Batas Atas dari Modulus Integral Kontur

Hai sobat matematika

Anda mungkin masih ingat pada bagaimana repotnya mengintegralkan kontur.

Pekerjaan mengintegralkan kontur pada fungsi kompleks melalui dua tahap. Pertama merubah fungsi ke paramater di mana kontur diparameterisasi. Kedua mencari turunan pertama dari persamaan parameter kontur.

Ribet ya prosesnya? Pakai bilangan kompleks lagi. hehe

Namun pada aplikasi integral kontur, terkadang perhitungan integral bisa diabaikan dan cukup untuk mengetahui batas atasnya saja.

Kita lihat pembahasan masalah tersebut dengan mengetahui teorema berikut

Batas Atas Integral Kontur

Pada bagian ini, akan dibahas tentang ketaksamaan yang melibatkan integral kontur. Ketaksamaan tersebut salah satunya adalah batas atas dari modulus integral kontur.

TEOREMA BATAS ATAS MODULUS INTEGRAL KONTUR
Misalkan

$C$ adalah kontur dengan panjang

$L$ . Fungsi

$f(z)$ kontinu bagian demi bagian pada

$C$ . Jika bilangan konstanta taknegatif

$M$ sedemikian hingga

$\left|f(z)\right| \leq M$ untuk semua

$z \in C$ dimana

$f(z)$ didefinisikan. Maka

$\boldsymbol{\left|\int\limits_{C}f(z) dz\right| \leq ML}$

Jadi teorema di atas menunjukkan bahwa perhitungan integral bisa dilewati untuk mengetahui batas atas dari modulus nilai integral tersebut.

Perhitungan batas atas modulus tersebut mensyaratkan batas dari fungsi yang diintegralkan kontur dan panjang busur dimana integral kontur didefinisikan.

Aplikasi dari teorema di atas dapat dilihat di contoh berikut

Contoh Soal 1
Misalkan

$C$ adalah busur dari lingkaran

$|z|=2$ dari

$z=2$ ke

$z=2i$ yang terletak di kuadran pertama (lihat Gambar 1). Akan ditunjukkan bahwa

$\left| \int\limits_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1}\right| \leq \frac{6 \pi}{7}$

Gambar 1.

Pembahasan Contoh Soal 1
Jika

$z \in C$ sedemikian sehingga

$|z|=2$ maka

$|z+4| \leq |z| + |4| = |z|+4=6$ dan

$\left| z^{3}-1 \right| \geq \left||z^{3}|-|1| \right|= \left||z^{3}|-1 \right| =7$ Jadi, ketika

$z$ terletak di

$C$ , berlaku

$\left| \frac {z+4} {z^{3}-1} \right| = \frac {|z+4|} {|z^{3}-1|} \leq \frac{6}{7}=M$ Selanjutnya diketahui bahwa

$C:z(t)=2e^{i\theta}~~(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$ sehingga panjang kontur

$C$ , seperempat lingkaran dengan jari-jari 2, adalah

$\begin{eqnarray*} L&=& \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left|z'(\theta)\right| d \theta = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left|2i e^{i\theta}\right| d \theta \\ &=& \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2~ d\theta = \pi \end{eqnarray*}$ Akibatnya berdasarkan persamaan pada teorema di atas diperoleh

$\left| \int\limits_{C} \frac{z+4}{z^{3}-1}\right| \leq \frac{6 \pi}{7}$

Oleh karena itu, teorema di atas bisa diaplikasikan pada contoh ini.

$\blacksquare$

Baca Juga : Sudut Keliling dan Sudut Pusat Lingkaran

Contoh Soal 2
Jika busur

$C_{R}$ menyatakan setengah lingkaran

$z=Re^{i\theta}~~~~(0\leq\theta\leq\pi)$ (lihat Gambar 2) dan

$z^{\frac {1} {2}}$ menyatakan cabang fungsi akar kuadrat

$\begin{equation*} z^{\frac{1}{2}}=\exp(\frac{1}{2}\log~z)~~~~~~\left(r>0,-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3\pi}{2}\right) \end{equation*}$ Tunjukkan (tanpa menghitung nilai integral) bahwa

$\begin{equation*} \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C_{R}}\frac{z^{\frac{1}{2}}}{z^{2}+1}~dz=0 \end{equation*}$

Gambar 2

Pembahasan Contoh Soal 2
Ketika nilai

$|z|=R>1$ , maka didapatkan

$\begin{equation*} \left|z^{\frac{1}{2}}\right|=\left|\sqrt{R}e\frac{i\theta/2}{}\right|=\sqrt{R} \end{equation*}$ dan

$\begin{equation*} |z^{2}+1| \geq \left||z^{2}|-1\right|= R^{2} -1 \end{equation*}$
Akibatnya setiap

$z$ di

$C_{R}$ berlaku

$\begin{equation*} \left|\frac{z^{\frac{1}{2}}}{z^{2}+1}\right| \leq \frac{\sqrt{R}}{R^{2}-1}=M_{R} \end{equation*}$ Karena panjang busur setengah lingkaran dengan jari-jari

$R$ ,

$C_{R}$ adalah

$L=\pi R$ , maka berdasarkan persamaan pada teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \left|\int_{C_{R}}\frac{z^{\frac{1}{2}}}{z^{2}+1}~dz\right| \leq M_{R}L=\frac{\sqrt{R}}{R^{2}-1}\left(\pi R\right) \end{equation*}$ Jika dilihat nilai dari batas atas

$\begin{equation*} M_{R}L=\frac{\pi R \sqrt{R}}{R^{2}-1}\cdot \frac{1/R^{2}}{1/R^{2}}=\frac{\pi/\sqrt{R}}{1-\left(1/R^{2}\right)} \end{equation*}$ dan diperoleh nilai limit