![]() |
Credit to pixaby |
Saya yakin Anda pasti pernah mendengarnya. Entah di pengajian di berita ataupun ditempat lain mendengar kata kontinu.
Pada waktu pengajian, sang ustdaz berkata
"Jadi sebagai hamba yang taat, kita harus kontinu dalam beribadah".
Pembawa berita di TV melaporkan bahwa pertumbuhan penduduk terus berkembang secara kontinu.
Kalau fungsi yang kontinu Anda akan mendengar ketika sudah menginjak di perguruan tinggi.
Berdasarkan kamus besar bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan; dan terus menerus.
Lalu apa hubungannya dengan fungsi?
Mari kita pelajari fungsi yang bagaimana dikatakan fungsi kontinu.
Fungsi Tidak Kontinu
Sebenarnya untuk melihat fungsi itu kontinu atau tidak cara melihatnya yang paling mudah dengan melihat grafik fungsi tersebut.Saya ingatkan lagi, coba Anda lihat arti harfiah dari kontinu di KBBI seperti yang saya singgung di atas.
Jadi (secara informal) fungsi f dikatakan kontinu di c jika tidak ada gangguan di grafik fungsi f di titik x=c.
Gangguan yang dimaksud adalah gangguan dalam menggambar fungsi f ya.
Hal ini berarti grafik dari fungsi f yang kontinu tidak patah di c, tidak ada lubang, lompatan, dan jarak.
Ilustrasi grafik berikut menjelaskan apa yang saya maksud dengan gangguan tersebut
Oleh karena itu, fungsi f dikatakan tidak kontinu (disebut juga diskontinu) di suatu titik c jika memenuhi salah satu dari tiga keaadaan berikut
(1) Nilai fungsi f tidak terdefinisi di titik c; atau f(c) tidak ada
(2) Limit fungsi ketika nilai x mendekati c tidak ada; limx→cf(x) tidak ada.
(3) Nilai dari fungsi tidak sama dengan limit fungsi di titik c; f(c)≠limx→cf(x).
Baca Juga : Fungsi Logaritma dan Sifat-sifatnya
Perhatikan contoh soal fungsi yang diskontinu berikut untuk lebih jelasnya.
Contoh Soal 1 Diskontinu Sebab tak Terdefinisi
Jelaskan kenapa fungsi berikut diskontinu di x=1f(x)=x2+1x−1
Pembahasan Contoh Soal 1
Jika diperhatikan fungsi f(x)=x2+1x−1 mempunyai domain Df={x∈R:x≠1}.
Jadi fungsi f didefinisikan di semua bilangan riil kecuali x=1 sehingga nilai f(1) tidak ada.
Berdasarkan syarat fungsi diskontinu, fungsi f(x)=x2+1x−1 diskontinu pada titik x=1. ◼
Contoh Soal 2 Diskontinu Sebab Limit Tak Ada
Diberikan fungsi g(x)={x+1,x≤4x2x>4Tunjukkan bahwa fungsi g tidak kontinu di titik x=4 !
Pembahasan Contoh Soal 2
Jika dilihat fungsi g tersebut di titik x=4, maka Anda bisa tahu bahwa fungsi tersebut mempunyai nilai di titik x=4.
Pada titik x=4 nilai fungsi g adalah 5. Dengan kata lain g(4)=x+1=5.
Akan tetapi, ketika x mendekati dari kiri maka limx→4−g(x)=5.
Sedangkan ketika mendekati nilai x dari kanan nilai limx→4+g(x)=16.
Jadi pada titik x=4 limit fungsi tidak ada karena mempunyai limit kiri dan limit kanan tidak sama.
Oleh karena itu, fungsi g diskotinu di titik x=4. ◼
Contoh Soal 3 Diskontinu Sebab Beda Limit dan Nilai
Tunjukkan diskontinu fungsi berikuth(x)={x2x≤710x=7x+42x≥7
Pembahasan Contoh Soal 3
Langsung saja Anda perhatikan pada titik x=7 karena pada titik tersebut terbagi tiga kasus.
Pada fungsi h ketika x<7 dan x>7 mempunyai limit yang sama yaitu limx→7h(x)=49.
Akan tetapi nilai dari fungsi h di titik x=7 sama dengan h(7)=10.
Jadi f(7)≠limx→7h(x). Oleh karena itu, fungsi h diskontinu di titik x=7.◼
Sekarang Anda sudah mengerti tiga keaadaan yang menyebabkan sutu fungsi dikatakan diskontinu atau tidak kontinu di suatu titik.
Pendefinisian suatu fungsi kontinu secara intuitif tidaklah begitu mengejutkan bagi Anda.
