Deret tak Hingga yang Konvergen: Bagian 1

kalkulus universitas

Deret tak Hingga yang Konvergen: Bagian 1

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 18, 2019 Komentar

Hai sobat matematika

Sudah tahu belum apa deret tak hingga itu? Kalau belum coba baca dulu di sini.

Deret tak hingga disebut mempunyai jumlahan jika deret tak hingga tersebut konvergen. Kekonvergenan deret tak hingga menuntut kita untuk mencari kekonvergenan dari barisan jumlahan parsialnya.

Ini tidak mudah bro! Perlu senjata tambahan untuk memudahkan Anda dalam menunjukkan suatuu deret tak hingga konvergen atau tidak.

Artikel ini akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan deret tak hingga yang konvergen.

Jadi mari kita nikmati hidangan berikut.hehehe

Deret Tak Hingga Berbeda \(m\) Suku Pertama

Perhatikan dua deret tak hingga berikut\[\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots\end{eqnarray}\]

Dua deret di atas berbeda hanya pada suku ke-2, yaitu deret pertama selisih satu dengan deret kedua.

Jangan Lewatkan : Apa itu Vektor?

Jika terdapat dua deret tak hingga yang berbeda hanya dari \(m\) suku pertama akan mempunyai kekonvergenan yang sama.

TEOREMA 1

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ dua deret tak hingga yang berbeda hanya pada suku $ m $ pertama, yaitu $ a_{k}=b_{k} $ jika $ k>m $ maka kedua deret konvergen atau kedua deret divergen.

Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa jika suku-suku pada suatu deret tak hingga dikurangi atau ditambah sebanyak berhingga maka hal itu tidak mengurangi kekonvergenan deret tak hingga tersebut.

Pada ilustrasi di atas deret\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}\quad \text{ dan }\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\] hanya berbeda satu suku saja dan karena deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) merupakan deret-\(p\) yang konvergen sehingga deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}\) juga konvergen.

Mari kita lihat contoh lain di bawah ini

Contoh Soal 1
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4} $ divergen karena\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] dan deret harmonik\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] yang berbeda hanya suku empat pertama sehingga deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}$ divergen.

Perkalian Deret Tak Hingga dengan Konstanta

Pada kasus penjumlahan dan pengurangan suku-suku suatu deret tak mempengaruhi kekonvergenan deret tak hingga. Lalu muncul pertanyaan

Bagaimana jika masing-masing suku dari suatu deret tak hingga dikalikan dengan suatu kosntanta tetap? Apakah masih tetap sama status kekonvergenan?

Teorema berikut menjelaskan tentang hal itu

TEOREMA 2

Misalkan $ c $ adalah konstanta tak nol

i. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S $ maka deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ konvergen dengan jumlahan $ c\cdot S $.

ii. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ divergen maka deret  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ divergen.

Ternyata perkalian suku demi suku dengan suatu kosntanta dari deret tak hingga, kekonvergenan dan divergenan tidak berubah.

Contoh Soal 2
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} $ divergen karena $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ yang divergen berdasarkan teorema 2 dengan $ c=\frac{1}{4} $.

Baca Juga : Apa itu limit ?

Penjumlahan dan Pengurangan Deret Tak Hingga

Pengurangan dan penjumlahan suku suatu deret tak hingga sudah, perkalian suku demi suku deret tak hingga juga sudah diberikan kekonvergenannya.

Sekarang akan kita lihat bagaimana kekonvergenan dari dua deret yang dijumlahkan dan dua deret yang dikurangkan setiap suku-suku yang bersesuaian.

TEOREMA 3

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ merupakan deret tak hingga yang konvergen berturut-turut di $ R $ dan $ S $ maka

i. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S +R $

ii. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}-b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S-R $ 

Teorema 4 ini merupakan akibat dari teorema 3 di atas

TEOREMA 4

Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konvergen dan konvergen  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ divergen maka $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ divergen.

Contoh Soal 3
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}+\frac{1}{4^{n}}\right) $ merupakan deret divergen karena  $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}\right) $ merupakan deret divergen.

Catatan : Jika kedua deret tak hingga \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\) dan \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\) merupakan deret yang divergen maka deret \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})\) bisa jadi konvergen atau bisa jadi divergen.

Contoh 4
Misalkan \(a_{n}=\frac{1}{n}\),  \(b_{n} = \frac{1}{n}\) dan \(c_{n}=-\frac{1}{n}\). Akibatnya deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\] yang merupakan deret divergen karena hasil dari perkalian dua dari deret harmonik (teorema 2 bagian i).
Sedangkan deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+c_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}0\]merupakan deret yang konvergen.

Baca selengkapnya

Deret Tak Hingga; Definisi, Contoh dan Kekonvergenan (2019)

kalkulus universitas

Deret Tak Hingga; Definisi, Contoh dan Kekonvergenan (2019)

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 03, 2019 Komentar

Hai sobat matematika...

Anda mungkin sudah mengetahui sekilas bentuk deret di sekolah menengah, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.

Suatu deret bilangan di dalam matematika memegang peranan penting. Beberapa perhitungan di matematika terapan menggunakan deret sebagai teknik untuk menghampiri suatu fungsi. Bahkan di beberapa area di luar matematika juga menggunakan deret seperti di bidang fisika, ilmu komputer, statistik dan keuangan.

Kali ini kita akan melihat apa sih deret bilangan itu? atau formalnya dinamakan deret tak hingga suatu bilangan.

Jika berbicara deret tak hingga maka tidak akan lepas dari tiga unsur di dalamnya definisi deret tak hingga, apa saja bentuk deret tak hingga dan bagaimana kekonvergenan dari suatu deret tak hingga.

