Deret Tak Hingga; Definisi, Contoh dan Kekonvergenan (2019)

Hai sobat matematika...

Anda mungkin sudah mengetahui sekilas bentuk deret di sekolah menengah, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.

Suatu deret bilangan di dalam matematika memegang peranan penting. Beberapa perhitungan di matematika terapan menggunakan deret sebagai teknik untuk menghampiri suatu fungsi. Bahkan di beberapa area di luar matematika juga menggunakan deret seperti di bidang fisika, ilmu komputer, statistik dan keuangan.

Kali ini kita akan melihat apa sih deret bilangan itu? atau formalnya dinamakan deret tak hingga suatu bilangan.

Jika berbicara deret tak hingga maka tidak akan lepas dari tiga unsur di dalamnya definisi deret tak hingga, apa saja bentuk deret tak hingga dan bagaimana kekonvergenan dari suatu deret tak hingga.

Tanpa panjang kali lebar, alas kali tinggi mari kita come on masuk pada bahasan deret tak hingga.

Barisan

Loh loh katanya bahas deret tak hingga kenapa ini malah ke barisan dulu? Ada apa gerangan?

Tenang Guys!!!

Deret tak hingga nantinya didefinisikan dari suatu barisan. So check it out !

DEFINISI BARISAN

Barisan adalah suatu fungsi yang mempunyai domain bilangan bulat positif dan daerah hasil bilangan riil.

$\boldsymbol{u_{n}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}}$

Berdasarkan definisi di atas, barisan merupakan suatu fungsi. Jadi fungsi itu tidak melulu

$f(x)=x^{2}$ atau

$g(x)=2x+3$ , keduanya bisa dirangkum menjadi suatu fungsi dari

$\mathbb{R}$ ke

$\mathbb{R}$ atau

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
Kembali ke barisan tadi.

Suatu barisan dinotasikan dengan

$\mathbb{(a_{n})}$ Tanda kurung lengkung untuk membedakan dengan himpunan karena beberapa literatur menuliskan barisan dengan kurung kurawal

$\{a_{n}\}$ .

Suku-suku suatu barisan tertentu akan menuju suatu nilai artinya suku-suku yang relatif besar nilanya menuju (dekat) dengan suatu nilai yang disebut titik limit. Barisan yang seperti ini disebut barisan yang konvergen.

Untuk alasan kepraktisan kita loncati dulu definisi formal barisan konvergen. Lain waktu kita bahas tentang hal ini.

Tapi tidak usah kuatir, kali ini Anda akan saya berikan beberapa kriteria apa saja yang memenuhi barisan konvergen itu.

Siaap!!!

Baca Juga : Barisan dan Deret Bilangan

TEOREMA BARISAN KONVERGEN

1. Barisan konstan

$\left(c\right)$ konvergen

2. Jika

$\left(a_{n}\right)$ barisan konvergen dan

$c$ adalah konstan maka

$\left(ca_{n}\right)$ juga barisan konvergen dan

$\lim ca_{n}=c \lim a_{n}$

3. Jika

$\left(a_{n}\right)$ dan

$\left(b_{n}\right)$ barisan konvergen maka

$\left(a_{n}\pm b_{n}\right)$ juga barisan konvergen dan

$\lim \left(a_{n}\pm b_{n}\right)= \lim a_{n}\pm \lim b_{n}$

4. Jika

$\left(a_{n}\right)$ dan

$\left(b_{n}\right)$ barisan konvergen maka

$\left(a_{n} b_{n}\right)$ juga barisan konvergen dan

$\lim a_{n}b_{n} =\left(\lim a_{n}\right) \left( \lim b_{n} \right)$

5. Jika

$\left(a_{n}\right)$ dan

$\left(b_{n}\right)$ barisan konvergen maka

$\frac{(a_{n})}{ (b_{n})}$ juga barisan konvergen dan

$\lim \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}}$ jika

$\lim b_{n} \neq 0$

6. Barisan

$\left(a_{n}\right)$ barisan konvergen jika dan hanya jika

$\left(a_{n}\right)$ barisan monoton dan terbatas.