Ya mudah untuk ditebak definisinya. Tinggal kebalikan dari definisi fungsi yang tidak kontinu.
FUNGSI KONTINU
Fugsi kontinu yang diberikan pada mata kuliah kalkulus melibatkan konsep limit di suatu titik.Sebelumnya Anda diberikan pengetahuan tentang fungsi yang diskontinu di suatu titik, yang akan menjadi motivasi untuk mendefinisikan fungsi kontinu di titik.
Sekarang akan kita lihat definisi fungsi kontinu di suatu titik.
DEFINISI FUNGSI KONTINU
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut
(1) f(c) terdefinisi
(2) limx→cf(x) ada
(3) limx→cf(x)=f(c)
Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut
(1) f(c) terdefinisi
(2) limx→cf(x) ada
(3) limx→cf(x)=f(c)
Sedangkan fungsi f dikatakan kontinu di suatu interval buka (a,b) jika dan hanya jika fungsi f kontinu di setiap titik di dalam interval tersebut.
Berdasarkan definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa syarat fungsi kontinu bisa disingkat hanya pada poin terakhir saja yaitulimx→cf(x)=f(c)Berikut contoh dan pembahasan kekontinuan fungsi yang bisa Anda pelajari untuk lebih bisa memahami konsep fungsi kontinu.
Contoh Soal 4
Selidiki apakah fungsi f(x)=1x kontinu di x≠0?
Pembahasan Contoh Soal 4
Fungsi f terdefinisi di {x∈R:x≠0} sehingga nilai f(c) ada di c≠0, yaitu f(c)=1c.
Karena f adalah fungsi rasional, maka berdasarkan sifat pada limit fungsi diperoleh limx→cf(x)=f(c).
Oleh karena itu, fungsi f kontinu di x≠0.◼
Fungsi di matematika banyak macamnya dan kekontinuan fungsi harus dilihat satu persatu. Namun kali ini Anda akan diberikan beberapa kekontinuan fungsi yang mungkin terdengar familiar dengan Anda.
Jangan Lewatkan : Terungkap Alasan Sumur Bentuknya Bulat
KEKONTINUAN FUNGSI TERKENAL
(1) Fungsi polinom (fungsi banyak) dengan bentukp(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnkontinu di setiap bilangan riil c.
(2) Fungsi rasional, dengan bentuk r(x)=p(x)q(x)dengan p(x),q(x) adalah fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya.
(3) Fungsi Trigonometri, sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx kontinu di setiap bilangan c di domainnya.
(4) Fungsi Nilai Mutlak f(x)=|x| kontinu di setiap bilangan riil c.
(5) Fungsi Akar, f(x)=n√x kontinu di setiap bilangan riil c jika n ganjil dan kontinu di setiap bilanga riil positif c jika n genap.
(6) Jika fungsi f dan g kontinu maka fungsi kf,f+g,f−g dan f/g (asalkan g(c)≠0) juga kontinu di c dan fn,n√f (asalkan f(c) >0 jika n genap) juga kontinu di c.
(7) Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka komposisi fungsi f∘g(x)=f(g(x)) kontinu di x=c.
(1) Fungsi polinom (fungsi banyak) dengan bentukp(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxnkontinu di setiap bilangan riil c.
(2) Fungsi rasional, dengan bentuk r(x)=p(x)q(x)dengan p(x),q(x) adalah fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil c dalam daerah asalnya.
(3) Fungsi Trigonometri, sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx kontinu di setiap bilangan c di domainnya.
(4) Fungsi Nilai Mutlak f(x)=|x| kontinu di setiap bilangan riil c.
(5) Fungsi Akar, f(x)=n√x kontinu di setiap bilangan riil c jika n ganjil dan kontinu di setiap bilanga riil positif c jika n genap.
(6) Jika fungsi f dan g kontinu maka fungsi kf,f+g,f−g dan f/g (asalkan g(c)≠0) juga kontinu di c dan fn,n√f (asalkan f(c) >0 jika n genap) juga kontinu di c.
(7) Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka komposisi fungsi f∘g(x)=f(g(x)) kontinu di x=c.
Berikut saya memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu berkaitan dengan sifat-sifat kekontinuan fungsi terkenal.
Contoh Soal 5
Selidiki kekontinuan fungsi di bawah berikut
1. f1(x)=3x2+4x2−42. f2(x)=1x3. f3(x)=x+sinx4. f4(x)=3tanx5. f5(x)=x2+1cosx6. f6(x)=√x2+17. f7(x)={sin1x,x≠00,x=08. f8(x)={xsin1x,x≠00x=0
Pembahasan Contoh Soal 5
Karena fungsi f1 adalah fungsi polinom maka fungsi f1 kontinu di semua bilangan riil.