Tanpa panjang kali lebar, alas kali tinggi mari kita come on masuk pada bahasan deret tak hingga.

Barisan

Loh loh katanya bahas deret tak hingga kenapa ini malah ke barisan dulu? Ada apa gerangan?

Tenang Guys!!!

Deret tak hingga nantinya didefinisikan dari suatu barisan. So check it out !

DEFINISI BARISAN

Barisan adalah suatu fungsi yang mempunyai domain bilangan bulat positif dan daerah hasil bilangan riil.\[\boldsymbol{u_{n}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}}\]

Berdasarkan definisi di atas, barisan merupakan suatu fungsi. Jadi fungsi itu tidak melulu \(f(x)=x^{2}\) atau \(g(x)=2x+3\), keduanya bisa dirangkum menjadi suatu fungsi dari \(\mathbb{R}\) ke \(\mathbb{R}\) atau \[f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\]
Kembali ke barisan tadi.

Suatu barisan dinotasikan dengan \[\mathbb{(a_{n})}\]Tanda kurung lengkung untuk membedakan dengan himpunan karena beberapa literatur menuliskan barisan dengan kurung kurawal \(\{a_{n}\}\).

Suku-suku suatu barisan tertentu akan menuju suatu nilai artinya suku-suku yang relatif besar nilanya menuju (dekat) dengan suatu nilai yang disebut titik limit. Barisan yang seperti ini disebut barisan yang konvergen.

Untuk alasan kepraktisan kita loncati dulu definisi formal barisan konvergen. Lain waktu kita bahas tentang hal ini.

Tapi tidak usah kuatir, kali ini Anda akan saya berikan beberapa kriteria apa saja yang memenuhi barisan konvergen itu.

Siaap!!!

Baca Juga : Barisan dan Deret Bilangan

TEOREMA BARISAN KONVERGEN

1. Barisan konstan \(\left(c\right)\) konvergen

2. Jika \(\left(a_{n}\right)\) barisan konvergen dan \(c\) adalah konstan maka \(\left(ca_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim ca_{n}=c \lim a_{n}\]

3. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\left(a_{n}\pm b_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim \left(a_{n}\pm b_{n}\right)= \lim a_{n}\pm \lim b_{n}\]

4. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\left(a_{n} b_{n}\right)\) juga barisan konvergen dan\[\lim a_{n}b_{n} =\left(\lim a_{n}\right) \left( \lim b_{n} \right)\]

5. Jika \(\left(a_{n}\right)\) dan \(\left(b_{n}\right)\)  barisan konvergen maka \(\frac{(a_{n})}{ (b_{n})}\) juga barisan konvergen dan\[\lim \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}} \]jika \(\lim b_{n} \neq 0\)

6. Barisan  \(\left(a_{n}\right)\) barisan konvergen jika dan hanya jika  \(\left(a_{n}\right)\) barisan monoton dan terbatas.

7. Jika barisan $ (a_{n}) $ naik dan $ D $ merupakan batas atas barisan $ (a_{n}) $ maka $ (a_{n}) $ konvergen dan \[ \lim a_{n} \leq D \]

8. Jika barisan $ (a_{n}) $ turun dan $ C $ merupakan batas bawah barisan $ (a_{n}) $ maka $ (a_{n}) $ konvergen dan \[ \lim a_{n} \geq C \]

Sesudah dikenalkan sekilas dengan teori barisan, sudah saatnya Anda beranjak ke bahasan awal kita yaitu tentang deret tak hingga.

Definisi Deret Tak Hingga

Di awal sudah saya sebut bahwa definisi deret tak hingga dibangun dari barisan. mari kita lihat definisi deret yang saya maksud

DEFINISI

Jika $ (u_{n}) $ adalah barisan dan \[ s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n} \]maka barisan $ (s_{n}) $ dikatakan deret tak hingga.

Ohh jadi yang dimaksud deret tak hingga adalah barisan dari jumlahan parsialnya, \((s_{n}) \).

Bilangan $ u_{1},u_{2},\cdots $ disebut suku-suku deret tak hingga

Deret tak hingga biasa dinotasikan dengan\[\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots\]

Bilangan\[ s_{k}=\sum_{i=1}^{k}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{k}\]disebut jumlahan parsial ke-k dari deret.

Hubungan jumlahan parsial dan suku pada deret tak hingga\[s_{n}=s_{n-1}+u_{n}\]

Contoh Soal 1
Diberikan deret tak hingga\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]Temukan empat suku pertama barisan jumlahan parsial \((s_{n}) \), tentukan formula \(s_{n} \) dalam variabel $n$!

Penyelesaian Contoh Soal 1
Berdasarkan informasi yang diberikan diperoleh\[
\begin{eqnarray*}
s_{1}&=&u_{1}=\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{1}{2}\\
s_{2}&=&s_{1}+u_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}\\
s_{3}&=&s_{2}+u_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3 \cdot 4}=\frac{3}{4}\\
s_{4}&=&s_{3}+u_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4 \cdot 5}=\frac{4}{5}
\end{eqnarray*}
\]Berikutnya akan kita lihat bentuk masing-masing suku deret yang diberikan dan dibuat pecahan parsialnya menjadi\[u_{k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]Oleh karena itu\[
\begin{eqnarray*}
u_{1}&=&1-\frac{1}{2}\\
u_{2}&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\
u_{3}&=&\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\\
&\vdots&\\
u_{n-1}&=&\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\\
u_{n}&=&\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}
\]Karena $s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots+u_{n}$sehingga
\[s_{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\]Dengan menghapus tanda kurung maka persamaan di atas diperoleh
\[s_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\]

Jadi pekerjaan untuk mencari barisan jumlahan parsial dari suatu deret tak hingga dalam variabel \(n\) memerlukan banyak energi.

