Barisan dan Deret Bilangan

Hai sobat matematika

Bilangan merupakan salah satu objek matematika yang paling utama. Matematika sering melibatkan bilangan dalam setiap kajiannya. Salah satunya barisan bilangan.

Barisan bilangan merupakan suatu barisan bilangan yang memiliki pola tertentu dan kaitan yang khas diantara setiap suku-sukunya.

Anda sering menemui suatu pola di kehidupan nyata yang sering berulang kan? Masih ingat?

Saya sebutkan diantaranya ya!

Andi menabung setiap harinya bertambah Rp. 2000 maka barisan bilangan yang dibentuk Andi adalah

$\left(2000, 4000, 6000, 8000, \cdots \right)$

Pada suatu perusahaan, kenaikan gaji pegawainya tetap yaitu 10\%, maka barisan gaji yang bisa dibentuk

$\left( 3jt, 3.3jt, 3.63jt, \cdots\right)$

Jika barisan tersebut dijumlahkan setiap sukunya maka dinamakan dengan deret.

Diketahui barisan uang tabungan Andi tadi

$\left(2000, 4000, 6000, 8000, \cdots \right)$ , maka bentuk

$\left(2000 + 4000 + 6000 + 8000 + \cdots \right)$ merupakan deret dari barisan tersebut.

Anda bisa menghitung jumlah uang Andi pada hari tertentu dengan deret ini.

Materi berikut akan mengupas seputar barisan dan deret bilangan.

NOTASI SIGMA

Penjumlahan setiap suku pada barisan bilangan dinamakan dengan deret bilangan. Salah satu notasi untuk menyatakan deret bilangan adalah notasi sigma

$\sum$ Notasi sigma berasal dari huruf yunani kuno yang berarti sum atau penjumlahan.

Secara umum, notasi sigma di dalam matematika didefinisikan dengan

$\sum_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \cdots a_{n}$ dibaca penjumlahan suku

$a_{i}$ untuk

$k = 1$ sampai

$k = n$ .

$k$ adalah indeks penjumlahan

$1$ adalah batas bawah penjumlahan

$n$ adalah batas atas penjumlahan

$\{ 1, 2, \cdots , n \}$ adalah wilayah penjumlahan

Sifat-sifat yang dimiliki oleh notasi sigma adalah sebagai berikut

#1.

$\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \cdots a_{n}$

#2.

$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}$

#3.

$\sum\limits_{k=1}^{n} C = nC$ , dengan

$C$ adalah konstanta

#4.

$\sum\limits_{k=1}^{n} Ca_{k} = C \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k}$ , dengan

$C$ adalah konstanta

#5.

$\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} + b_{k}\right) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k}$

#6.

$\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} - b_{k}\right) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} - \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k}$

#7.

$\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} + b_{k}\right)^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} a^{2}_{k} + 2\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b^{2}_{k}$

#8.

$\sum\limits_{k=1}^{n} \left(a_{k} - b_{k}\right)^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} a^{2}_{k} - 2\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} + \sum\limits_{k=1}^{n} b^{2}_{k}$

#9.

$\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_{i} + \sum\limits_{k=m+1}^{n} a_{k}$ dengan

$m < n$

#10.

$\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_{k+1} = \sum\limits_{k=2}^{n+1} a_{k-1}$

#11.

$\sum\limits_{i = k }^{k} a_{i} = a_{k}$ dengan

$k = 1, 2, 3, \cdots , n$

Untuk lebih memahami konsep tentang notasi sigma, perhatikan beberapa contoh soal berikut

Contoh Soal 1

$1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11}$ dapat ditulskan dengan

$\cdots$

A.

$\sum\limits_{i = 1}^{5} \frac{2}{2i + 1}$
B.

$\sum\limits_{i = 1}^{6} \frac{2}{2i - 1}$
C.

$\sum\limits_{i = 1}^{6} \frac{2}{2i + 1}$
D.

$\sum\limits_{i = 1}^{6} \frac{1}{2i + 1}$
E.

$\sum\limits_{i = 1}^{5} \frac{i+1}{2i - 1}$

Pembahasan Contoh Soal 1
Pertama diketahui

$1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11} \Leftrightarrow \frac{1}{1} + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11}$

Langkah berikutnya adalah menentukan setiap suku-sukunya

$\begin{array}{rl} u_{1} &=\frac{1}{1} = \frac{(1)}{2(1) - 1} \\ u_{2} &=\frac{2}{3} = \frac{(2)}{2(2) - 1} \\ u_{3} &=\frac{3}{5} = \frac{(3)}{2(3) - 1} \\ u_{6} &=\frac{6}{11} = \frac{(6)}{2(6) - 1} \\ u_{i} &=\frac{(i)}{2(i) - 1} \end{array}$
Jadi diperoleh bentuk umum dari setiap sukunya yaitu

$u_{i} =\frac{(i)}{2(i) - 1}$ dengan batas bawah 1 dan batas atasnya 6.

