Barisan Fungsi Bernilai Riil

analisis riil universitas

Barisan fungsi adalah barisan \((f_{n})\) dengan \(f_{n}: A \rightarrow \mathbb{R}\) dan \(A \subseteq \mathbb{R}\).

Jadi barisan fungsi adalah barisan yang setiap sukunya berupa fungsi yang memetakan dari himpunan bagian bilangan riil \(\mathbb{R}\) ke himpunan \(\mathbb{R}\) itu sendiri.

Jelas bahwa jika untuk setiap \(x \in A\) akan menentukan suatu barisan bilangan riil, yaitu\[\left(f_{n}(x)\right)\]
Contoh Soal 1
Misalkan fungsi \(f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) yang didefinisikan dengan\[f_n(x):=x^{n}\]Barisan fungsi \(\left(f_{n}\right)\) adalah barisan\[\left(f_{n}\right)=\left(x, x^{2},x^{3},x^{4},\cdots\right)\]Untuk \(x=2\) maka barisan \(\left(f_{n}(2)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(2)\right)=\left(2,4,8,16,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil divergen. Sedangkan \(x=1\) maka barisan \(\left(f_{n}(1)\right)\) berbentuk\[\left(f_{n}(1)\right)=\left(1,1,1,1,,\cdots\right)\]yang merupakan barisan bilangan riil konvergen ke \(x=1\).


Pada contoh 1 menunjukkan bahwa untuk suatu barisan fungsi \((f_{n})\) bisa saja menentukan kekonvergenan yang berbeda dari  barisan bilangan riil \((f_{n}(x))\) dengan nilai \(x \in A\) yang berbeda.

Bagaimana degan definisi kekonvergenan dari barisan fungsi \((f_{n})\) sendiri?

DEFINISI
Misalkan \(\left(f_{n}\right)\) merupakan barisan fungsi pada \( A \subseteq \mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) dan \(A_{0} \subseteq A\) dan \(f:A_{0} \rightarrow \mathbb{R}\).
Barisan \(\left(f_{n}\right)\) dikatakan konvergen pada $A_{0}$ ke fungsi $ f $ jika dan hanya jika untuk setiap $ x \in A_{0} $ barisan $ \left(f_{n}(x)\right) $ konvergen ke $ f(x) $ di $ \mathbb{R} $.

Jika fungsi $ f $ tersebut ada, maka barisan $ \left(f_{n}\right) $ dikatakan konvergen pada $ A_{0} $ atau $ \left(f_{n}\right)$ konvergen sepotong-sepotong di $ A_{0} $.

Barisan $ \left(f_{n}\right) $ konvergen ke $ f $ dinotasikan dengan\[f=\lim \left(f_{n}\right)\]atau\[f_{n} \rightarrow f\]
Contoh 2
Barisan $ \left(f_{n}\right) $ dengan $ f_{n}=\frac{x}{n} $ konvergen ke $ f $ dengan $ f(x)=0 $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $,\[\frac{x}{n} \rightarrow 0\]Hal ini dikarenakan pada teorema limit yang menunjukkan bahwa\[\lim \left(f_{n}(x)\right)=\lim \frac{x}{n} = x \lim \frac{1}{n}=x \cdot 0=0\]untuk semua $ x \in \mathbb{R}$.


Contoh 3
Misalkan $ g_{n}(x):=x^{n} $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $, $ n \in \mathbb{N} $
Untuk $ x=1 $ maka $ \lim g_{n}(1) =1 $. Sedangkan untuk $ 0 \leq x < 1 $ dan $ -1<x<0 $ berlaku \[ \lim g_{n}(x) = \lim x^{n} = 0 \].
Akan tetapi untuk $ x=-1 $ barisan $ \left(g_{n}(-1)\right)=\left(-1\right)^{n} $ divergen.
Mirip juga, untuk $ |x|>1 $ menghasilkan barisan $ \left(g_{n}\right)=\left(x^{n}\right) $ tak terbatas sehingga divergen.
Oleh karena itu barisan $ \left(g_{n}\right) $ konvergen pada $ (-1,1] $ ke fungsi $ g $, dengan\[g(x):=\left\{\begin{array}{ll}0&\quad \text{untuk }-1<x<1  \\ 1& \quad \text{untuk }x=1 \end{array} \right.\]
Contoh 4
Misalkan $ h_{n}(x)=\frac{x^{2}+nx}{n} $ untuk setiap $ x \in \mathbb{R} $ dan $ n \in \mathbb{N} $ dan $ h(x)=x $ untuk $ x \in \mathbb{R} $. Maka\[\frac{x^{2}+nx}{n} \rightarrow x\]untuk semua $ x \in \mathbb{R} $. Atau\[\lim \left(\frac{x^{2}+nx}{n}\right)=x\qquad\text{untuk } x \in \mathbb{R}\]

Bagikan

Jangan lewatkan

Barisan Fungsi Bernilai Riil

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 12, 2019 Komentar