Fungsi Kontinu | Kalkulus

kalkulus universitas

Credit to pixaby

Pernahkah Anda mendengar kata kontinu?

Saya yakin Anda pasti pernah mendengarnya. Entah di pengajian di berita ataupun ditempat lain mendengar kata kontinu.

Pada waktu pengajian, sang ustdaz berkata

"Jadi sebagai hamba yang taat, kita harus kontinu dalam beribadah".

Pembawa berita di TV melaporkan bahwa pertumbuhan penduduk terus berkembang secara kontinu.

Kalau fungsi yang kontinu Anda akan mendengar ketika sudah menginjak di perguruan tinggi.

Berdasarkan kamus besar bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan; dan terus menerus.

Lalu apa hubungannya dengan fungsi?

Mari kita pelajari fungsi yang bagaimana dikatakan fungsi kontinu.

Fungsi Tidak Kontinu

Sebenarnya untuk melihat fungsi itu kontinu atau tidak cara melihatnya yang paling mudah dengan melihat grafik fungsi tersebut.

Saya ingatkan lagi, coba Anda lihat arti harfiah dari kontinu di KBBI seperti yang saya singgung di atas.

Jadi (secara informal) fungsi \(f\) dikatakan kontinu di \(c\) jika tidak ada gangguan di grafik fungsi \(f\) di titik \(x=c\).

Gangguan yang dimaksud adalah gangguan dalam menggambar fungsi \(f\) ya.

Hal ini berarti grafik dari fungsi \(f\) yang kontinu tidak patah di \(c\), tidak ada lubang, lompatan, dan jarak.

Ilustrasi grafik berikut menjelaskan apa yang saya maksud dengan gangguan tersebut

Ketiga fungsi di atas menunjukkan fungsi yang tidak termasuk kategori fungsi kontinu.

Oleh karena itu, fungsi \(f\) dikatakan tidak kontinu (disebut juga diskontinu) di suatu titik \(c\) jika memenuhi salah satu dari tiga keaadaan berikut

(1) Nilai fungsi \(f\) tidak terdefinisi di titik \(c\); atau \(f(c)\) tidak ada
(2) Limit fungsi ketika nilai \(x\) mendekati \(c\) tidak ada; \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) tidak ada.
(3) Nilai dari fungsi tidak sama dengan limit fungsi di titik \(c\); \(f(c) \neq \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\).

Baca Juga : Fungsi Logaritma dan Sifat-sifatnya

Perhatikan contoh soal fungsi yang diskontinu berikut untuk lebih jelasnya.

Contoh Soal 1 Diskontinu Sebab tak Terdefinisi
Jelaskan kenapa fungsi berikut diskontinu di \(x=1\)\[f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\]
Pembahasan Contoh Soal 1
Jika diperhatikan fungsi \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\) mempunyai domain \(D_{f}=\{x \in \mathbb{R}: x \neq 1\}\).

Jadi fungsi \(f\) didefinisikan di semua bilangan riil kecuali \(x=1\) sehingga nilai \(f(1)\) tidak ada.

Berdasarkan syarat fungsi diskontinu, fungsi \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\) diskontinu pada titik \(x=1\).  \(\blacksquare\)

Contoh Soal 2 Diskontinu Sebab Limit Tak Ada
Diberikan fungsi \[g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
                                 x+1, & x \leq 4 \\
                                 x^{2} & x>4
                               \end{array}
\right.\]Tunjukkan bahwa fungsi \(g\) tidak kontinu di titik \(x=4\) !

Pembahasan Contoh Soal 2
Jika dilihat fungsi \(g\) tersebut di titik \(x=4\), maka Anda bisa tahu bahwa fungsi tersebut mempunyai nilai di titik \(x=4\).

Pada titik \(x=4\) nilai fungsi \(g\) adalah 5. Dengan kata lain \(g(4)=x+1=5\).

Akan tetapi, ketika \(x\) mendekati dari kiri maka \[\lim\limits_{x\rightarrow 4^{-}}g(x)=5\].

Sedangkan ketika mendekati nilai \(x\) dari kanan nilai \[\lim\limits_{x\rightarrow 4^{+}}g(x)=16\].

Jadi pada titik \(x=4\) limit fungsi tidak ada karena mempunyai limit kiri dan limit kanan tidak sama.

Oleh karena itu, fungsi \(g\) diskotinu di titik \(x=4\). \(\blacksquare\)

Contoh Soal 3 Diskontinu Sebab Beda Limit dan Nilai
Tunjukkan diskontinu fungsi berikut\[h(x)=\left\{\begin{array}{cc}
                                                   x^{2} & x \leq 7 \\
                                                   10 & x=7 \\
                                                   x+42 & x \geq 7
                                                 \end{array}
\right.\]
Pembahasan Contoh Soal 3
Langsung saja Anda perhatikan pada titik \(x=7\) karena pada titik tersebut terbagi tiga kasus.

