Persamaan Parametrik

Persamaan parametrik adalah persamaan yang mendefinisikan hubungan dua variabel, misalkan

$x$ dan

$y$ , dengan cara menggunakan dua persamaan dari dua variabel tersebut di mana masing-masing persamaan dinyatakan dalam suatu variabel.

Variabel tersebut dinamakan parameter.

Bingung ya?

Mari saya ulangi dalam kalimat sederhana apa itu persamaan parametrik.

Persamaan parametrik adalah persamaan yang menyatakan hubungan variabel

$x$ dan

$y$ dituliskan dengan

$\begin{eqnarray}x&=&f(t)\\y&=&g(t)\end{eqnarray}$ dengan

$a \leq t \leq b$ .

Perhatikan dua persamaan berikut

$x=2t\qquad ; y=t-4$ Persamaan di atas dinamakan persamaan parametrik dari

$x$ dan

$y$ dengan parameter

$t$ .

Jika nilai

$t$ disubtitusikan, maka nilai ini akan menentukan nilai

$x$ dan

$y$ yang merupakan koordinat dari kedudukan titik titik

$P(x,y)$ .

Terus bagaimana menyatakan persamaan parametrik ke persamaan di koordinat salib sumbu atau koordinat kartesius?

Cara yang lazim untuk merubah persamaan parametrik ke persamaan persegi panjang (koordinat kartesius) adalah dengan mengeliminasi parameter.

Pada persamaan parameter di atas, jika anda subtitusikan nilai

$t=\frac{x}{2}$ ke persamaan kedua akan diperoleh

$\begin{eqnarray} y&=&\frac{x}{2}-4\\ 2y&=&x-8\\ x-2y&=&8 \end{eqnarray}$ yang merupakan persamaan derajat satu atau persamaan garis.

Sedangkan kalau merubah suatu persamaan ke persamaan parametrik. Lihat contoh berikut

Contoh Soal 1
Persamaan parabola yang didefinisikan dengan

$x^{2}+2x+y=4$ Tentukan persamaan parametrik dari persamaan tersebut!

Penyelesaian contoh soal 1
Misalkan

$x=2t$ . Maka jika disubtitusi pada persamaan parabola di atas didapatkan

$\begin{eqnarray} \left(2t\right)^{2}+2(2t)+y&=&4\\ 4t^{4}+4t+y&=&4\\ y&=&4-4t-4t^{2} \end{eqnarray}$ Jadi persamaan parametrik dari parabola di atas adalah

$x=2t,\qquad y=4-4t-4t^{2}$
Pada contoh 1 di atas, persamaan parametrik tentu tidak haya satu saja, bisa banyak.

Hal ini karena permisalan variabel

$x$ bisa sebarang fungsi dalam

$t$ . Bisa

$x=t$ bisa

$x=t+1$ ataupun yang lain.

Berikut akan dilihat beberapa persamaan parametrik dari kurva yang terkenal.

Persamaan Parametrik Lingkaran

Persamaan parametrik dari suatu lingkaran dengan jari-jari

$r$ dan berpusat di titik asal

$O$ dapat dikontruksi dari gambar berikut

Perhatikan kedudukan titik

$P(x,y)$ pada lingkaran yang dapat dinyatakan dalam bentuk dua persamaan dengan parameter sudut

$\theta$ .

Berdasarkan definisi fungsi trigonometri, fungsi sinus dan kosinus, dapat dilihat bahwa

$\cos \theta=\frac{x}{r}$ atau

$x=r\cos\theta$ dan

$\sin \theta = \frac{y}{r}$ atau

$y=r \sin \theta$ Jadi persamaan parametrik dari lingkaran dengan jari-jari

$r$ berpusat di

$O(0,0)$ dengan parameter

$\theta$ adalah

$\begin{eqnarray} x&=&r\cos \theta\\ y&=&r \sin \theta \end{eqnarray}$ Jika nilai

$\theta$ naik dari

$0^{0}$ sampai

$360^{0}$ maka titik

$P(x,y)$ bergerak dari titik

$P(r,0)$ melingkar dengan arah berlawanan arah jarum jam sepanjang lingkaran.

Untuk merubah persamaan parametrik ini, akan kita eliminasi parameter

$\theta$ .

Dengan mengkuadratkan kedua ruas pada kedua persamaan dan dijumlahkan maka didapatkan

$\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}&=&r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta\\ &=&r^{2}\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)\\ x^{2}+y^{2}&=&r^{2} \end{eqnarray}$ yang merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari

$r$ dan berpusat di titik asal.

Persamaan Parametrik Ellips

Sekarang akan kita bentuk persamaan parametrik untuk ellips dengan pusat di titik asal

$O(0,0)$ dengan sumbu mayor di sumbu

$x$ dan sumbu minor terletak di sumbu

$y$ .

Perhatikan gambar di bawah ini

Akan dicari tempat kedudukan titik

$P(x,y)$ yang bergerak sepanjang lintasan berbentuk ellips.

