Soal
Berapa banyak solusi dari persamaan $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=16$ yang dipunya dengan $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ adalah bilangan bulat nonnegatif?
Soal No. 2
Berapa peluang bilangan bulat positif yang habis dibagi 3 atau 5 terpilih secara acak dari himpunan semua bilangan bulat positif tak lebih dari 50 !
Soal No. 3
Tentukan barisan $(a_{n})$ dari fungsi pembangkit biasa $P(x)=\frac{1}{1-3x}+\frac{4x}{1-x}$ !
Soal No. 4
Temukan solusi dari relasi rekursif $a_{1}=9, a_{n}=8a_{n-1}+10^{n-1}$ dengan menggunakan fungsi pembangkit!
Solusi
Soal No. 1
Solusi yang dimaksud adalah dengan kombinasi 16 item dari himpunan dengan 4 elemen dengan perulangan. Jadi, $$ C(4+16-1,16)=C(19,16)=\frac{19\cdot 18 \cdot 17}{1\cdot2\cdot3}$$Oleh karena itu solusi dari persamaan yang dimaksud adalah sebanyak $\textbf{969}$.
Soal No. 2
Misalkan $E_{1}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 3. $E_{2}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 5. Selanjutnya, jadi, $E_{1} \cap E_{2}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 3 dan 5. Karena $|E_{1}|=16, |E_{2}|=10$ dan $|E_{1} \cap E_{2}|=3$ maka $$ p\left(E_{1} \cup E_{2}\right)=p(E_{1})+p(E_{2})-p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)=\frac{16}{50}+\frac{10}{50}-\frac{3}{50}=\frac{23}{50}$$ Oleh karena itu peluang kejadian yang dimaksud adalah $\boldsymbol{\frac{23}{50}}$
Soal No. 3
$P(x)$ adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan $(a_{n})$ maka $P(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. Sehingga diperoleh $$\begin{eqnarray*} P(x) &=& \frac{1}{1-3x}+\frac{4x}{1-x} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^{n}+\sum_{k=0}^{\infty}4x\cdot x^{k} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}+\sum_{k=0}^{\infty}4x^{k+1}\\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}4x^{n} \end{eqnarray*}$$ Oleh karena itu barisan $(a_{n})$ adalah $$ (a_{n})=\left\{\begin{array}{cc} 1,~~~~~~~ & n=0 \\ 3^{n}+4, & n>0 \end{array} \right.$$
Soal No. 4
Misalkan $a_{0}=1$ dan $P(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_{0},a_{1},\cdots$. Selanjutnya bagian rekursif dikalikan dengan $x_{n}$ sehingga diperoleh $$ a_{n}x^{n}=8a_{n-1}x^{n}+10^{n-1}x^{n}$$ Langkah berikutnya kedua ruas dijumlahkan mulai dari $n=1$ untuk mendapatkan $$\begin{eqnarray*} P(x)-1 &=& \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(8a_{n-1}x^{n}+10^{n-1}x^{n}\right) \\ &=& \sum_{n=1}^{\infty}8a_{n-1}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}10^{n-1}x^{n} \\ &=& 8x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}+x\sum_{n=1}^{\infty}10^{n-1}x^{n-1} \\ &=&8x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}+x\sum_{n=0}^{\infty}10^{n}x^{n} \\ P(x)-1 &=& 8xP(x)+\frac{x}{1-10x}\\ P(x) &=& \frac{1-9x}{(1-8x)(1-10x)} \end{eqnarray*} $$ Dengan menggunakan pecahan parsial, diperoleh$$ P(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-8x}+\frac{1}{1-10x}\right)$$ Berdasarkan sifat pada deret kuasa diperoleh $$\begin{eqnarray} P(x) &=& \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}8^{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}10^{n}x^{n}\right) \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(8^{n}+10^{n}\right)x^{n} \end{eqnarray} $$Oleh karena itu solusi yang dimaksud adalah koefisien $x^{n}$ dari $P(x)$ yaitu $\boldsymbol{a_{n}=\frac{1}{2}\left(8^{n}+10^{n}\right)}$.
Solusi yang dimaksud adalah dengan kombinasi 16 item dari himpunan dengan 4 elemen dengan perulangan. Jadi, $$ C(4+16-1,16)=C(19,16)=\frac{19\cdot 18 \cdot 17}{1\cdot2\cdot3}$$Oleh karena itu solusi dari persamaan yang dimaksud adalah sebanyak $\textbf{969}$.
Soal No. 2
Misalkan $E_{1}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 3. $E_{2}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 5. Selanjutnya, jadi, $E_{1} \cap E_{2}$ adalah kejadian bilangan bulat terpilih acak yang habis dibagi 3 dan 5. Karena $|E_{1}|=16, |E_{2}|=10$ dan $|E_{1} \cap E_{2}|=3$ maka $$ p\left(E_{1} \cup E_{2}\right)=p(E_{1})+p(E_{2})-p\left(E_{1} \cap E_{2}\right)=\frac{16}{50}+\frac{10}{50}-\frac{3}{50}=\frac{23}{50}$$ Oleh karena itu peluang kejadian yang dimaksud adalah $\boldsymbol{\frac{23}{50}}$
Soal No. 3
$P(x)$ adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan $(a_{n})$ maka $P(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$. Sehingga diperoleh $$\begin{eqnarray*} P(x) &=& \frac{1}{1-3x}+\frac{4x}{1-x} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^{n}+\sum_{k=0}^{\infty}4x\cdot x^{k} \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}+\sum_{k=0}^{\infty}4x^{k+1}\\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}3^{n}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}4x^{n} \end{eqnarray*}$$ Oleh karena itu barisan $(a_{n})$ adalah $$ (a_{n})=\left\{\begin{array}{cc} 1,~~~~~~~ & n=0 \\ 3^{n}+4, & n>0 \end{array} \right.$$
Soal No. 4
Misalkan $a_{0}=1$ dan $P(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan $a_{0},a_{1},\cdots$. Selanjutnya bagian rekursif dikalikan dengan $x_{n}$ sehingga diperoleh $$ a_{n}x^{n}=8a_{n-1}x^{n}+10^{n-1}x^{n}$$ Langkah berikutnya kedua ruas dijumlahkan mulai dari $n=1$ untuk mendapatkan $$\begin{eqnarray*} P(x)-1 &=& \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(8a_{n-1}x^{n}+10^{n-1}x^{n}\right) \\ &=& \sum_{n=1}^{\infty}8a_{n-1}x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}10^{n-1}x^{n} \\ &=& 8x\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}+x\sum_{n=1}^{\infty}10^{n-1}x^{n-1} \\ &=&8x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}+x\sum_{n=0}^{\infty}10^{n}x^{n} \\ P(x)-1 &=& 8xP(x)+\frac{x}{1-10x}\\ P(x) &=& \frac{1-9x}{(1-8x)(1-10x)} \end{eqnarray*} $$ Dengan menggunakan pecahan parsial, diperoleh$$ P(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-8x}+\frac{1}{1-10x}\right)$$ Berdasarkan sifat pada deret kuasa diperoleh $$\begin{eqnarray} P(x) &=& \frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}8^{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}10^{n}x^{n}\right) \\ &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2}\left(8^{n}+10^{n}\right)x^{n} \end{eqnarray} $$Oleh karena itu solusi yang dimaksud adalah koefisien $x^{n}$ dari $P(x)$ yaitu $\boldsymbol{a_{n}=\frac{1}{2}\left(8^{n}+10^{n}\right)}$.
Bagikan
Soal Ujian Akhir Matematika Diskrit
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
Hai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.