Ga percaya dengan omongan saya??? Nanti lihat di latihan soal ya.hehe

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

Sesudah mendefinisikan deret tak hingga dan beberapa istilah dasar di dalamnya, kita akan beranjak di masalah kekonvergenan suatu deret tak hingga.

Kekonvergenan suatu deret tak hingga didefinisikan oleh kekonvergenan barisan jumlahan parsialnya.

Definisi berikut memberikan gambaran apa itu deret tak hingga yang konvergen.

DEFINISI DERET KONVERGEN

Misalkan deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ dan barisan jumlahan parsial $ (s_{n}) $ yang mendefinisikan deret tak hingga tersebut. Deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan $ (s_{n}) $ konvergen. Misalkan $ s_{n} \rightarrow S $ ketika $ n \rightarrow \infty $ maka deret tak hingga dikatakan mempunyai jumlahan $ S $. Jika $ (s_{n}) $ tidak konvergen maka deret dikatakan divergen.

Perhatikan lagi deret yang didefinisikan pada contoh soal 1, akan kita lihat kekonvergenan deret tak hingga tersebut pada contoh di bawah ini.

Contoh Soal 2
Diberikan deret tak hingga\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\]Selidiki apakah deret tak hingga tersebut konvergen!

Pembahasan Contoh Soal 1
Seperti pada pembahasan contoh soal 1 di atas, barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ adalah \[s_{n}=\frac{n}{n+1}\]Pekerjaan berikutnya adalah menyelidiki apakah barisan \((s_{n})\) di atas konvergen apa tidak (berdasarkan definisi deret tak hingga konvergen). Dapat dilihat bahwa\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} =1 \]Jadi berdasarkan definisi deret konvergen di atas, dapat disimpulkan bahwa deret tak hingga $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$  konvergen dan mempunyai jumlahan 1. Akibatnya deret tak hingga tersebut dapat ditulis\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots =\frac{1}{n(n+1)+\cdots}= 1\]

Baca juga ini ya : Cara mencari Limit Fungsi

Definsi di atas mewajibkan Anda untuk mengetahui barisan jumlahan parsial dari deret tak hingga \(\left(s_{n}\right)\). Hal ini terkadang menjadi kesulitan tersendiri bagi Anda.

Mencari pola suatu barisan dalam variabel \(n\) tidaklah mudah untuk beberapa barisan. Anda sudah melihat bagaimana proses mencari barisan  \(\left(s_{n}\right)\) dari deret tak hingga \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\) di atas.

Oleh karena itu diperlukan sifat atau teorema turunannya yang lebih mudah untuk mencari kekonvergenan dari deret tak hingga.

Seperti halnya pada bahasan barisan konvergen, deret tak hingga yang konvergen bisa diidentifikasi melalui beberapa sifat atau teorema diantaranya adalah

TEOREMA DERET TAK HINGGA KONVERGEN (1)

1. Jika deret tak hingga $ \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ maka $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n}=0 $

2. Jika $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_{n} \neq 0 $ maka deret tak hingga $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n} $ divergen.

3. Misalkan $ (s_{n}) $ merupakan deret jumlahan parsial dari deret tak hingga konvergen $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_{n} $. Maka untuk sebarang $ \varepsilon>0 $ terdapat bilangan $ N $ sedemikian sehingga untuk $ R>N $ dan $ T>N $ berlaku\[\left|s_{R}-s_{T}\right|< \varepsilon\]

Poin pertama tidak berlaku sebaliknya, artinya deret tak hingga yang suku-sukunya konvergen ke nol belum tentu deret tak hingga tersebut konvergen.

Ilustrasi pada contoh di bawah menerangkan hal tersebut.

Contoh Soal 3
Perhatikan deret harmonik berikut\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots\]Dapat ditunjukkan bahwa $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $ namun deret tak hingga $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ divergen.

Pembahasan Contoh Soal 3
Akan ditunjukkan deret harmonik divergen. Perhatikan barisan\[s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\]dan\[s_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}\]Jadi\[s_{2n}-s_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad(*)\]Jika $ n>1 $ maka\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad (**)\]Setiap ruas pada ketaksamaan (**) di atas mempunyai suku sebanyak $ n $ sehingga ruas kiri $ n(\frac{1}{2n})=\frac{1}{2} $. Jadi berdasarkan persamaan (*) dan (**) diperoleh

\[s_{2n}- s_{n} > \frac{1}{2} \qquad  n > 1 \]

Hal ini kontradiksi dengan teorema bagian 3; ambil $ \varepsilon = \frac{1}{2} $ maka untuk setiap $ N $ sedemikian sehingga untuk $ 2n>N $ dan $ n>N $ berlaku\[s_{2n}-s_{n}>\frac{1}{2}\]

Jadi deret harmonik $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}  $ divergen meskipun barisan $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0 $.

Berikutnya akan kita tinjau salah satu jenis deret tak hingga yang cukup populer, yaitu deret geometri. Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada contoh di bawah.

Contoh Soal 4
Deret geometri dengan bentuk\[\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n-1}+\cdots\]dengan barisan jumlahan parsial ke-\(n\) didefinisikan dengan\[s_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\qquad(r\neq 1)\]

Teorema 1 di atas mencari kekonvergenan deret tak hingga \(\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\) masih berkutat pada barisan jumlahan parsialnya yang terkadang sulit untuk mencari kekonvergenan barisan.

Harus diperlukan beberapa beberapa teorema lanjutan yang menjelaskan kekonvergenan deret tak hingga dari sudut lain.