Berdasarkan gambar dapat disimpulkan bahwa

$\begin{eqnarray} x&=&OM=OA \cos \theta = a \cos \theta\\ y&=&MP=NB=OB \sin \theta=b \sin \theta \end{eqnarray}$ Titik

$P(x,y)$ akan bergerak dimulai dari

$(a,0)$ dan melewati lintasan ellips berlawanan arah jarum seiring nilai

$\theta$ bertambah dari

$0^{0}$ sampai ke

$360^{0}$ .

Oleh karena itu persamaan parametrik dari ellips dengan pusat di titik asal adalah

$x=a\cos \theta;\qquad y=b\sin\theta$ Jika parameter

$\theta$ dieliminasi maka dapat dilihat bahwa

$\begin{eqnarray} x^{2}&=&a^{2}\cos^{2}\theta\\ \frac{x^{2}}{a^{2}}&=&\cos^{2}\theta\\ y^{2}&=&b^{2}\sin^{2}\theta\\ \frac{y^{2}}{b^{2}}&=&\sin^{2}\theta \end{eqnarray}$ sehingga

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ yang merupakan persamaan ellips.

Grafik Persamaan Parametrik

Seperti halnya menggambar suatu persamaan, persamaan parametrik dapat digambarkan dengan mencacah nilai dari variabel

$x$ dan variabel

$y$ .

Tentu, nilai dari dua variabel tersebut diperoleh dengan mensubtitusikan beberapa nilai dari parameternya dahulu.

Cara alternatif menggambar persamaan parametrik yaitu dengan menghilangkan parameter dan dapat diketahui persamaan tersebut dalam bidang kartesius

Perhatikan ilustrasi di dalam contoh berikut

Contoh Soal 2
Gambar sketsa dari grafik

$x=5t-t^{2};\quad y=4t-t^{2}$ Penyelesaian Contoh Soal 2
Tabel di bawah menunjukkan nilai dari variabel

$x$ dan

$y$ untuk suatu nilai

$t$

$\boldsymbol{t}$	$\boldsymbol{x}$	$\boldsymbol{y}$
$-\frac{3}{2}$	$-\frac{39}{4}$	$-\frac{33}{4}$
$-1$	$-6$	$-5$
$-\frac{1}{2}$	$-\frac{11}{4}$	$-\frac{9}{4}$
$-0$	$-0$	$-0$
$\frac{1}{2}$	$\frac{9}{4}$	$\frac{7}{4}$
$1$	$4$	$3$
$\frac{3}{2}$	$\frac{21}{4}$	$\frac{15}{4}$

Data pada tabel di atas selanjutnya dibuat di bidang kartesius dan digambarkan sketsanya.

Jika ingin mengeliminasi parameter, langkah pertama adalah dengan mengurangkan kedua persamaan

$\begin{eqnarray}x-y&=&(5t-t^{2}) - (4t-t^{2})\\x-y&=&t\end{eqnarray}$ Selanjutnya mensubtitusi nilai

$t$ tersebut ke salah satu persamaan semula

$\begin{eqnarray}x&=&5(x-y)-(x-y)^{2}\\&=&5x-5y-x^{2}+2xy-y^{2}\\0&=&x^{2}-2xy+y^{2}-4x+5y\end{eqnarray}$ yang merupakan persamaan dari parabola.

Contoh Soal 3
Konstruksi grafik dari persamaan parametrik berikut

$x=2\sin^{2}\theta,\quad y=2 \cos^{2}\theta$ Penyelesaian Contoh Soal 3
Menkontruksi grafik dari persamaan tersebut lebih mudah dengan mengelimasi parameter.

Jika kedua persamaan dijumlahkan maka didapatkan

$\begin{eqnarray}x+y&=&2 \sin^{2}\theta+2\cos^{2}\theta\\&=&2 (\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\\x+y&=&2\end{eqnarray}$ yang meruapkan persamaan garis lurus

Cycloid

Pernahkan anda melihat benda bulat menggelinding. Pasti pernah.

Roda ban yang menggelinding salah satu contoh yang kerap terlihat.

Ada apa dengan ban menggelinding? Coba lihat animasi berikut

Garis merah merupakan lintasan yang diperoleh dari suatu titik (pentil jika dalam kasus roda ban berputar) pada keliling lingkaran yang menggelinding.

Bagaimana mendapatkan persamaan dari cycloid tersebut?

Pertama adalah dengan memilih garis sebagai sumbu-

$x$ dan titik asal sebagai titik sentuh lintasan dengan sumbu

$x$ .

Pada gambar di atas, jari-jari lingkaran yang menggelinding dalah

$a$ dan titik

$P(x,y)$ sebagai titik penulusur.

Pada posisi di atas,

$CP$ membentuk sudut

$\theta$ dengan garis vertikal. Jika lingkaran menggelinding maka diperoleh panjang

$OB$ dan

$PB$ . Jadi

$OB = arc PB = a\theta$ Perhatikan segitiga

$\triangle PDC$

$\begin{eqnarray}x&=&OA=OB-PD=a\theta - a \sin \theta\\y&=&AP=BC-DC=a - a\cos\theta\end{eqnarray}$ Oleh karena itu, persamaan parametrik dari cycloid adalah