Persamaan Garis Pada Dimensi Tiga

Artikel ini akan mengkontruksi persamaan dari garis lurus pada dimensi tiga. Alat yang digunakan dalam hal ini adalah vektor pada ruang dimensi

$\mathbb{R}^{3}$ .

Pertama akan dikontruksi garis yang sejajar dengan suatu vektor yang diberikan namun mempunyai panjang vektor yang berbeda.

Misalkan sebuah garis

$L$ melalui sebuah titik

$P_{1} (x_{1},y_{1},z_{1})$ dan sejajar dengan vektor tak nol yang diberikan

$\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}$ Jika sebarang titik

$P(x,y,z)$ berada di garis, maka vektor

$\overrightarrow{P_{1}P}$ sejajar dengan vektor

$\boldsymbol{V}$ . Sebaliknya jika vektor

$\overrightarrow{P_{1}P}$ sejajar dengan vektor

$\boldsymbol{V}$ maka titik

$P$ terletak pada garis

$L$ .

Oleh karena itu jika

$P$ terletak di dalam garis

$L$ maka vektor

$\overrightarrow{P_{1}P}$ bisa dinyatakan sebagai perkalian vektor

$\boldsymbol{V}$ dengan suatu skalar.

Hal ini dikarenakan vektor

$\boldsymbol{V}$ dan vektor

$\overrightarrow{P_{1}P}$ sejajar dan berbeda panjang.

Jadi

$\overrightarrow{P_{1}P}=t\boldsymbol{V}$ atau

$(x-x_{1})\boldsymbol{i}+(y-y_{1})\boldsymbol{j}+(z-z_{1})\boldsymbol{k}=At\boldsymbol{i}+Bt\boldsymbol{j}+Ct\boldsymbol{k}$ Karena kedua vektor sama, maka dapat dilihat bahwa koefisien yang seletak sama. Jadi

$x-x_{1}=At, \quad y-y_{1}=Bt, \quad z-z_{1}=Ct$ selanjutnya variabel

$x, y$ dan

$z$ dicari sehingga

$x=x_{1}+At,\quad y=y_{1}+Bt, \quad z=z_{1}+Ct \qquad (1)$ Ketika nilai

$t$ diberikan dengan sebarang bilangan riil, maka akan ditemukan koordinat titik

$(x,y,z)$ yang terletak di garis

$L$ .

Persamaan 1 di atas dinamakan persamaan parametrik dari garis.

Dengan menyamakan nilai

$t$ pada ketiga persamaan diperoleh persamaan garis berikut

$\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C} \qquad (2)$ Persamaan 2 ini dinamakan persamaan simetri dari garis lurus di dimensi tiga.

Sebuah bidang yang memuat garis dan tegak lurus ke bidang koordinat disebut bidang proyeksi. Persamaan 2 di atas menunjukkan tiga bidang proyeksi. Untuk membuktikan hal ini, persamaan dapat ditulis dengan

$\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B},\quad \frac{x-x_{1}}{A}=\frac{z-z_{1}}{C}, \quad \frac{y-y_{1}}{B}=\frac{z-z_{1}}{C}$ Masing-masing persamaan tersebut merupakan persamaan bidang yang tegak lurus dengan bidang

$xy, xz$ dan

$yz$ .

Perhatikan persamaan bidang

$\begin{eqnarray} \frac{x-x_{1}}{A}&=&\frac{y-y_{1}}{B}\\ B(x-x_{1})&=&A(y-y_{1})\\ B(x-x_{1})-A(y-y_{1})&=&0 \end{eqnarray}$ yang tegak lurus vektor normal

$\boldsymbol{N}=B\boldsymbol{i}-A\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}$ . Karena vektor

$\boldsymbol{N}$ berada di bidang

$xy$ maka bidang

$\frac{x-x_{1}}{A}=\frac{y-y_{1}}{B}$ juga tegak lurus dengan bidang

$xy$ .

Contoh soal 1
Tulis persamaan garis yang melalui

$(2, -1, 3)$ yang sejajar dengan vektor

$\boldsymbol{V}=-2\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+6\boldsymbol{k}$ .

Pembahasan Soal 1
Persamaan garis dalam bentuk simetri adalah

$\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{6}$ Sedangkan persamaan parametrik garis dalam bidangnya adalah

$x=2-2t, y=-1+4t, z=3+6t$ Contoh Soal 2
Tulis persamaan garis yang melalui dua titik

$P(2,-4,5)$ dan

$Q(-1,3,1)$ .

Pembahasan Soal 2
Vektor dari titik

$Q$ ke

$P$

$\overrightarrow{QP}=3\boldsymbol{i}-73\boldsymbol{j}+43\boldsymbol{k}$ sejajar dengan garis yang dicari. Jadi persamaan simetri dari garis dalam ruang yang diinginkan adalah

$\frac{x-2}{3}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z-5}{4}$ Jika mengggunakan vektor

$\overrightarrow{PQ}$ bisa yang akan berlainan tanda pada penyebut persamaan di atas.

