Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar | Matematika SMP

Hai sobat matematika!

Tahukah Anda bahwa pertumbuhan jumlah penduduk suatu negeri bisa diprediksi?

Matematika menyediakan cara untuk memprediksi jumlah penduduk melalui (sebagai contoh) laju pertumbuhan penduduk eksponensial.

Jadi laju pertumbuhan penduduk suatu wilayah dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial.

Bentuk yang seperti apa itu?Eittss...Nanti saja kalu sudah cukup umur ya?😅

Eksponensial berasal dari kata eksponen yang berarti bentuk pangkat. Sedangkan pangkat sendiri didefinisikan sebagai perkalian dengan faktor yang sama.

Pernahkah Anda mengalikan suatu bilangan? Pasti pernah kan?

Perkalian yang Anda lakukan sebelumnya mungkin paling banyak cuman tiga faktor itupun Anda sudah ngos ngosan mengerjakannya.hehe

Bagaimana kalau Anda mengerjakan perkalian dengan banyak faktor? Sampai \(n\) faktor? Saya akan menunjukkan bagaimana mengetahui sifat-sifat dan aturan perkalian tersebut.

Perkalian dengan faktor yang sama didefinisikan dengan perpangkatan. Misalkan jika Anda mengalikan \(a\) sebanyak tiga kali, \(a \times a \times a\) maka operasi yang Anda lakukan dinamakan \(a\) pangkat \(3\).

PANGKAT BULAT POSITIF

Bilangan dengan pangkat bulat positif didefinisikan sebagai berikut

BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF
Diketahui \(a\) adalah bilangan riil dan \(n\) menyatakan bilangan bulat positif.
Perkalian bilangan \(a\) sebanyak \(n\) faktor dinamakan perpangkatan bilangan \(a\) dan dinotasikan dengan\[a^{n}\] dan didefinisikan dengan\[a^{n}=\underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n~faktor}\]dengan
\(
\begin{array}{ll}
a^{n} & ~~\text{disebut bilangan dengan pangkat bilangan bulat positif} \\
a^{n} & ~~\text{dibaca }a \text{ pagkat }n \\
a & ~~\text{disebut bilangan pokok atau basis} \\
n & ~~\text{disebut pangkat atau eksponen} \\
\end{array}
\)

Baca Juga : Hanya Jalan Kaki, Anak SMP bisa mengukur Lebar Sungai.

Anda sekarang sudah mengetahui definisi dari bilangan berpangkat bilangan bulat positif. Mari saya tunjukkan beberapa sifat yang dimiliki bilangan berpangkat tersebut.

Sifat Penjumlahan Pangkat; \[\boldsymbol{a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}}\]

Pada sifat ini, bilangan pokok haruslah sama. Jika bilangan pokok tidak sama, maka sifat ini tidak berlaku di bilangan berpangkat.

Contoh Soal 1
Akan ditunjukkan bahwa nilai \(3^{3+2}=3^{3} \times 3^{2}\)
\[
\begin{array}{rl}
3^{3+2} &=3^{5}\\
3^{3+2} &=3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\\
3^{3+2}&= \underbrace {3 \times 3 \times 3}_{3~faktor} \times \underbrace{3 \times 3}_{2~faktor}\\
3^{3+2}&= 3^{3} \times 3^{2}
\end{array}
\]

Sifat Pengurangan Pangkat; \[ \boldsymbol{\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}}\]

Sama dengan sifat sebelumnya, bilangan pokok pada bilangan berpangkat baru bisa memakai sifat ini jika mempunyai bilangan pokok yang sama

Contoh Soal 2
Akan ditunjukkan bahwa \(\frac{3^{5}}{3^{2}}=3^{5-3}\)
\[
\begin{array}{rl}
\frac{3^{5}}{3^{2}}&=\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{3 \times 3 \times 3}\\
&= 3 \times 3 \\
&= 3^{2}\\
&= 3^{5-3}
\end{array}
\]

Sifat Perpangkatan Pangkat; \[\boldsymbol{\left(a^{m}\right)^{n}= a^{mn}}\]

Sifat ini mengatakan bahwa bilangan berpangkat dipangkatkan lagi sama dengan pangkat dari bilangan tersebut dikalikan.

