Berkas (Keluarga) Garis

Berkas garis merupakan suatu kumpulan atau sistem atau keluarga garis yang mempunyai satu atau lebih karakteristik yang sama. Keluarga garis biasanya ditentukan oleh satu parameter.

Apa itu parameter pada berkas garis? Bagaimana suatu parameter mempengaruhi suatu persamaan garis? Berikut penjelasannya

Parameter Persamaan Garis

Pada persamaan garis lurus terdapat persamaan\[y=mx+b~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]dan\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]Persamaan pertama menunjukkan persamaan garis lurus yang ditentukan oleh gardien garis dan titik potong sumbu-$y$. Sedangkan pada persamaan kedua, persamaan garis yang ditentukan titik potong kedua sumbu.

Persamaan pertama terdapat konstanta $m$ yang menentukan gradien garis dan $b$ menentukan titik potong sumbu-$y$. Jika kedua konstanta ini ditentuka nilai yang tetap, maka suatu garis terdefinisi. Nilai lain pada kedua konstanta ini membentuk garis yang berbeda.

Hal serupa juga berlaku pada persamaan kedua. Nilai $a$ dan $b$ yang berlainan menentukan garis yang berbeda pula.

Konstanta-konstanta ini dinamakan dengan parameter dari persamaan garis. Nilai dari parameter tetap untuk sebarang garis yang khusus.

Baca Juga : Luas Segitiga Melalui Titik Sudut

Berkas Garis

Pada bahasan di atas, parameter menentukan suatu garis tertentu. Sedangkan jika parameter dieleminasi menjadi satu parameter, maka persamaan garis dinamakan mempunyai satu parameter.

Jadi persamaan garis dengan satu parameter diperoleh dengan mengganti parameter yang lain dengan suatu nilai yang tetap. Persamaan yang dihasilkan mempunyai grafik kumpulan garis yang memiliki satu kesamaan sifat yang berbeda hanya pada parameternya saja.

Kumpulan garis yang didefinisikan dengan persamaan derajat satu dengan satu parameter dinamakan keluarga atau sistem atau berkas garis.

Misalkan persamaan garis $y=x+b$ adalah berkas garis dengan gradien 1, satu anggota berkas garis ditentukan dengan satu nilai dari $b$. Anggota dari berkas garis ini tentunya tak hingga banyak karena nilai dari $b$ sebanyak bilangan riil.

Contoh Soal 1
Tentukan persamaan berkas atau keluarga garis yang didefinisikan dengan syarat
a). sejajar dengan garis $3x-2y=5$
b). melalui titik $(5, -2)$
c). mempunyai hasil kali titik potong sumbu sama dengan 4

Pembahasan Contoh Soal 1
a). $3x-2y = D$
b). $y +2 = m(x - 5)$
c). $\frac{x}{a}+\frac{y}{a/4}=1$ atau $4x + a^{2}y = 4a$

Berkas atau Keluarga Garis yang Melalui Titik Potong Dua Garis

Menentukan persamaan berkas garis yang melalui titik potong dari dua garis dapat dilihat dari ilustrasi berikut.

Misalkan dua garis berikut berpotongan\[2x-3y+5=0, 4x + y - 11 = 0 \]Dari dua persamaan tersebut dapat dibentuk persamaan berikut\[(2x-3y+5)+ k (4x + y - 11) =0\]dengan $k$ adalah parameter.

Persamaan tersebut adalah persamaan derajat satu untuk sebarang nilai $k$. Oleh karena itu, persamaan tersebut merepresentasikan suatu garis.

Lebih lanjut, masing-masing anggota berkas persamaan garis tersebut melalui titik potong kedua garis yang diberikan yaitu $(2,3)$. Hal ini bisa diperiksa dengan mensubtitusi pada persamaan tersebut, yaitu\begin{eqnarray*} (2x-3y+5)+ k (4x + y - 11) &=& 0 \\
(4 - 9 + 5)+ k (8 + 3 - 11) &=& 0 \\
0 + k (0) &=& 0 \\
0 &=& 0
\end{eqnarray*}Hal ini menunjukkan bahwa persamaan berkas lingkaran tersebut dipenuhi oleh koordinat $(2,3)$ dengan sebarang nilai $k$.

Secara umum, misalkan dua persamaan garis\begin{eqnarray*}
A_{1}x+B_{1}y+C_{1} &=& 0 \\
A_{2}x+B_{1}y+C_{2} &=& 0
\end{eqnarray*}saling berpotongan. Maka persamaan\[( A_{1}x+B_{1}y+C_{1})+k(A_{2}x+B_{1}y+C_{2})=0\]merepresentasikan keluarga garis yang melalui titik potong kedua garis.

Contoh Soal 2
Tuliskan persamaan sistem garis yang melalui titik potong $x-7y+3=0$ dan $4x+2y-5=0$. Tentukan anggota keluarga yang mempunyai gradien 3!

Pembahasan Contoh Soal 2
Persamaan sistem garis yang dimaksud adalah\[(x-7y+3)+k(4x+2y-5)=0\]atau\[(1+4k)x+(-7+2k)y+(3-5k)=0\]yang mempunyai gradien $-\frac{1+4k}{2k-7}$. Jika $m=3=-\frac{1+4k}{2k-7}$ maka $k=2$. Oleh karena itu anggota keluarga yang dimaksud adalah $9x-3y-7=0$.

Jangan Lewatkan : Soal Geometri Tersulit Tentang Segitiga

Contoh Soal 3
Diketahui persamaan sisi segitiga adalah $2x-3y+4=0, x+y+3=0, $ dan $5x-4y-20=0$. Tanpa menyelesaiakan titik sudut, cari persamaan garis tinggi segitiga tersebut.

Pembahasan Contoh Soal 3
Garis tinggi dari sisi $2x-3y+4=0$ adalah anggota berkas garis $(x+y+3)+k(5x-4y-20)=0$ yang tegak lurus dengan garis $2x-3y+4=0$.

Gradien dari garis $2x-3y+4=0$ adalah $m_{1}=\frac{2}{3}$ sehingga gradien garis tinggi yang dimaksud adalah $m_{2}= - \frac{3}{2}$.

Berdasarkan persamaan berkas garis diperoleh
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
x+y+3 + 5kx-4k-20k &=&0 \\
(1+5k)x + (1-4k)y+30-20k &=& 0
\end{eqnarray*}yang mempunyai gradien $m_{2}=-\frac{1+5k}{1-4k}$ sehingga\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\frac{1+5k}{1-4k} &=& \frac{3}{2} \\
2+10k &=& 3-12k \\
k &=& \frac{1}{22}
\end{eqnarray*}Oleh karena itu, persamaan garis tinggi yang dimaksud adalah\[\boldsymbol{27x+18y-46=0}\]

Demikian penjelasan tentang berkas garis atau yang juga disebut keluarga garis atau sistem garis. Suatu persamaan derajat satu dengan satu parameter. Semoga bisa menjelaskan Anda semua.

Berkas (Keluarga) Garis

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq February 25, 2019 1 Komentar