Oleh karena itu

$1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \cdots + \frac{6}{11} = \sum\limits_{i = 1}^{6} \frac{2}{2i - 1}$

Baca Juga : Aturan pangkat dan bentuk akar

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (DERET HITUNG)

Suatu barisan bilangan

$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots , U_{n}$ dikatakan dengan barisan aritmetika jika dan hanya jika selisih antara dua suku yang berututan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda, dinotasikan dengan

$b$ dengan

$\boldsymbol{b = u_{n} - u_{n-1}}$
Bentuk umum barisan Aritmetika adalah

$a, a+b, a+2b, \cdots ,a+(n-1)b$ dengan

$a = U_{1}$ .

Sedangkan bentuk umum dari deret Aritmetika adalah

$a + \left(a+b\right) + \left(a+2b\right) + \cdots + \left(a+(n-1)b\right)$
Berdasarkan definisi dan uraian singkat tersebut dapat disimpulkan bahwa

1. Suku ke-

$n$ dari barisan aritmetika dinyatakan dengan

$\boldsymbol{ U_{n} = a + (n-1)b}$
2. Jumlah

$n$ suku pertama dari deret aritmetika dinyatakan dengan

$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{n}{2} \left( a + (n-1) b\right) } \\ \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{n}{2} \left( 2a + U_{n} \right) } \\ \boldsymbol{U_{n}} &=& \boldsymbol{S_{n} - S_{n-1}} \end{eqnarray*}$ 3. Jika

$n$ ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika

$U _{t}$ dinyatakan dengan

$U_{t}=\frac{a+Un}{2}$ 4. Jika terdapat

$k$ suku baru disisipkan ke dalam barisan maka diperoleh hubungan berikut
Beda baru

$( b' )$

$b'=\frac{b}{k+1}$
Banyaknya suku baru

$(n')$

$n'=n+(n-1)k$
Jumlah

$n$ suku pertama sesudah disisipi

$S'_{n}$

$S'_{n}=\frac{n'}{2}(a+U_{n})$

Contoh Soal 2 UMPTN 2000
Suku ke-6 sebuah barisan aritmetika adalah 24000 dan suku ke-10 adalah 18000. Supaya suku ke-

$n$ sama dengan 0, maka nilai

$n$ adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 2
Diketahi suku ke-6 dan suku ke-10 sehingga

$\begin{array}{rl} U_{6}&= a + 5b = 24.000 \\ U_{10}&= a + 9b = 18.000 \\ & ~~~~~-4 b = 6.000\\ &~~~~~~~b = - 1.500 \end{array}$
Karena

$b = -1.500$ maka

$\begin{array}{rl} a+5b&=24.000 \\ a+5(-1.500) &=24.000\\ a&= 31.500 \end{array}$
Berikutnya, diharapkan suku ke-

$n$ sama dengan 0, yaitu

$U_{n} = 0$

$\begin{array}{rl} U_{n}&= a + (n-1)b \\ 0 &= 31.500 + (n-1)(-1.500)\\ n&= 22 \end{array}$
Oleh karena itu agar

$U_{n}=0$ maka nilai

$\boldsymbol {n = 22}$

Contoh Soal 3
Jumlah

$n$ buah suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan oleh

$S_{n} = \frac{n}{2} (5n - 19)$ . Beda deret tersebut adalah...

Pembahasan Contoh Soal 3
Diketahui rumusan jumlah n suku pertama

$S_{n}$ . Langkah pertama dalah mencari suku pertama,

$S_{1} = a$

$\begin{array}{rl} S_{n} &= \frac{n}{2} (5n - 19) \\ S_{1} &= \frac{(1)}{2} (5(1) - 19) = \frac{1}{2} (-14) = -7\\ a & = -7 \end{array}$

Jadi

$U_{1}=a=-7$ . Selanjutnya mencari jumlah 2 suku pertama

$\begin{array}{rl} S_{2} &= \frac{(2)}{2} (5 (2) - 19) = -9 \\ U_{2} &= S_{2} - S_{1} = -9 - (-7) = -2 \\ U_{2}&= a + b \\ -2 &= -7 + b \\ b&= 5 \end{array}$
Oleh karena itu beda barisan tersebut adalah

$\boldsymbol{b = 5}$

Jangan Lewatkan : Pembahasan Soal Turunan

BARISAN DAN DERET GEOMETRI (DERET UKUR)

Suatu barisan bilangan

$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots , U_{n}$ dikatakan dengan barisan geometri jika dan hanya jika perbandingan (rasio) antara dua suku yang berututan selalu tetap. Perbandingan antar dua suku tersebut dinamakan pembanding atau rasio, dinotasikan dengan

$r$ dengan

$\boldsymbol{r = \frac{U_{n}}{U_{n-1}}}$
Bentuk umum barisan Geometri dengan suku pertama

$a$ dan rasio

$r$ adalah

$a, ar, ar^{2}, \cdots ,ar^{n-1}$ dengan

$a = U_{1}$ .
Sedangkan bentuk umum dari deret geometri adalah

$a + \left(ar\right) + \left(ar^{2}\right) + \cdots + \left(ar^{n-1}\right)$
Beberapa sifat-sifat pada barisan atau deret geometri adalah sebagai berikut