Contoh Soal 3
Akan ditunjukkan bahwa \(5^{3^{2}}=5^{6}\)
\[
\begin{array}{rl}
\left(5^{3}\right)^{2}&=5^{3} \times 5^{3}\\
&= \left(5 \times 5 \times 5\right) \times \left(5 \times 5 \times 5\right) \\\
&= 5^{6}
\end{array}
\]

Sifat Pangkat Perkalian Bilangan ; \[\boldsymbol{\left(a \times b \right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\]

Perkalian bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan yang sama menghasilkan perkalian antara bilangan tersebut masing-masing dengan pangkat yang sama.

Contoh Soal 4
Tunjukkan bahwa \(\left(2 \times 3 \right)^{2} = 2^{2} \times 3^{2}\)
\[
\begin{array}{rl}
\left(2 \times 3 \right)^{2} &= \left(2 \times 3 \right) \times \left(2 \times 3 \right)\\
&= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \\
&= 2^{2} \times 3^{2}
\end{array}
\]

Sifat Pangkat Pembagian Bilangan ; \[\boldsymbol{\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}~~~~~~b\neq 0}\]

Jika ada pembagian bilangan selanjutnya dikasih pangkat pada operasi tersebut, maka hasilnya sama dengan pembagian antara bilangan berpangkat yang sama.

Contoh Soal 5
Akan ditunjukkan bahwa \(\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{2^{2}}{3^{2}}\)
\[
\begin{array}{rl}
\left(\frac{2}{3} \right)^{2} &= \left(\frac{2}{3} \right) \times \left(\frac{2}{3} \right)\\
&= \frac{2 \times 2}{3 \times 3} \\
&= \frac{2^{2}}{3^{2}}
\end{array}
\]

Sifat Pangkat Nol ; \[\boldsymbol{a^{0}=1}\]

Sebarang bilangan riil apapun jika dipangkatkan nol sama dengan 1 karena
\[
\begin{array}{rl}
a^{n} : a^{n} &= a^{n-n}\\
1 &= a^{0}
\end{array}
\]

Sifat Pangkat Bulat Negatif ; \[\boldsymbol{\frac{1}{a^{n}}=a^{-n},~~~~~a\neq 0}\]

Bilangan riil berpangkat bilangan bulat negatif berarti kebalikan dari bilangan berpangkat bulat positif atau saling resiprokal. Hal ini disebabkan oleh
\[
\begin{array}{rl}
a^{0} : a^{n} &= a^{0-n}\\
1: a^{n} &= a^{-n} \\
\frac{1}{a^{n}}&=a^{-n}
\end{array}
\]

Sifat Pangkat Rasional; \[\boldsymbol{a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^{n}}}\]

Bilangan berpangkat rasional maksudnya adalah bilangan dengan pangkat berbentuk \(\frac{a}{b}\) atau yang lebih dikenal dengan bentuk pecahan.

Pangkat rasional mempunyai nilai sama dengan bentuk akar.

Jangan Lewatkan : Urutan Bilangan Bulat

Berdasarkan delapan sifat yang sudah Anda kenal di atas, saatnya saya memberikan Anda beberapa contoh soal bilangan berpangkat.

Contoh Soal 6 . Bilangan Berpangkat
\(\left(4a^{3}\right)^{2}: 2a^{2} = \cdots\)
\(
\begin{array}{lll}
A.~ 2a^{4}~~~~~&C.~ 8a^{3}~~~~~&E.~ 2a^{3}\\
B.~ 4a^{3}~~~~~&D.~ 8a^{4}~~~~~&
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 6
\[
\begin{array}{rl}
\left(4a^{3}\right)^{2}: 2a^{2} &= 16a^{6} : 2a^{2}\\
&= 8a^{6-2}\\
&= 8a^{4}
\end{array}
\]Jawaban : D.

