Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

analisis riil universitas

Sebarang barisan yang diberikan belum tentu monoton. Akan tetapi kita bisa memastikan bahwa sebarang barisan tersebut pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

 Anda tahu tidak kalau diberikan sebarang barisan bilangan riil maka kita pasti tentu tidak bisa menyebut barisan tersebut monoton.

Bisa jadi barisan tersebut tidak monoton. Ya karena memang ada barisan yang tidak monoton. Seperti barisan\[\left(\sin n : n \in \mathbb{N}\right)\]yang bukan barisan monoton, tapi barisan yang naik dan barisan yang turun sekaligus.

Meskipun demikian, kita bisa memastikan bahwa di dalam sebarang barisan bilangan riil \(X=\left(x_{n}\right)\)  pasti mempunyai subbarisan yang monoton.

Loh koq bisa? Mari simak teorema berikut ini !

Teorema 1. Jika $ X=(x_{n}) $ merupakan barisan bilangan riil maka terdapat subbarisan dari $ X $ yang monoton

Bukti : Untuk membuktikan teorema 1, kita katakan suku ke-m , yaitu \(x_{m}\), sebagai 'puncak" jika\[x_{m} \geq x_{n}\]untuk semua \(n\) sedemikian sehingga \(n \geq m\). Jadi suku \(x_{m}\) ini tidak akan lebih kecil dari suku setelahnya.

Bisa dilihat bahwa, jika barisan $ X=(x_{n}) $ turun maka semua sukunya menjadi puncak dan jika barisan naik maka tidak ada suku puncak di dalamnya.

Di sini akan dilihat dari dua kasus, barisan yang mempunyai tak hingga banyak puncak dan barisan dengan berhingga banyak puncak.

KASUS 1; Jika $ X=(x_{n}) $ mempunyai tak hingga banyak puncak, maka untuk kumpulan suku puncak dapat diurutkan sebagai berikut\[x_{m_{1}}, x_{m_{2}}, x_{m_{3}},\cdots, x_{m_{k}},\cdots\]Karena setiap suku pada barisan di atas adalah puncak maka kita memperoleh\[x_{m_{1}} \geq  x_{m_{2}} \geq  x_{m_{3}} \geq  \cdots \geq  x_{m_{k}} \geq \cdots\]Jadi barisan \(\left(x_{m_{k}}\right)\) adalah subbarisan yang turun dari barisan $ X=(x_{n}) $.

KASUS 2; Jika $(x_{n})$ mempunyai berhingga puncak, yaitu \[ x_{m_{1}},x_{m_{2}},\cdots,x_{m_{r}}\]Misalkan $ s_{1}:=m_{r}+1 $ adalah indeks pertama di luar puncak terakhir. Karena $ x_{s_{1}} $ bukan puncak, maka ada $ s_{2} >s_{1}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{1}}<x_{s_{2}} $. Karena $ x_{s_{2}} $ juga bukan puncak maka ada $ s_{3} >s_{2}$ sedemikian sehingga $ x_{s_{2}}<x_{s_{3}} $.

Proses ini dilanjutkan sehingga terbentuk barisan $ (x_{s_{k}}) $ yang merupakan subbarisan naik dari $ X $. Teorema 1 terbukti. QED

Contoh

Barisan $ (x_{n})=\left(\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\right) $ merupakan barisan yang konvergen dan monoton turun. Barisan \((x_{n})\) juga mempunyai subbarisan turun\[\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\cdots, \frac{1}{2k},\cdots\right)\]Sedangkan barisan $ (y_{n}) =(-1)^{n}$ bukan merupakan barisan monoton. Tapi barisan \((y_{n})\) mempunyai subbarisan monoton\[\left(-1,-1,-1,-1, \cdots, (-1)^{2k-1},\cdots\right)\]

Bagikan

Jangan lewatkan

Teorema Eksistensi Subbarisan Monoton

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 28, 2020 Komentar