7. Jika barisan

$(a_{n})$ naik dan

$D$ merupakan batas atas barisan

$(a_{n})$ maka

$(a_{n})$ konvergen dan

$\lim a_{n} \leq D$

8. Jika barisan

$(a_{n})$ turun dan

$C$ merupakan batas bawah barisan

$(a_{n})$ maka

$(a_{n})$ konvergen dan

$\lim a_{n} \geq C$

Sesudah dikenalkan sekilas dengan teori barisan, sudah saatnya Anda beranjak ke bahasan awal kita yaitu tentang deret tak hingga.

Definisi Deret Tak Hingga

Di awal sudah saya sebut bahwa definisi deret tak hingga dibangun dari barisan. mari kita lihat definisi deret yang saya maksud

DEFINISI

Jika

$(u_{n})$ adalah barisan dan

$s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ maka barisan

$(s_{n})$ dikatakan deret tak hingga.

Ohh jadi yang dimaksud deret tak hingga adalah barisan dari jumlahan parsialnya,

$(s_{n})$ .

Bilangan

$u_{1},u_{2},\cdots$ disebut suku-suku deret tak hingga

Deret tak hingga biasa dinotasikan dengan

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$

Bilangan

$s_{k}=\sum_{i=1}^{k}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{k}$ disebut jumlahan parsial ke-k dari deret.

Hubungan jumlahan parsial dan suku pada deret tak hingga

$s_{n}=s_{n-1}+u_{n}$

Contoh Soal 1
Diberikan deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ Temukan empat suku pertama barisan jumlahan parsial

$(s_{n})$ , tentukan formula

$s_{n}$ dalam variabel

$n$ !

Penyelesaian Contoh Soal 1
Berdasarkan informasi yang diberikan diperoleh

$\begin{eqnarray*} s_{1}&=&u_{1}=\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{1}{2}\\ s_{2}&=&s_{1}+u_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}\\ s_{3}&=&s_{2}+u_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3 \cdot 4}=\frac{3}{4}\\ s_{4}&=&s_{3}+u_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4 \cdot 5}=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ Berikutnya akan kita lihat bentuk masing-masing suku deret yang diberikan dan dibuat pecahan parsialnya menjadi

$u_{k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ Oleh karena itu

$\begin{eqnarray*} u_{1}&=&1-\frac{1}{2}\\ u_{2}&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ u_{3}&=&\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\ &\vdots&\\ u_{n-1}&=&\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\ u_{n}&=&\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ Karena

$s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}$ sehingga

$s_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ Dengan menghapus tanda kurung maka persamaan di atas diperoleh

$s_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

Jadi pekerjaan untuk mencari barisan jumlahan parsial dari suatu deret tak hingga dalam variabel

$n$ memerlukan banyak energi.

Ga percaya dengan omongan saya??? Nanti lihat di latihan soal ya.hehe

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Sesudah mendefinisikan deret tak hingga dan beberapa istilah dasar di dalamnya, kita akan beranjak di masalah kekonvergenan suatu deret tak hingga.

Kekonvergenan suatu deret tak hingga didefinisikan oleh kekonvergenan barisan jumlahan parsialnya.

Definisi berikut memberikan gambaran apa itu deret tak hingga yang konvergen.

DEFINISI DERET KONVERGEN

Misalkan deret tak hingga

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ dan barisan jumlahan parsial

$(s_{n})$ yang mendefinisikan deret tak hingga tersebut. Deret tak hingga

$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan

$(s_{n})$ konvergen. Misalkan

$s_{n} \rightarrow S$ ketika

$n \rightarrow \infty$ maka deret tak hingga dikatakan mempunyai jumlahan

$S$ . Jika

$(s_{n})$ tidak konvergen maka deret dikatakan divergen.

Perhatikan lagi deret yang didefinisikan pada contoh soal 1, akan kita lihat kekonvergenan deret tak hingga tersebut pada contoh di bawah ini.

Contoh Soal 2
Diberikan deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ Selidiki apakah deret tak hingga tersebut konvergen!