Bahasan lanjutan dapat dibaca di artikel pada link berikut.

Kesimpulan

Deret tak hingga merupakan suatu barisan dari jumlahan parsialnya. Deret tak hingga akan dikatakan konvergen atau mempunyai jumlahan jika dan hanya jika jumlahan parsialnya konvergen.

Identifikasi kekonveergenan deret tak hingga lain selain definisi bisa dicari lewat selisih jumlahan parsialnya yang diwajibkan relatif kecil.

\(--\bigstar\bigstar\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\bigstar\bigstar--\)

Baca selengkapnya

Pendahuluan Vektor | Kalkulus Lanjut

kalkulus universitas

Pendahuluan Vektor | Kalkulus Lanjut

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 15, 2018 Komentar

Hai sobat Matematika...

Jika Anda ditanya apa itu vektor, maka jawablah Vektor merupakan objek geometri yang mempunyai besaran dan arah.

Pada kajian matematika, biasanya vektor muncul di kalkulus atau juga analisis vektor. Namun ada juga yang membahas di geometri.

Analisis vektor juga banyak digunakan aplikasinya pada dunia fisika. Diantaranya untuk membahas hukum elektromagnetik dan sebagainya.

Sebelum mengenalkan apa yang dinamakan vektor, mari berkenalan dulu dengan ruas garis berarah.

Ruas Garis Berarah

Ruas garis berarah dari suatu titik \(P\) ke titik \(Q\) dinotasikan dengan \( \boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }\).

Awalan dan akhiran pada ruas garis berarah tidak boleh dibolak balik ya. Nanti bikin bingung.hehe

Maksudnya rancu dari segi definisi mas bro mbak sis.😉

Titik \(P\) pada ruas garis berarah \( \overrightarrow{ PQ }\) dinamakan titik awal sedangkan titik \(Q\) dinamakan titik ujung.

Anda sudah mengerti sampai disini? Saya yakin Anda mengerti.he

Jadi ruas garis berarah digambarkan pada bidang datar dengan anak panah dengan titik pangkal dan titik ujung.

Terus kalau dua ruas garis berarah dikatakan sama itu yang bagaimana? Berikut definisi yang Anda cari.

DEFINISI KESAMAAN
Ruas garis berarah \( \overrightarrow{ PQ } \). dikatakan sama dengan ruas garis berarah \(  \overrightarrow{ RS } \). jika dan hanya jika keduanya mempunyai arah dan panjang yang sama. Dinotasikan dengan\[\boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }.= \boldsymbol { \overrightarrow{ RS } }\]

Ruas garis berarah  ini nantinya akan menjadi representasi dari suatu vektor. Atau dengan kata lain suatu vektor bisa diwakilkan dengan ruas garis berarah.

Vektor di Bidang Datar

Vektor yang pertama yang sama-sama kita bahas adalah vektor pada bidang datar terleih dahulu.

Vektor di bidang dinyatakan oleh suatu pasangan bilangan riil \( \langle x, y \rangle \) sebagai ganti dari \( ( x , y)\) supaya tidak terjadi kebingungan penulisan antara titik dan vektor.

DEFINISI VEKTOR
Ruas garis berarah \( \boldsymbol { \overrightarrow{ PQ } }\).didefinisikan sebagai vektor dari \(P\) ke \(Q\). Suatu vektor dituliskan dengan huruf besar dan dituliskan dengan cetak tebal seperti\[ \boldsymbol { A } \]

Ada juga yang memakai simbol \(\boldsymbol{\overrightarrow{a}}\) sebagai penulisan suatu vektor. Tapi pada artikel ini kita menggunakan \( \boldsymbol{A} \) daripada \(\boldsymbol{\overrightarrow{a}}\).

Definisi formal vektor dalam bidang datar diberikan sebagai berikut

DEFINISI VEKTOR
Suatu vektor dalam bidang adalah pasangan berurutan dari bilangan riil \( \left\langle x,y\right \rangle\). Bilangan \( x \) dan \( y \) disebut komponen dari vektor \( \left\langle x,y\right\rangle \).

Misakan vektor \( \boldsymbol{A} \) adalah pasangan berurutan bilangan riil \( \left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) dan titik \(A= (a_{1},a_{2}) \). Maka vektor \( \boldsymbol{A} \) bisa direpresentasikan secara geometri dengan ruas garis berarah \( \overrightarrow{OA} \) yang disebut dengan vektor posisi dari vektor \( \boldsymbol{A} \).

Contoh Soal 1
Vektor \( \left\langle 2,3\right\rangle \) mempunyai vektor posisi yaitu garis berarah dari titik asal ke titik  \( (2,3) \). Sedangkan representasi dari vektor \( \left\langle 2,3\right\rangle \) dengan titik pangkal \( (h,k) \) mempunyai titik ujung \( (h+2,k+3) \).

Panjang Vektor
Seperti dikatakan di atas, bahwa vektor mempunyai besaran panjang yang dinyatakan dalam bilangan riil non negatif.

