dari dua titik tersebut yang bertetangga, maka ketiga titik  \(u_{1}\), \(u_{2}\), dan \(u_{3}\) saling bertetangga di komplemen graf   \(\overline{G}\) membentuk graf \(K_{3}\). \(\blacksquare\).

Jadi pembuktian teorema di atas menunjukkan bahwa setiap pesta yang terdiri dari enam orang dijamin ada tiga orang saling kenal atau tiga orang yang saling tidak saling kenal.

Bilangan Ramsey

Peryataan yang terdapat pada teorema di atas menimbulkan pertanyaan

Berapakah bilangan bulat terkecil \(r(m,n)\) sedemikian sehingga graf \(G\) dengan \(r(m,n)\) titik memuat \(K_{m}\) atau \(\overline{K}_{n}\)?

Nilai \(\boldsymbol{r(m,n)}\) dinamakan Bilangan Ramsey. Pencarian bilangan ramsey ini pada faktanya merupakan masalah yang belum terpecahkan.

Namun, beberapa peniliti menemukan batas atas dari bilangan ramsey. Di antaranya Erdos dan Szekeres di dalam jurnalnya menemukan batas tersebut, yaitu
\[r(m,n) \leq
\left(\begin{array}{cc}
m+n-2\\m-1
\end{array}\right)\]Peneliti lain, mendata beberapa bilangan ramsey ini di dalam artikel review dan menghasilkan beberapa bilangan ramsey berikut

Tentunya, bilangan ramsey ini banyak menarik beberapa peneliti lain untuk menemukan dan menganalisa beberapa sifatnya pada berbagai macam graf.

Perumuman bilangan ramsey dinotasikan dengan\[\boldsymbol{R\left(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}\right)}\]yang dikenalkan oleh Grenwood dkk dalam jurnal mereka.

Bilangan Ramsey tersendiri merupakan kasus khusus dalam teori graf dari teorema Ramsey yang merupakan masalah dalam pewarnaan sisi pada suatu graf.

Baca Juga : Pembahasan Soal Pengantar Teori Graf

Kesimpulan

Bilangan ramsey sebagai salah satu topik dalam matematika memberikan jaminan masalah pada suatu pesta yang menjamin hubungan saling kenal di antara peserta pesta.

Pada artikel ini, kita membahas pesta yang dihadiri enam orang akan menjamin tiga orang saling kenal atau tiga orang yang tidak saling kenal.

Baca selengkapnya

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

analisis riil universitas

Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (UTS) Analisis Riil 2019

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2019 Komentar

Soal 001

Misalkan \(f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan \(f(x):=-(x^x)\). Tunjukkan \(f^{-1}\) monoton murni dan kontinu di \(f([1,\infty) )\)!

Pembahasan Soal 001

Ambil sebarang \(a,b \in [1,\infty)\) dengan \(a<b\) maka diperoleh\begin{eqnarray*}
a&<&b\\
a^a&<&b^b\\
-\left(a^a\right)&>&-\left(b^b\right)\\
f(a)&>&f(b)
\end{eqnarray*}Jadi fungsi \(f\) turun murni pada interval \([1,\infty) \)

Berikutnya dapat ditunjukkan bahwa \(\lim\limits_{x \rightarrow c} -(x^x) = - (c^c) \) sehingga fungsi \(f\) kontinu.

Berdasarkan teorema invers monoton fungsi maka invers fungsi \(f\) yaitu \(f^{-1}\) merupakan fungsi yang turun murni dan kontinu pada interval \(f([1,\infty) )\). \(\blacksquare\)

Soal 002

Misalkan \(n \in \mathbb{N}\) dan fungsi \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    g(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{n}, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}Tentukan nilai \(n\) sedemikian sehingga \(g'\) kontinu di \(x=0\) dan nilai \(n\) sehingga \(g'(0)\) ada ! Jelaskan !

Pembahasan Soal 002

Klaim bahwa fungsi \(g''(0)\) ada untuk \(n \geq 2\).

Bukti : Untuk \(n=2\) dan untuk sebarang \(x \in \mathbb{R}\) diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                   2, & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Jadi \(g''(0) = 2\) sehingga berdasarkan teorema maka fungsi \(g'\) kontinu di \(x=0\).

Andaikan \(g''(0)\)  ada untuk \(n=k\) , yaitu \(g''(0)=k(x^{k-1})=0\). Maka berdasarkan sifat pada turunan diperoleh\[g''(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                 (k+1)(k)x^{k-1}  , & \text{untuk }x \geq 0 \\
                   0 & \text{untuk }x < 0
                 \end{array}
    \right.\]Berdasarkan asumsi, \(g'(x)=k(x^{k-1})\) ada. Terbukti bahwa \(g''(0)\) ada.

Teorema mengatakan bahwa \(f'\) ada maka \(f\) kontinu. Oleh karena itu \(g'\) kontinu di \(x=0\) untuk \(n \geq 2\).

Soal 003

Misalkan \(x>y>0\) dan \(n \in \mathbb{N}\) dan \(n \geq 2\). Buktikan bahwa \(x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} < (x - y)^{\frac{1}{n}}\) !

Pembahasan Soal 003

Misalkan suatu fungsi didefinisikan dengan\[g(x):=x^{\frac{1}{n}} - (x-1)^{\frac{1}{n}}\]dengan \(n \in \mathbb{N}, n \geq 2\).

Bisa ditunjukkan bahwa fungsi \(g\) tersebut fungsi yang turun. Karena untuk sebarang \(x,y\) berlaku \(x>y\) sehingga\begin{eqnarray*}1&<&\frac{x}{y}\\g(1)&>&g\left(\frac{x}{y}\right)\\
1&>&\frac{x^{\frac{1}{n}}-(x-y)^{\frac{1}{n}}}{y^{\frac{1}{n}}} \\ (x - y)^{\frac{1}{n}}&>&x^{\frac{1}{n}} - y^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}

Soal 004

Diberikan suatu fungsi \(h:[-10,10] \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan
  \begin{equation*}
    h(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                   x^{2}, & -10 \leq x \leq -1 \\
                   sgn(x), & -1 \leq x \leq 1 \\
                   -(x^{x}), & 1 \leq x \leq 10
                 \end{array}
    \right.
  \end{equation*}
  Selidiki apakah \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\)! Jelaskan !

Pembahasan Soal 004

Bisa dilihat bahwa restriksi fungsi \(h\) pada setiap interval merupakan kelas fungsi terintegralkan Riemann sehingga fungsi \(h \in \mathcal{R}[-10,10]\) berdasarkan teorema penjumlahan integral.

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-10,-1] yaitu\[h_{|_{[-10,-1]}}:=x^2\]merupakan fungsi kontinu sehingga berada di \(\mathcal{R}[-10,-1]\).

Restriksi fungsi \(h\) pada interval [-1,1] yaitu\[h_{|_{[-1,1]}}:=sgn(x)\]merupakan fungsi tangga sehingga berada di \(\mathcal{R}[-1,1]\)

Terakhir, restriksi fungsi \(h\) pada interval [1,10] yaitu\[h_{|_{[1,10]}}:=-(x^x)\]merupakan fungsi monoton sehingga berada di \(\mathcal{R}[1,10]\).

Baca selengkapnya