Pembahasan Contoh Soal 1
Seperti pada pembahasan contoh soal 1 di atas, barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ adalah

$s_{n}=\frac{n}{n+1}$ Pekerjaan berikutnya adalah menyelidiki apakah barisan

$(s_{n})$ di atas konvergen apa tidak (berdasarkan definisi deret tak hingga konvergen). Dapat dilihat bahwa

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} =1$ Jadi berdasarkan definisi deret konvergen di atas, dapat disimpulkan bahwa deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ konvergen dan mempunyai jumlahan 1. Akibatnya deret tak hingga tersebut dapat ditulis

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots =\frac{1}{n(n+1)+\cdots}= 1$

Baca juga ini ya : Cara mencari Limit Fungsi

Definsi di atas mewajibkan Anda untuk mengetahui barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga

$\left(s_{n}\right)$ . Hal ini terkadang menjadi kesulitan tersendiri bagi Anda.

Mencari pola suatu barisan dalam variabel

$n$ tidaklah mudah untuk beberapa barisan. Anda sudah melihat bagaimana proses mencari barisan

$\left(s_{n}\right)$ dari deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ di atas.

Oleh karena itu diperlukan sifat atau teorema turunannya yang lebih mudah untuk mencari kekonvergenan dari deret tak hingga.

Seperti halnya pada bahasan barisan konvergen, deret tak hingga yang konvergen bisa diidentifikasi melalui beberapa sifat atau teorema diantaranya adalah

TEOREMA DERET TAK HINGGA KONVERGEN (1)

1. Jika deret tak hingga

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ maka

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n}=0$

2. Jika

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n} \neq 0$ maka deret tak hingga

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ divergen.

3. Misalkan

$(s_{n})$ merupakan deret jumlahan parsial dari deret tak hingga konvergen

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}$ . Maka untuk sebarang

$\varepsilon>0$ terdapat bilangan

$N$ sedemikian sehingga untuk

$R>N$ dan

$T>N$ berlaku

$\left|s_{R}-s_{T}\right|< \varepsilon$

Poin pertama tidak berlaku sebaliknya, artinya deret tak hingga yang suku-sukunya konvergen ke nol belum tentu deret tak hingga tersebut konvergen.

Ilustrasi pada contoh di bawah menerangkan hal tersebut.

Contoh Soal 3
Perhatikan deret harmonik berikut

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots$ Dapat ditunjukkan bahwa

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ namun deret tak hingga

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ divergen.

Pembahasan Contoh Soal 3
Akan ditunjukkan deret harmonik divergen. Perhatikan barisan

$s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ dan

$s_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}$ Jadi

$s_{2n}-s_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad(*)$ Jika

$n>1$ maka

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad (**)$ Setiap ruas pada ketaksamaan (**) di atas mempunyai suku sebanyak

$n$ sehingga ruas kiri

$n(\frac{1}{2n})=\frac{1}{2}$ . Jadi berdasarkan persamaan (*) dan (**) diperoleh

$s_{2n}- s_{n} > \frac{1}{2} \qquad n > 1$

Hal ini kontradiksi dengan teorema bagian 3; ambil

$\varepsilon = \frac{1}{2}$ maka untuk setiap

$N$ sedemikian sehingga untuk

$2n>N$ dan

$n>N$ berlaku

$s_{2n}-s_{n}>\frac{1}{2}$

Jadi deret harmonik

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ divergen meskipun barisan

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$ .

Berikutnya akan kita tinjau salah satu jenis deret tak hingga yang cukup populer, yaitu deret geometri. Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada contoh di bawah.

Contoh Soal 4
Deret geometri dengan bentuk

$\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$ dengan barisan jumlahan parsial ke-

$n$ didefinisikan dengan

$s_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\qquad(r\neq 1)$

Teorema 1 di atas mencari kekonvergenan deret tak hingga

$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ masih berkutat pada barisan jumlahan parsialnya yang terkadang sulit untuk mencari kekonvergenan barisan.

Harus diperlukan beberapa beberapa teorema lanjutan yang menjelaskan kekonvergenan deret tak hingga dari sudut lain.

Bahasan lanjutan dapat dibaca di artikel pada link berikut.

Kesimpulan

Deret tak hingga merupakan suatu barisan dari jumlahan parsialnya. Deret tak hingga akan dikatakan konvergen atau mempunyai jumlahan jika dan hanya jika jumlahan parsialnya konvergen.

Identifikasi kekonveergenan deret tak hingga lain selain definisi bisa dicari lewat selisih jumlahan parsialnya yang diwajibkan relatif kecil.

$--\bigstar\bigstar$ Mari Bermatematika dengan Ceria

$\bigstar\bigstar--$