Baca Juga : Pentingnya Belajar Kalkulus

Panjang suatu vektor \( \boldsymbol{A} \) dinotasikan dengan\[ \left|\textbf{A}\right| \]

PANJANG VEKTOR

Jika \( \boldsymbol{A} \) adalah vektor \(\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka\[ \boldsymbol{\left|\textbf{A}\right| = \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}} \]

Contoh Soal 2
Jika vektor \(\boldsymbol{A}=\left\langle -3, 4\right\rangle \) maka\[|\boldsymbol{A}|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5\]
Arah Vektor
Selain mempunyai panjang, vektor juga mempunyai arah. Arah dari vektor tak nol diberikan dengan ukuran radian dari sudut \( \theta \) diukur dari sumbu \(x\) positif dan berlawanan arah jarum jam ke vektor posisi dari suatu vektor, dengan\[ 0 \leq \theta < 2\pi\] Jika \(\boldsymbol{A} =\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka \[ \tan \theta = \frac{a_{2}}{a_{1}}\] dengan \( a_{1} \neq 0 \)

Contoh Soal 3
Tentukan ukuran sudut yang diberikan dari masing-masing vektor berikut
1. \( \left\langle -1,1 \right\rangle\)
2. \( \left\langle 0,-5 \right\rangle \)
3. \( \left\langle 1,-2 \right\rangle \)

Pembahasan Contoh Soal 3
Berdasarkan definisi maka ukuran sudut dari vektor \( \left\langle -1,1 \right\rangle\)  adalah\begin{eqnarray*}
  \tan \theta &=& \frac{-1}{1} = -1 \\
  \theta &=& \frac{3}{4}\pi
\end{eqnarray*}

Sedangkan untuk vektor \( \left\langle 0,-5 \right\rangle \) mempunyai sudut dengan sumbu \(x\) sebesar \( \frac{3}{2} \pi\) karena berada di sumbu \(y\) negatif.

Vektor terakhir yaitu \( \left\langle 1,-2 \right\rangle \) mempunyai arah vektor\begin{eqnarray*}
  \tan \theta &=& \frac{-2}{1}  \\
  \theta &=& \arctan -2 + 2\pi
\end{eqnarray*}

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor \( \boldsymbol{{A} =\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle}\) dan  \( \boldsymbol{{B} = \left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle}\) adalah vektor \(\textbf{A+B}\) yang didefinisikan dengan\[ \textbf{A+B}= \boldsymbol{\left\langle a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\right\rangle}\]

Negatif Vektor
Jika vektor \(\textbf{A}=\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) maka vektor \(\textbf{B}=\left\langle -a_{1},-a_{2}\right\rangle\) didefinisikan sebagai negatif dari vektor \(\textbf{A}\) yang dinotasikan dengan \(\textbf{-A}\)

Selisih Vektor
Selisih dua vektor \(\textbf{A}=\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle\) dan \(\textbf{B}=\left\langle b_{1},b_{2}\right\rangle\) adalah vektor \(\textbf{A-B}\) yang didefinisikan dengan\[\textbf{A - B}=\textbf{A+(-B)}=\left\langle a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2}\right\rangle\]

Jangan Lewatkan : Fungsi Kontinu pada Kalkulus

Perkalian Skalar Vektor
Jika \( c \) adalah skalar dan \( \textbf{A} \) adalah vektor \( \left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle \) maka perkalian \( c \) dengan \(\textbf{A}\), dinotasikan dengan \( c\textbf{A} \), didefinisikan dengan\[c\textbf{A}= c\left\langle a_{1},a_{2}\right\rangle=\left\langle ca_{1},ca_{2}\right\rangle\]

Sifat-Sifat Operasi Vektor

to be continued

Baca selengkapnya

Teorema Roole dan Teorema Nilai Rata-Rata

kalkulus universitas

Teorema Roole dan Teorema Nilai Rata-Rata

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 14, 2018 Komentar

Hai sobat matematika

Anda tentu masih belum lupa kapan suatu fungsi mempunyai nilai ekstrim kan?

Suatu fungsi bisa saja mempunyai nilai ekstrim, nilai maksimum atau nilai minimum diantara dua tempat, yaitu di dalam interval tutup \( [a, b] \) atau di titik ujung-ujung interval tersebut yaitu titik \( x =a \)  atau titik \( x = b \).

Tepatnya pada teorema nilai ekstrim yang menyatakan fungsi yang kontinu di interval tertutup \( [a,b] \) pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum di interval. Dua nilai ekstrim tersebut bisa saja terjadi di titik ujung interval yaitu titik \( x = a \) atau \( x = b \).

Ada suatu kasus pada suatu fungsi tertentu dimana nilai ekstrim terletak di dalam interval tutup  \( [a,b]\).

Teorema Roole

Teorema Roole sedikit memberikan perbedaan jika dibandingkan dengan teorema nilai ekstrim. Eksistensi nilai ektrim dijamin berada di dalam interval buka \( (a,b )\) bukan di titik ujung interval tutup tersebut.

Mari kita lihat teorema Rolle

TEOREMA ROOLE
Misalkan fungsi \( f \) kontinu di interval tertutup \( [ a, b] \) dan dapat diturunkan pada interval buka \( ( a, b ) \). Jika \[f(a) = f(b)\]maka terdapat paling tidak satu bilangan \( \boldsymbol{c} \) di \(  (a,b) \) sedemikian sehingga\[ \boldsymbol{ f'(x) = 0 } \]

Teorema rolle di atas mensyaratkan fungsinya harus kontinu dan ada turunnya di interval buka dan nilai fungsi di titik ujung sama supaya menjamin ada nilai ekstrim di dalam interval buka.

Untuk memberikan ilustrasi dari teorema rolle, perhatikan contoh berikut

Contoh Soal 1 ILUSTRASI TEOREMA ROLLE
Temukan titik potong sumbu \(x\) dari fungsi \( f(x) = x^{2} - 3x + 2 \) dan tunjukkan bahwa \( f'(x) = 0 \) pada suatu titik diantara titik potong tersebut!