Pada fungsi \(h\) ketika \(x < 7\) dan \(x>7\) mempunyai limit yang sama yaitu \(\lim_{x\rightarrow 7} h(x)=49\).

Akan tetapi nilai dari fungsi \(h\) di titik \(x=7\) sama dengan \(h(7)=10\).

Jadi \(f(7) \neq \lim_{x\rightarrow 7} h(x)\). Oleh karena itu, fungsi \(h\) diskontinu di titik \(x=7\).\(\blacksquare\)

Sekarang Anda sudah mengerti tiga keaadaan yang menyebabkan sutu fungsi dikatakan diskontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

Pendefinisian suatu fungsi kontinu secara intuitif tidaklah begitu mengejutkan bagi Anda.

Ya mudah untuk ditebak definisinya. Tinggal kebalikan dari definisi fungsi yang tidak kontinu.

FUNGSI KONTINU

Fugsi kontinu yang diberikan pada mata kuliah kalkulus melibatkan konsep limit di suatu titik.

Sebelumnya Anda diberikan pengetahuan tentang fungsi yang diskontinu di suatu titik, yang akan menjadi motivasi untuk mendefinisikan fungsi kontinu di titik.

Sekarang akan kita lihat definisi fungsi kontinu di suatu titik.

DEFINISI FUNGSI KONTINU
Suatu fungsi \(f\) dikatakan kontinu di titik \(c\) jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut

(1) $f(c)$ terdefinisi
(2) \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) ada
(3) \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)\)

Sedangkan fungsi \(f\) dikatakan kontinu di suatu interval buka \((a,b)\) jika dan hanya jika fungsi \(f\) kontinu di setiap titik di dalam interval tersebut.

Berdasarkan definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa syarat fungsi kontinu bisa disingkat hanya pada poin terakhir saja yaitu\[\boldsymbol{\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)}\]Berikut contoh dan pembahasan kekontinuan fungsi yang bisa Anda pelajari untuk lebih bisa memahami konsep fungsi kontinu.

Contoh Soal 4
Selidiki apakah fungsi \(f(x)=\frac{1}{x}\) kontinu di \(x \neq 0\)?

Pembahasan Contoh Soal 4
Fungsi \(f\) terdefinisi di \(\{x \in \mathbb{R}: x\neq0 \}\) sehingga nilai \(f(c)\) ada di \(c \neq 0\), yaitu \(f(c)=\frac{1}{c}\).

Karena \(f\) adalah fungsi rasional, maka berdasarkan sifat pada limit fungsi diperoleh \(\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)\).

Oleh karena itu, fungsi \(f\) kontinu di \(x \neq 0\).\(\blacksquare\)

Fungsi di matematika banyak macamnya dan kekontinuan fungsi harus dilihat satu persatu. Namun kali ini Anda akan diberikan beberapa kekontinuan fungsi yang mungkin terdengar familiar dengan Anda.

Jangan Lewatkan : Terungkap Alasan Sumur Bentuknya Bulat

KEKONTINUAN FUNGSI TERKENAL

(1) Fungsi polinom (fungsi banyak) dengan bentuk\[p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}\]kontinu di setiap bilangan riil \(c\).

(2) Fungsi rasional, dengan bentuk \[r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\]dengan \(p(x), q(x)\) adalah fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil \(c\) dalam daerah asalnya.

(3) Fungsi Trigonometri, \(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x\) kontinu di setiap bilangan \(c\) di domainnya.

(4) Fungsi Nilai Mutlak \(f(x)=|x|\) kontinu di setiap bilangan riil \(c\).

(5) Fungsi Akar, \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) kontinu di setiap bilangan riil \(c\) jika \(n\) ganjil dan kontinu di setiap bilanga riil positif \(c\) jika \(n\) genap.

(6) Jika fungsi \(f\) dan \(g\) kontinu maka fungsi \(kf, f+g, f-g\) dan \(f/g\) (asalkan \(g (c) \neq 0\)) juga kontinu di \(c\) dan \(f^{n}, \sqrt[n]{f}\) (asalkan \(f(c)\) >0 jika \(n\) genap) juga kontinu di \(c\).

(7) Jika \(g\) kontinu di \(c\) dan \(f\) kontinu di \(g(c)\) maka komposisi fungsi \(f \circ g (x) = f \left(g(x)\right)\) kontinu di \(x=c\).

Berikut saya memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu berkaitan dengan sifat-sifat kekontinuan fungsi terkenal.

Contoh Soal 5
Selidiki kekontinuan fungsi di bawah berikut
\(
\begin{array}{rl}
  1.~f_{1}(x)&=3x^{2}+4x^{2}-4 \\
  2.~f_{2}(x)&=\frac{1}{x} \\
  3.~f_{3}(x)&= x + \sin x \\
   4.~f_{4}(x)&= 3 \tan x \\
    5.~f_{5}(x)&=\frac{x^{2}+1}{\cos x} \\
     6.~f_{6}(x)&=\sqrt{x^{2}+1} \\
      7.~f_{7}(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
                                             \sin \frac{1}{x}, & x\neq 0 \\
                                             0, & x=0
                                           \end{array}\right.\\
   8.~f_{8}(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
                                    x\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
                                    0 & x=0
                                  \end{array}\right.
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 5
Karena fungsi \(f_{1}\) adalah fungsi polinom maka fungsi \(f_{1}\) kontinu di semua bilangan riil.