Contoh Soal 7
Bentuk pangkat positif dari \(\left(\frac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} = \cdots\)
\(
\begin{array}{lll}
A.~ \frac{x+y}{y-x}~~~~~&C.~ \frac{y-x}{y+x}~~~~~&E.~ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\\
B.~ \frac{x+y}{y-x}~~~~~&D.~ \frac{x-y}{x+y}~~~~~&
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 7
\[
\begin{array}{rl}
\left(\frac{x^{-1}+y^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}}\right)^{-1} & = \left(\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}\right)\\
&= \left(\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}\right) \frac{xy}{xy}\\
&= \frac{y-x}{y+x}
\end{array}
\]Jawaban : C

Contoh Soal 8
Jika \(x=25\) dan \(y=64\), maka nilai \(\frac{x^{-3/2}\sqrt[3]{y^{2}}}{y^{1/3}-x^{1/2}}= \cdots\)
\(
\begin{array}{lll}
A.~ -2000~~~~~&C.~ \frac{16}{125}~~~~~&E.~ 2000\\
B.~ -\frac{16}{125}~~~~~&D.~ 100~~~~~&
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 8
\[
\begin{array}{rl}
\frac{x^{-3/2}\sqrt[3]{y^{2}}}{y^{1/3}-x^{1/2}}&=\frac{x^{-3/2}y^{2/3}}{y^{1/3}-x^{1/2}}\\
&= \frac{(25)^{-3/2}(64)^{2/3}}{(64)^{1/3}-(25)^{1/2}}\\
&= \frac{(5^{2})^{-3/2}(4^{3})^{2/3}}{(4^{3})^{1/3}-(5^{2})^{1/2}}\\
&= \frac{5^{-3}\cdot 4^{2}}{4-5}\\
&= \frac{\frac{1}{125}\cdot 4^{2}}{-1}\\
&= -\frac{16}{125}
\end{array}
\]Jawaban : B

Bentuk Akar

Dalam sistem bilangan dikenal dengan bilangan irasional. Bilangan yang dpat dinyatakan dalam bentuk pecahan \(\frac{a}{b}\) dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat dan nilai \(b \neq 0\).

Jika bilangan tidak bisa dinyatakan dalam bentuk rasional di atas, bilangan tersebut dinamakan bilangan irrasional.

Salah satu bilangan irasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk akar \( \boldsymbol{\sqrt{a}}\) dengan \(a\) bukan bilangan kuadrat sempurna.

Misalkan saja \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}\) dan sebagainya.

Bilangan dengan bentuk seperti di atas dinamakan bilangan bentuk akar. Yaitu bilangan irasional yang dinyatakan dalam bentuk \[\sqrt{a}\] dengan \(a\) bukan bilangan kuadrat sempurna.

Bagaimana dengan \(\sqrt{4}, \sqrt{16}, \sqrt[3]{27}\) ?

Bilangan tersebut bukan bilangan bentuk akar karena bilangan tersebut adalah bilangan rasional.

Seperti pada bilangan berpangkat, bilangan bentuk akar juga mempunyai beberapa sifat.

Saya akan menunjukkan kepada Anda sifat sifat tersebut

Jangan Lewatkan : Menebak Angka dengan Mata Tertutup

Sifat Bilangan Bentuk Akar

Sifat yang dimiliki oleh bilangan bentuk akar biasa digunakan untuk merasionalkan bentuk akar.

Anda perlu cermati dalam sifat sifat berikut. Apa saja yang menjadi syarat dalam sifat bentuk akar tersebut.