Pembahasan Contoh Soal 1
diketahui bahwa fungsi polinom \( f(x) \) dapat diturunkan di garis riil. Untuk mencari titik potong fungsi terhadap sumbu \( x\) dengan mensubtitusikan \( f(x) = 0 \) sehingga
\begin{eqnarray*}
   x^{2} - 3x + 2&=& 0 \\
  (x-1)(x-2) &=&
\end{eqnarray*}Jadi titik potong fungsi terhadap sumbu \( x\) adalah \( x = 1 \) dan \( x= 2\), atau \( f(1) = 0 \) dan \( f(2) = 0 \).

Berdasarkan teorema Rolle, terdapat bilangan \( c \) di \( (1,2)\) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \). Mencari nilai \( c\) dengan cara
\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& 2x-3 \\
 0  &=& 2x - 3 \\
 x &=& \frac{3}{2}
\end{eqnarray*}Oleh karena itu nilai \(c=\frac{3}{2} \in (1,2)\) sedemikian sehingga \(f'\left(\frac{3}{2}\right)=0\).

Teorema Rolle mengatakan eksistensi nilai \(c\) dengan kalimat paling tidak. Artinya tidak menutup kemungkinan terdapat nilai \( c\) lebih dari satu sedemikian sehingga  \( f'(c) = 0 \).

Contoh Soal 2
Diberikan fungsi \(f(x)=x^{4} - 2 x^{2} \). Cari nilai \( c \) di interval \( ( -2, 2) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \)!

Pembahasan Contoh Soal 2
Fungsi \( f(x) \) kontinu di interval \( [-2,2] \) dan dapat diturunkan di interval buka \( ( -2, 2) \) dan \( f(-2)= f(2) = 8 \). Jadi teorema Rolle bisa dipakai dan menjamin terdapat \( c \) di interval \( ( -2, 2) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=0 \).

Pertama mencari nilai turunan dari fungsi \( f(x) \) kemudian mensetting nilai \( f'(x)=0 \)
\begin{eqnarray*}
  f'(x) &=& 4x^{3} \\
  4x(x-1)(x+1) &=& 0 \\
  x=0,~x=1, &&x=-1
\end{eqnarray*}Jadi nilai \( c \) yang dimaksud adalah \( \{-1, 0, 1\}\).

Teorema Rolle bisa digunakan untuk membuktikan sebuah teorema yang terkenal yaitu teorema nilai rata-rata.

Baca Juga : Latihan Soal Turunan Fungsi

Teorema Nilai Rata-Rata

Salah satu teorema penting di analisis matematika adalah teorema nilai rata-rata. Teorema ini mempunyai banyak aplikasi.

Tidak hanya aplikasi dalam teori matematika sendiri, juga terdapat kegunaaan dalam matematika terapan.

Tapi Anda tidak perlu repot-repot kesana dulu. Pertama kali, Anda harus mengerti dahulu bunyi dari teorema ini.

TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika fungsi \( f \) kontinu di interval tertutup \( [ a, b] \) dan dapat diturunkan di interval buka \( (a,b) \), maka terdapat bilangan \( c\) di \( ( a, b) \) sedemikian sehingga\[ \boldsymbol{ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{ b - a} }\]

Secara geometri, teorema nilai rata-rata di atas menunjukkan jaminan eksistensi garis singgung kurva yang sejajar dengan garis potong kurva yang melalui titik \( (a, f(a)) \) dan \( (b, f(b)) \).

Perhatikan contoh berikut untuk memahami penerapan teorema nilai rata-rata.

Contoh Soal 3
Diberikan fungsi \( f(x) = 5 - \left( \frac{4}{x} \right)\). Temukan semua nilai \( c \) di dalam interval buka \( (1,4 ) \) sedemikian sehingga \[f'(c)=\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}\]
Pembahasan Contoh Soal 3
Gradien garis potong kurva yang melalui dua titik \( (1, f(1)) \) dan \( (4, f(4)) \) yaitu\[m_{g_{1}}=\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1}=1\]Karena \(f\) kontinu di interval  \( [1,4 ] \) dan dapat diturunkan pada interval \( (1,4 ) \), maka berdasarkan teorema nilai rata-rata menjamin terdapat nilai \( c\) di \( (1,4 ) \) sedemikian sehingga \( f'(c)=1 \). Jadi
\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& \frac{4}{x^{2}} \\
 1  &=&  \frac{4}{x^{2}}\\
 x &=& \pm 2
\end{eqnarray*}Oleh karena itu didapatkan \( c = 2 \) di \( (1,4 ) \) seperti yang diinginkan. (Lihat gambar di bawah)

Jangan lewatkan : Apa sih fungsi kontinu itu?

Agar lebih memantapkan pengetahuan Anda tentang teorema rolle dan teorema nilai rata-rata, kerjakan latihan berikut

LATIHAN 1

Jelaskan kenapa fungsi-fungsi berikut tidak bisa mengunakan teorema Rolle meskipun terdapat \( a \) dan \( b \) sedemikian sehingga \( f(a) = f(b) \)
1. \( f(x) =  \left|\frac{1}{x}\right|\), \( [-1, 1]\)
2. \( f(x) = \cot \frac{x}{2} \), \( [\pi, 3\pi]\)
3. \( f(x) = 1 - \left| x - 1\right| \), \( [0, 2]\)

Temukan titik potong terhadap sumbu \( x \) dan tunjukkan bahwa terdapat \( x \) dua titik potong tersebut sedemikian sehingga \( f'(x)=0 \)
4. \( f(x) = x^{2} - x - 2 \)
5. \( f(x) = x (x-3) \)
6. \( f(x) = x \sqrt{ x + 4 } \)

Temukan nilai \( c \) sedemikian sehingga \( f'(c) = 0 \) dengan menggunakan teorema rolle pada grafik berikut
7.

8.