Fungsi \( f_ {2} \) merupakan fungsi rasional yang mempunyai domain \( \{x \in \mathbb{R}: x \neq 0\} \) sehingga fungsi \( f_{2} \) kontinu di bilangan riil \( c \neq 0\).

Kasus pada fungsi \( f_{3} \) adalah penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi trigonometri yang keduanya kontinu di setiap bilangan riil. Jadi fungsi \( f_{3} \) kontinu di semua bilangan riil.

Hampir sama dengan fungsi sebelumnya, fungsi \( f_{4} \) kontinu di setiap bilangan riil karena hasil perkalian fungsi yang sama-sama kontinu di setiap bilangan riil.

Selanjutnya pada fungsi \( f_{5} \), fungsi pembilang \( y= x^{2}+1\) kontinu di setiap bilangan riil, namun pada penyebut \(y= \cos x \neq 0\) atau terdefinisi di \( \left\{ x \neq \frac{\pi}{2}+n\pi \right)\) dengan \(n \in \mathbb{Z} \). Jadi fungsi \( f_{5} \) kontinu di \( \cdots,\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right), \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right),\cdots\)

Berdasarkan sifat nomor 4 dan nomor 7 maka fungsi \( f_{6} \) kontinu di setiap bilangan riil positif \(c>0\)

Sedangkan fungsi \( f_{7} \) kontinu di \( (-\infty,0)\cup (0,\infty) \) karena fungsi \(y=\frac{1}{x}\) kontinu di titik selain \(x=0\) dan fungsi sinus kontinu di semua titik di domain sehingga fungsi \(y=\sin \frac{1}{x}\) kontinu di bilangan riil kecuali \(x=0\). Sedangkan di \(x=0\) limit fungsi tidak ada.

Terakhir pada fungsi \( f_{8} \), fungsi serupa dengan bagain kedua kecuali osilasi pada \(x=0\). Berdasarkan teorema squeeze diperoleh\[-|x| \leq x\sin \frac{1}{x} \leq |x|,~~~x\neq0\]dan disimpulkan \(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{8}(x)=0\). Jadi fungsi \(f_{8}\) kontinu di semua bilangan riil. \(\blacksquare\)

Jangan Lewatkan : Kenapa Sih Belajar Kalkulus

Teorema Nilai Rata-rata

Pada fungsi kontinu di interval tertutup, perilaku fungi tersebut menarik untuk dilihat.

Salah satunya adalah eksistensi dari pembuat nol fungsi yang kontinu pada interval tertutup. Lebih jelasnya teorema berikut menyebutkan hal tersebut

TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika \(f\) kontinu pad interval tertutup \( [a,b] \) dengan \( f(a) \neq f(b) \) dan \(k\) sebarang nilai diantara \(f(a)\) dan \(f(b)\) maka terdapat paling tidak satu bilangan \(c \in [a,b]\) sedemikian sehingga\[f(c)=k\]

Teorema nilai rata-rata di atas mengatakan pada kita bahwa adanya jaminan bilangan \(c\) yang ada dengan sifat seperti di atas.

Namun sayangnya tidak disebutkan bagaimana mencari nilai \(c\) tersebut. Pada bahasan lain akan dijelaskan tentang hal ini.

Sala satu aplikasi dari teorema nilai rata-rata adalah menemukan akar-akar dari fungsi yang kontinu di interval tutup.

Secara khusus, jika \( f \) kontinu di \([a,b]\) dan \(f(a) f(b) < 0 \) , teorema nilai rata-rata menjamin \(f\)mempunyai akar di interval \( [a,b]\).

Contoh Soal 6
Jelaskan aplikasi teorema nilai rata-rata yang menjamin akar dari fungsi \( f(x)=x^{3}+2x-1 \) mempunyai akar di interval \( [0,1]\)

Pembahasan Contoh Soal 6
Anda sudah mengerti bahwa fungsi polinomial \(f\) kontinu di \( [0,1]\). Karena \[f(0)=-1 \text{ dan }f(1)=2\]yang menunjukkan bahwa \(f(0)f(1)<0\). Jadi berdasarkan teorema nilai rata-rata untuk suatu bilangan \(k=0\) diantara \(f(0)=-1\) dan \(f(1)=2\) terdapat \(c\) sedemikian sehingga\[f(c)=0\]seperti pada gambar di bawah.

\(--\bigstar\bigstar\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\bigstar\bigstar--\)

Bagikan

Jangan lewatkan

Fungsi Kontinu | Kalkulus

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 03, 2018 3 Komentar