1. Suku ke-

$n$ dari barisan geometri dinyatakan dengan

$\boldsymbol{ U_{n} = a r^{n-1}}$
2. Jumlah

$n$ suku pertama dari deret aritmetika dinyatakan dengan

$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(r^{n} - 1\right)}{r - 1} } \text{ untuk } r>1 \\ \boldsymbol{ S_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(1 - r^{n}\right)}{1 - r} } \text{ untuk } r<1 \\ \boldsymbol{U_{n}} &=& \boldsymbol{S_{n} - S_{n-1}} \end{eqnarray*}$
3. Jika

$n$ ganjil, maka suku tengah barisan geometri

$U _{t}$ dinyatakan dengan

$U_{t}= \sqrt{ a\cdot Un}$
4. Jika terdapat

$k$ suku baru disisipkan ke dalam barisan maka diperoleh hubungan berikut
Rasio baru

$( r' )$

$r' = \sqrt[k+1]{r}$
Banyaknya suku baru

$(n')$

$n'=n+(n-1)k$
Jumlah

$n$ suku pertama sesudah disisipi

$S'_{n}$

$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{ S'_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(r'^{n'} - 1\right)}{r' - 1} } \text{ untuk } r'>1 \\ \boldsymbol{ S'_{n}} &=& \boldsymbol{\frac{a\left(1 - r'^{n'}\right)}{1 - r'} } \text{ untuk } r'<1 \end{eqnarray*}$

Contoh Soal 4
Jika

$k+1, k-1, k-5$ membentuk barisan geometri, maka nilai

$k$ adalah ...

Pembahasan Contoh Soal 4
Karena barisan

$k+1, k-1, k-5$ merupakan barisan geometri maka

$\begin{array}{rl} r &=\frac{k-1}{k+1}=\frac{k-5}{k-1} \\ (k-1)(k-1) &=(k-5)(k+1)\\ k^{2} -2k + 1 &= k^{2} -4k -5 \\ -2k + 4k &= -5 -1 \\ k &= -3 \end{array}$ Oleh karena itu nilai

$\boldsymbol{k = -3}$

Contoh Soal 5
Suku ke-5 dan suku ke-8 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan 384. Suku keempat barisan tersebut adalah...

Pembahasan Contoh Soal 5

$\begin{array}{rl} U_{5} &= ar^{4}=48 \\ U_{8} &= ar^{7}=384 \\ \frac{U_{8}}{U_{5}} &= \frac{ar^{7}}{ar^{4}}=\frac{384}{48}\\ r^{3}&=8\\ r&=2 \\ r&=\frac{U_{5}}{U_{4}}\\ U_{4}&=\frac{U_{5}}{r}=\frac{48}{2}\\ &= 24 \end{array}$
Jadi suku keempat barisan tersebut adalah

$\boldsymbol{U_{4} = 24}$

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Jika suatu deret batas atasnya

$n \rightarrow \infty$ , maka deret tersebut dikatakan deret tak hingga

$\sum_{i=1}^{\infty}U_{i}$ Jika

$U_{i}$ adalah suku pada barisan geometri, maka deret tak hingga tersebut dinamakan deret geometri hingga.

#1. Deret geometri tak hingga mempunyai nilai (konvergen) jika

$-1 < r < 1$ dengan jumlah

$\boldsymbol{S_{\infty} = \frac{a}{1-r}}$
#2. Deret geometri tak hingga tidak mempunyai jumlah (divergen) jika

$r \leq -1$ atau

$r \geq 1$ .

Contoh Soal 6
Diketahui deret

$1 + \log \cos x + \log^{2}\cos x + \log^{3}\cos x + \cdots$ . Jika jumlah deret tersebut adalah

$S$ , maka nilai

$S$ terletak di interval nilai ...

Pembahasan Contoh Soal 6
Deret

$1 + \log \cos x + \log^{2}\cos x + \log^{3}\cos x + \cdots$ merupakan deret geometri tak hingga dengan rasio

$r=\log \cos x$ .

Syarat numerus logaritma

$\log \cos x$ adalah

$0 < \cos x < 1$ sehingga

$- \infty < \log \cos x < 0$ .

Jumlah tak hingga deret geometri dinyatakan dengan

$\begin{array}{rl} S_{\infty} &= \frac{a}{1 - r} \\ S &= \frac{1}{1 - \log \cos x} \\ \log \cos x & = 1 - \frac{1}{S} \end{array}$
Syarat suatu deret geometri tak hingga mempunyai nilai

$-1 < r < 1$ sehingga

$\begin{array}{rl} -1 &< \log \cos x < 1 \\ -1 &< 1 - \frac{1}{S} < 0 \\ -2 &<\frac{1}{S}<-1\\ 2&>\frac{1}{S}>1 \\ \frac{1}{2}&<S<1 \end{array}$
Jadi nilai

$S$ terletak di