Jelaskan kenapa teorema nilai rata-rata tidak bisa dipakai pada fungsi \( f \) di interval \( [0,6] \)
9.

10.

11. \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
12. \( f(x) = |x-3| \)

15. Perhatikan grafik dari fungsi \( f(x) = -x^{2}+5 \) berikut

a) Cari persamaan garis potong yang melalui titik \( (-1,4) \) dan \( (2,1) \)

b) Tentukan nilai \( c \) di interval \( (-1, 2) \) dengan menggunakan teorema nilai rata-rata sedemikian sehingga garis singgung di titik \( c \) sejajar dengan garis potong pada poin a).

c) Cari persamaan garis singgung melalui titik \( c \) tersebut

\( - - \star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\star\star - -\)

Baca selengkapnya

Fungsi Kontinu | Kalkulus

kalkulus universitas

Fungsi Kontinu | Kalkulus

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 03, 2018 3 Komentar

Credit to pixaby

Pernahkah Anda mendengar kata kontinu?

Saya yakin Anda pasti pernah mendengarnya. Entah di pengajian di berita ataupun ditempat lain mendengar kata kontinu.

Pada waktu pengajian, sang ustdaz berkata

"Jadi sebagai hamba yang taat, kita harus kontinu dalam beribadah".

Pembawa berita di TV melaporkan bahwa pertumbuhan penduduk terus berkembang secara kontinu.

Kalau fungsi yang kontinu Anda akan mendengar ketika sudah menginjak di perguruan tinggi.

Berdasarkan kamus besar bahasa Indonesia (KBBI), arti kata kontinu adalah berkesinambungan; berkelanjutan; dan terus menerus.

Lalu apa hubungannya dengan fungsi?

Mari kita pelajari fungsi yang bagaimana dikatakan fungsi kontinu.

Fungsi Tidak Kontinu

Sebenarnya untuk melihat fungsi itu kontinu atau tidak cara melihatnya yang paling mudah dengan melihat grafik fungsi tersebut.

Saya ingatkan lagi, coba Anda lihat arti harfiah dari kontinu di KBBI seperti yang saya singgung di atas.

Jadi (secara informal) fungsi \(f\) dikatakan kontinu di \(c\) jika tidak ada gangguan di grafik fungsi \(f\) di titik \(x=c\).

Gangguan yang dimaksud adalah gangguan dalam menggambar fungsi \(f\) ya.

Hal ini berarti grafik dari fungsi \(f\) yang kontinu tidak patah di \(c\), tidak ada lubang, lompatan, dan jarak.

Ilustrasi grafik berikut menjelaskan apa yang saya maksud dengan gangguan tersebut

Ketiga fungsi di atas menunjukkan fungsi yang tidak termasuk kategori fungsi kontinu.

Oleh karena itu, fungsi \(f\) dikatakan tidak kontinu (disebut juga diskontinu) di suatu titik \(c\) jika memenuhi salah satu dari tiga keaadaan berikut

(1) Nilai fungsi \(f\) tidak terdefinisi di titik \(c\); atau \(f(c)\) tidak ada
(2) Limit fungsi ketika nilai \(x\) mendekati \(c\) tidak ada; \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) tidak ada.
(3) Nilai dari fungsi tidak sama dengan limit fungsi di titik \(c\); \(f(c) \neq \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\).

Baca Juga : Fungsi Logaritma dan Sifat-sifatnya

Perhatikan contoh soal fungsi yang diskontinu berikut untuk lebih jelasnya.

Contoh Soal 1 Diskontinu Sebab tak Terdefinisi
Jelaskan kenapa fungsi berikut diskontinu di \(x=1\)\[f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\]
Pembahasan Contoh Soal 1
Jika diperhatikan fungsi \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\) mempunyai domain \(D_{f}=\{x \in \mathbb{R}: x \neq 1\}\).

Jadi fungsi \(f\) didefinisikan di semua bilangan riil kecuali \(x=1\) sehingga nilai \(f(1)\) tidak ada.

Berdasarkan syarat fungsi diskontinu, fungsi \(f(x)=\frac{x^{2}+1}{x-1}\) diskontinu pada titik \(x=1\).  \(\blacksquare\)

Contoh Soal 2 Diskontinu Sebab Limit Tak Ada
Diberikan fungsi \[g(x)=\left\{\begin{array}{cc}
                                 x+1, & x \leq 4 \\
                                 x^{2} & x>4
                               \end{array}
\right.\]Tunjukkan bahwa fungsi \(g\) tidak kontinu di titik \(x=4\) !

Pembahasan Contoh Soal 2
Jika dilihat fungsi \(g\) tersebut di titik \(x=4\), maka Anda bisa tahu bahwa fungsi tersebut mempunyai nilai di titik \(x=4\).

Pada titik \(x=4\) nilai fungsi \(g\) adalah 5. Dengan kata lain \(g(4)=x+1=5\).

Akan tetapi, ketika \(x\) mendekati dari kiri maka \[\lim\limits_{x\rightarrow 4^{-}}g(x)=5\].

Sedangkan ketika mendekati nilai \(x\) dari kanan nilai \[\lim\limits_{x\rightarrow 4^{+}}g(x)=16\].

Jadi pada titik \(x=4\) limit fungsi tidak ada karena mempunyai limit kiri dan limit kanan tidak sama.

Oleh karena itu, fungsi \(g\) diskotinu di titik \(x=4\). \(\blacksquare\)

Contoh Soal 3 Diskontinu Sebab Beda Limit dan Nilai
Tunjukkan diskontinu fungsi berikut\[h(x)=\left\{\begin{array}{cc}
                                                   x^{2} & x \leq 7 \\
                                                   10 & x=7 \\
                                                   x+42 & x \geq 7
                                                 \end{array}
\right.\]
Pembahasan Contoh Soal 3
Langsung saja Anda perhatikan pada titik \(x=7\) karena pada titik tersebut terbagi tiga kasus.