Contoh Soal 3
Temukan persamaan simetri dari persamaan garis berikut

$x+y-z-7=0, \quad x+5y+5z+5=0$ Pembahasan Soal 3
Persamaan pertama dikali dengan 5 sehingga dapat ditulis dengan

$5x+5y-5z-35=0, \quad x+5y+5z+5=0$ Jika persamaan pertama dijumlahkan dengan persamaan kedua maka

$6x+10y-30=0$ Jika persamaan kedua dikurangi dengan persamaan pertama maka diperoleh

$4y+6z+12=0$ Jadi didapatkan dua persamaan

$y=\frac{-3x+15}{5},\quad y=\frac{-3z-6}{2}$ Jika kedua persamaan dibagi dengan

$-3$ maka didapatkan persamaan garis dalam bentuk simetri

$\frac{y}{-3}=\frac{x-5}{5}=\frac{z+2}{2}$ Contoh Soal 4
Tuliskan persamaan garis pada ruang yang melalui titik

$A(2,,6,4)$ dan

$B(3,-2,4)$ !

Pembahasan Soal 4
Vektor dari

$A$ ke

$B$ adalah

$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}-8\boldsymbol{j}$ Jadi persamaan garis yang dicari sejajar dengan bidang

$xy$ .

Bidang

$z=4$ yang sejajar dengan bidang

$xy$ memuat garis yang dimaksud karena garis melewati titik dengan koordinat bagian

$z$ adalah 4.

Jadi persamaan simetri dari garis adalah dengan menggunakan dua bagian pertama variabel

$x$ dan

$y$ dan ditambah dengan persamaan

$z=4$ sehingga

$z=4, \frac{x-3}{1}, \frac{y+2}{-8}$ atau

$z=4, 8x+y-22=0$ Contoh Soal 5
Temukan persamaan garis yang melalui

$(2,-1,3)$ dan sejajar dengan bidang

$2x-y+4z-5=0$ dan

$3x+y+z-4=0$ .

Pembahasan Soal 5
Vektor normal dari kedua bidang adalah

$\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1}&=&=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}\\ \boldsymbol{N}_{2}&=&3\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}\end{eqnarray}$ Maka garis yang dimaksud akan tegak lurus dengan kedua vektor normal tersebut.

Jika vektor

$\boldsymbol{V}=A\boldsymbol{i}+B\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}$ sejajar dengan garis, maka

$\begin{eqnarray}\boldsymbol{N}_{1} \cdot \boldsymbol{V}&=&2A-B+4C=0\\ \boldsymbol{N}_{2} \cdot \boldsymbol{V}&=& 3A+B+C=0\end{eqnarray}$ Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut diperoleh solusi

$A=-c, B=2C$ Jadi vektor

$\boldsymbol{V}=-C\boldsymbol{i}+2C\boldsymbol{j}+C\boldsymbol{k}$ . Jika

$C=1$ maka

$\boldsymbol{V}=-\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$ .

Oleh karena itu persamaan garis yang diminta adalah

$\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{1}$

Sudut Arah dan Kosinus Arah

Sudut

$\alpha, \beta$ dan

$\gamma$ antara garis berarah dengan sumbu

$x$ , sumbu

$y$ dan sumbu

$z$ negatif
disebut sudut arah dari garis tersebut.

Sedangkan kosinus dari sudut arah dinamakan kosinus arah dari garis tersebut.

Contoh Soal 6
Temukan arah postif dari garis yang direpresentasikan dengan persamaan

$\frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-5}{-2}$ dan temukan kosinus arah dari garis tersebut

Pembahasan Soal 6
Berdasarkan definisi persamaan garis di dimensi tiga, vektor

$4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}-2\boldsymbol{k}$ dan

$-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$ sejajar dengan garis yang dimaksud. Kita pilih arah positif dari garis yang mengarah ke atas sedemikian sehingga

$\gamma$ meruapakan sudut lancip. Maka vektor

$-4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$ menghadap arah positif dari garis.
Selanjutnya dengan menggunakan perkalian titik diperoleh

$\begin{eqnarray}\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{V}&=& |\boldsymbol{i}| |\boldsymbol{V}| \cos \alpha\\ -4&=& \sqrt{29} \cos \alpha \\ \cos \alpha &=& -\frac{4}{\sqrt{29}}\end{eqnarray}$ Secara serupa, untuk perkalian titik

$\boldsymbol{j}\cdot \boldsymbol{V}$ dan

$\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{V}$ menghasilkan

$\cos \beta = \frac{3}{\sqrt{29}}, \qquad \cos \gamma = \frac{2}{\sqrt{29}}$

Latihan Soal

Pada nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan garis yang sejajar dengan garis yang diberikan dan tentukan titik potong garis dengan bidang koordinat.
1.

$\frac{x-6}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+3}{3}$
2.

$\frac{x}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1}$
3.

$\frac{x-3}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{2}$
4.

$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{3}$

Tulis persamaan garis dalam dimensi tiga dalam dua bentuk dari garis yang melalui titik dan sejajar garis yang diberikan
5.

$P(4, -3, 5); -2\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}$
6.

$P(3, 3, 3); \boldsymbol{i}+\boldsymbol{k}$
7.

$P(0, 0, 0); \boldsymbol{k}$

Tulis persamaan garis dalam dimensi 3 yang melalui dua titik berikut
8.

$(1, 2, 3), (-2, 4, 0)$
9.

$(0, 0, 0), (3, 4, 5)$
10.

$(0, 0, 2), (0, 0, 4)$

11. Temukan bentuk simetri dari masing-masing pasangan persamaan berikut

$\begin{eqnarray} x-y-2z+1&=&0\\ x-36y-3z+7&=&0 \end{eqnarray}$ 12. Temukan kosinus arah dari soal 1 sampai 4

Temukan kosinus dari sudut lancip yang dibentuk oleh masing-masing pasangan garis berikut
13.