Barisan Fungsi Bernilai Riil

analisis riil universitas

Barisan fungsi adalah barisan $(f_{n})$ dengan $f_{n}: A \rightarrow \mathbb{R}$ dan $A \subseteq \mathbb{R}$.

Jadi barisan fungsi adalah barisan yang setiap sukunya berupa fungsi yang memetakan dari himpunan bagian bilangan riil $\mathbb{R}$ ke himpunan $\mathbb{R}$ itu sendiri.

Jelas bahwa jika untuk setiap $x \in A$ akan menentukan suatu barisan bilangan riil, yaitu $$\left(f_{n}(x)\right)$$
Contoh Soal 1
Misalkan fungsi $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang didefinisikan dengan $$f_n(x):=x^{n}$$ Barisan fungsi $\left(f_{n}\right)$ adalah barisan $$\left(f_{n}\right)=\left(x, x^{2},x^{3},x^{4},\cdots\right)$$ Untuk $x=2$ maka barisan $\left(f_{n}(2)\right)$ berbentuk $$\left(f_{n}(2)\right)=\left(2,4,8,16,,\cdots\right)$$ yang merupakan barisan bilangan riil divergen. Sedangkan $x=1$ maka barisan $\left(f_{n}(1)\right)$ berbentuk $$\left(f_{n}(1)\right)=\left(1,1,1,1,,\cdots\right)$$ yang merupakan barisan bilangan riil konvergen ke $x=1$.


Pada contoh 1 menunjukkan bahwa untuk suatu barisan fungsi $(f_{n})$ bisa saja menentukan kekonvergenan yang berbeda dari  barisan bilangan riil $(f_{n}(x))$ dengan nilai $x \in A$ yang berbeda.

Bagaimana degan definisi kekonvergenan dari barisan fungsi $(f_{n})$ sendiri?

DEFINISI
Misalkan $\left(f_{n}\right)$ merupakan barisan fungsi pada $A \subseteq \mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$ dan $A_{0} \subseteq A$ dan $f:A_{0} \rightarrow \mathbb{R}$.
Barisan $\left(f_{n}\right)$ dikatakan konvergen pada $A_{0}$ ke fungsi $f$ jika dan hanya jika untuk setiap $x \in A_{0}$ barisan $\left(f_{n}(x)\right)$ konvergen ke $f(x)$ di $\mathbb{R}$.

Jika fungsi $f$ tersebut ada, maka barisan $\left(f_{n}\right)$ dikatakan konvergen pada $A_{0}$ atau $\left(f_{n}\right)$ konvergen sepotong-sepotong di $A_{0}$.

Barisan $\left(f_{n}\right)$ konvergen ke $f$ dinotasikan dengan $$f=\lim \left(f_{n}\right)$$ atau $$f_{n} \rightarrow f$$
Contoh 2
Barisan $\left(f_{n}\right)$ dengan $f_{n}=\frac{x}{n}$ konvergen ke $f$ dengan $f(x)=0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$, $$\frac{x}{n} \rightarrow 0$$ Hal ini dikarenakan pada teorema limit yang menunjukkan bahwa $$\lim \left(f_{n}(x)\right)=\lim \frac{x}{n} = x \lim \frac{1}{n}=x \cdot 0=0$$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$.


Contoh 3
Misalkan $g_{n}(x):=x^{n}$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$
Untuk $x=1$ maka $\lim g_{n}(1) =1$. Sedangkan untuk $0 \leq x < 1$ dan $-1<x<0$ berlaku $$\lim g_{n}(x) = \lim x^{n} = 0$$ .
Akan tetapi untuk $x=-1$ barisan $\left(g_{n}(-1)\right)=\left(-1\right)^{n}$ divergen.
Mirip juga, untuk $|x|>1$ menghasilkan barisan $\left(g_{n}\right)=\left(x^{n}\right)$ tak terbatas sehingga divergen.
Oleh karena itu barisan $\left(g_{n}\right)$ konvergen pada $(-1,1]$ ke fungsi $g$, dengan $$g(x):=\left\{\begin{array}{ll}0&\quad \text{untuk }-1<x<1  \\ 1& \quad \text{untuk }x=1 \end{array} \right.$$
Contoh 4
Misalkan $h_{n}(x)=\frac{x^{2}+nx}{n}$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ dan $n \in \mathbb{N}$ dan $h(x)=x$ untuk $x \in \mathbb{R}$. Maka $$\frac{x^{2}+nx}{n} \rightarrow x$$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Atau $$\lim \left(\frac{x^{2}+nx}{n}\right)=x\qquad\text{untuk } x \in \mathbb{R}$$

Bagikan

Google Facebook Twitter More

• Pinterest
• Digg
• Linkedin
• Stumbleupon
• Delicious
• Tumblr
• BufferApp
• Pocket
• Evernote

Jangan lewatkan

• Kunang Kunang yang Menghemat Uang Perusahaan Kunang kunang merupakan hewan yang menarik untuk dilihat dan dinikmati keindahan cahayanya di malam hari. Mu
• Teorema Bolzano-Weierstrass untuk Barisan Bilangan RiilTeorema Bolzano-Weierstrass yang akan kita bahas sebentar lagi menjelaskan perilaku subbarisan dari barisan bilangan ri
• Prinsip Induksi Matematika credit to : geralt/pixaby.com Hai sobat matematika ! Matematika memberikan banyak persamaan ataupun ketaksamaan
• Solusi UTS Teori Graf (2019) Soal 1 a. Jika $G$ adalah graf reguler-$k$ dengan $n$ titik. Berapa banyak sisi yang bisa dimiliki
• Begini Cara Lengkap Mencari Limit Fungsi Limit pada suatu fungsi ketika nilai domain mendekati suatu titik tidak dijamin eksistensinya. Perlu teknik untuk me
• Fungsi Kontinu | Kalkulus Credit to pixaby Pernahkah Anda mendengar kata kontinu? Saya yakin Anda pasti pernah mendengarnya. Entah di pengaji

Barisan Fungsi Bernilai Riil

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 12, 2019 Komentar