Berikut adalah sifat sifat bentuk akar yang dikenal dalam Matematika

Sifat bentuk akar nomor 1 di atas menunjukkan bahwa yang sama akar pangkatnya. Ketika nilai \(n\) berbeda maka tidak berlaku.

Misalkan\[\boldsymbol{\sqrt{3} \times \sqrt[3]{2} \neq \sqrt{ 3 \times 2 } \neq \sqrt[3]{3 \times 2}}\]
Sifat nomor 2 dan nomor 3 juga sering terdapat kesalahan. Beda dengan sifat bentuk akar nomor 1 tadi, kali ini yang harus sama adalah bentuk akarnya.

Jadi sebagai contoh\[\boldsymbol{ 3\sqrt{ 2 } + 3 \sqrt{ 3} \neq 6 \sqrt {6 } \neq 3 \sqrt{5} }\]

Contoh soal bilangan bentuk akar di bawah ini memberikan sedikit gambaran bagaimana penerapan sifat-sifat bilangan bentuk akar digunakan.

Selamat menikmati.😎

Contoh Soal 9

Nilai dari \(\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}=\cdots\)

\(
\begin{array}{lll}
A.~ 2\sqrt{3}~~~~~&C.~ 4\sqrt{3}~~~~~&E.~6\sqrt{3}\\
B.~ 3\sqrt{3}~~~~~&D.~ 5\sqrt{3}~~~~~&
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 10

\[
\begin{array}{rl}
\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27} & = \sqrt{25 \times 3} + 2\sqrt{4 \times 3} + \sqrt{ 9 \times 3 }\\
&= \left( \sqrt{25} \times \sqrt{3} \right )+ 2 \left(\sqrt{ 4 } \times \sqrt{3} \right) + \left( \sqrt{9} \times \sqrt{ 3} \right)\\
&= 5\sqrt{3} + 4 \sqrt{ 3 } - 3\sqrt{3}\\
&= \left( 5+ 4 - 3 \right) \sqrt{3}\\
&= 6\sqrt{3}
\end{array}
\]Jawaban: E.

Contoh Soal 10

\(\left( \sqrt{ 7 } - \sqrt { 2}\right)\left( \sqrt{ 7 } + \sqrt { 2}\right) = \cdots\)\\

\(
\begin{array}{lll}
A.~ 2~~~~~&C.~ 7~~~~~&E.~2 \sqrt {2}\\
B.~ 5~~~~~&D.~ 2\sqrt{ 7 }~~~~~&
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 10

INGAT !! \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\). Jadi

\[
\begin{array}{rl}
\left( \sqrt{ 7 } - \sqrt { 2}\right)\left( \sqrt{ 7 } + \sqrt { 2}\right) &= \left(\sqrt{ 7 }\right)^{2} - \left(\sqrt { 2}\right)^{2}\\
&= 7 - 2 \\
&= 5
\end{array}
\]Jawaban: B.

Contoh Soal 11

Bentuk \(\frac{13}{4 - \sqrt { 3}}\) sama dengan \(\cdots\)

Pembahasan Contoh Soal 11

\[
\begin{array}{rl}
\frac{13}{4 - \sqrt { 3}}&= \frac{13}{4 - \sqrt { 3}} \times \frac{4 + \sqrt { 3}}{4 + \sqrt { 3}}\\
&= \frac{13 \left(4 + \sqrt { 3}\right)}{4^{2} - 3}\\
&= \frac{13}{13} \left(4 + \sqrt { 3}\right)\\
&= \left(4 + \sqrt { 3}\right)
\end{array}
\]

Contoh Soal 12

Pecahan \(\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\) ekuivalen dengan

Pembahasan Contoh Soal 12
\[
\begin{array}{rl}
\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} & = \frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\
& = \frac{4\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}\\
& = 2 \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\\
&= 2\sqrt{5}+2\sqrt{3}
\end{array}
\]

😍 Mari Bermatematika dengan Ceria 😍