Fungsi f2 merupakan fungsi rasional yang mempunyai domain {x∈R:x≠0} sehingga fungsi f2 kontinu di bilangan riil c≠0.
Kasus pada fungsi f3 adalah penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi trigonometri yang keduanya kontinu di setiap bilangan riil. Jadi fungsi f3 kontinu di semua bilangan riil.
Hampir sama dengan fungsi sebelumnya, fungsi f4 kontinu di setiap bilangan riil karena hasil perkalian fungsi yang sama-sama kontinu di setiap bilangan riil.
Selanjutnya pada fungsi f5, fungsi pembilang y=x2+1 kontinu di setiap bilangan riil, namun pada penyebut y=cosx≠0 atau terdefinisi di {x≠π2+nπ) dengan n∈Z. Jadi fungsi f5 kontinu di ⋯,(−3π2,−π2),(−π2,π2),(π2,3π2),⋯
Berdasarkan sifat nomor 4 dan nomor 7 maka fungsi f6 kontinu di setiap bilangan riil positif c>0
Sedangkan fungsi f7 kontinu di (−∞,0)∪(0,∞) karena fungsi y=1x kontinu di titik selain x=0 dan fungsi sinus kontinu di semua titik di domain sehingga fungsi y=sin1x kontinu di bilangan riil kecuali x=0. Sedangkan di x=0 limit fungsi tidak ada.
Terakhir pada fungsi f8, fungsi serupa dengan bagain kedua kecuali osilasi pada x=0. Berdasarkan teorema squeeze diperoleh−|x|≤xsin1x≤|x|, x≠0dan disimpulkan limx→0f8(x)=0. Jadi fungsi f8 kontinu di semua bilangan riil. ◼
Jangan Lewatkan : Kenapa Sih Belajar Kalkulus
Teorema Nilai Rata-rata
Pada fungsi kontinu di interval tertutup, perilaku fungi tersebut menarik untuk dilihat.Salah satunya adalah eksistensi dari pembuat nol fungsi yang kontinu pada interval tertutup. Lebih jelasnya teorema berikut menyebutkan hal tersebut
TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika f kontinu pad interval tertutup [a,b] dengan f(a)≠f(b) dan k sebarang nilai diantara f(a) dan f(b) maka terdapat paling tidak satu bilangan c∈[a,b] sedemikian sehinggaf(c)=k
Jika f kontinu pad interval tertutup [a,b] dengan f(a)≠f(b) dan k sebarang nilai diantara f(a) dan f(b) maka terdapat paling tidak satu bilangan c∈[a,b] sedemikian sehinggaf(c)=k
Teorema nilai rata-rata di atas mengatakan pada kita bahwa adanya jaminan bilangan c yang ada dengan sifat seperti di atas.
Namun sayangnya tidak disebutkan bagaimana mencari nilai c tersebut. Pada bahasan lain akan dijelaskan tentang hal ini.
Sala satu aplikasi dari teorema nilai rata-rata adalah menemukan akar-akar dari fungsi yang kontinu di interval tutup.
Secara khusus, jika f kontinu di [a,b] dan f(a)f(b)<0 , teorema nilai rata-rata menjamin fmempunyai akar di interval [a,b].
Contoh Soal 6
Jelaskan aplikasi teorema nilai rata-rata yang menjamin akar dari fungsi f(x)=x3+2x−1 mempunyai akar di interval [0,1]
Pembahasan Contoh Soal 6
Anda sudah mengerti bahwa fungsi polinomial f kontinu di [0,1]. Karena f(0)=−1 dan f(1)=2yang menunjukkan bahwa f(0)f(1)<0. Jadi berdasarkan teorema nilai rata-rata untuk suatu bilangan k=0 diantara f(0)=−1 dan f(1)=2 terdapat c sedemikian sehinggaf(c)=0seperti pada gambar di bawah.
−−★★ Mari Bermatematika dengan Ceria ★★−−
Bagikan
Fungsi Kontinu | Kalkulus
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
3 comments
Tulis commentsSaya mau bertanya contoh soal nomor 4: kenapa fungsi tidak kontinu di x=1, menurut saya fungsi tersebut kontinu di x=1 tetapi tidak kontinu di x=0, mohon pencerahanya jika saya salah memahaminya. terima kasih
Replycontoh soal nomor 4 mohon diperjelas apakah salah ketik atau saya yg kurang paham, menurut saya fungsi kontinu di x=1 tetapi tidak kontinu di x=0. Terima kasih
ReplyTerima kasih koreksinya. Memang salah ketik. Sudah saya koreksi.
ReplyHai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.