Pada fungsi \(h\) ketika \(x < 7\) dan \(x>7\) mempunyai limit yang sama yaitu \(\lim_{x\rightarrow 7} h(x)=49\).

Akan tetapi nilai dari fungsi \(h\) di titik \(x=7\) sama dengan \(h(7)=10\).

Jadi \(f(7) \neq \lim_{x\rightarrow 7} h(x)\). Oleh karena itu, fungsi \(h\) diskontinu di titik \(x=7\).\(\blacksquare\)

Sekarang Anda sudah mengerti tiga keaadaan yang menyebabkan sutu fungsi dikatakan diskontinu atau tidak kontinu di suatu titik.

Pendefinisian suatu fungsi kontinu secara intuitif tidaklah begitu mengejutkan bagi Anda.

Ya mudah untuk ditebak definisinya. Tinggal kebalikan dari definisi fungsi yang tidak kontinu.

FUNGSI KONTINU

Fugsi kontinu yang diberikan pada mata kuliah kalkulus melibatkan konsep limit di suatu titik.

Sebelumnya Anda diberikan pengetahuan tentang fungsi yang diskontinu di suatu titik, yang akan menjadi motivasi untuk mendefinisikan fungsi kontinu di titik.

Sekarang akan kita lihat definisi fungsi kontinu di suatu titik.

DEFINISI FUNGSI KONTINU
Suatu fungsi \(f\) dikatakan kontinu di titik \(c\) jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut

(1) $f(c)$ terdefinisi
(2) \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) ada
(3) \(\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)\)

Sedangkan fungsi \(f\) dikatakan kontinu di suatu interval buka \((a,b)\) jika dan hanya jika fungsi \(f\) kontinu di setiap titik di dalam interval tersebut.

Berdasarkan definisi di atas, dapat disimpulkan bahwa syarat fungsi kontinu bisa disingkat hanya pada poin terakhir saja yaitu\[\boldsymbol{\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=f(c)}\]Berikut contoh dan pembahasan kekontinuan fungsi yang bisa Anda pelajari untuk lebih bisa memahami konsep fungsi kontinu.

Contoh Soal 4
Selidiki apakah fungsi \(f(x)=\frac{1}{x}\) kontinu di \(x \neq 0\)?

Pembahasan Contoh Soal 4
Fungsi \(f\) terdefinisi di \(\{x \in \mathbb{R}: x\neq0 \}\) sehingga nilai \(f(c)\) ada di \(c \neq 0\), yaitu \(f(c)=\frac{1}{c}\).

Karena \(f\) adalah fungsi rasional, maka berdasarkan sifat pada limit fungsi diperoleh \(\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)\).

Oleh karena itu, fungsi \(f\) kontinu di \(x \neq 0\).\(\blacksquare\)

Fungsi di matematika banyak macamnya dan kekontinuan fungsi harus dilihat satu persatu. Namun kali ini Anda akan diberikan beberapa kekontinuan fungsi yang mungkin terdengar familiar dengan Anda.

Jangan Lewatkan : Terungkap Alasan Sumur Bentuknya Bulat

KEKONTINUAN FUNGSI TERKENAL

(1) Fungsi polinom (fungsi banyak) dengan bentuk\[p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots+a_{n}x^{n}\]kontinu di setiap bilangan riil \(c\).

(2) Fungsi rasional, dengan bentuk \[r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\]dengan \(p(x), q(x)\) adalah fungsi polinom kontinu di setiap bilangan riil \(c\) dalam daerah asalnya.

(3) Fungsi Trigonometri, \(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x\) kontinu di setiap bilangan \(c\) di domainnya.

(4) Fungsi Nilai Mutlak \(f(x)=|x|\) kontinu di setiap bilangan riil \(c\).

(5) Fungsi Akar, \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) kontinu di setiap bilangan riil \(c\) jika \(n\) ganjil dan kontinu di setiap bilanga riil positif \(c\) jika \(n\) genap.

(6) Jika fungsi \(f\) dan \(g\) kontinu maka fungsi \(kf, f+g, f-g\) dan \(f/g\) (asalkan \(g (c) \neq 0\)) juga kontinu di \(c\) dan \(f^{n}, \sqrt[n]{f}\) (asalkan \(f(c)\) >0 jika \(n\) genap) juga kontinu di \(c\).

(7) Jika \(g\) kontinu di \(c\) dan \(f\) kontinu di \(g(c)\) maka komposisi fungsi \(f \circ g (x) = f \left(g(x)\right)\) kontinu di \(x=c\).

Berikut saya memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu berkaitan dengan sifat-sifat kekontinuan fungsi terkenal.

Contoh Soal 5
Selidiki kekontinuan fungsi di bawah berikut
\(
\begin{array}{rl}
  1.~f_{1}(x)&=3x^{2}+4x^{2}-4 \\
  2.~f_{2}(x)&=\frac{1}{x} \\
  3.~f_{3}(x)&= x + \sin x \\
   4.~f_{4}(x)&= 3 \tan x \\
    5.~f_{5}(x)&=\frac{x^{2}+1}{\cos x} \\
     6.~f_{6}(x)&=\sqrt{x^{2}+1} \\
      7.~f_{7}(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
                                             \sin \frac{1}{x}, & x\neq 0 \\
                                             0, & x=0
                                           \end{array}\right.\\
   8.~f_{8}(x)&=\left\{\begin{array}{ll}
                                    x\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\
                                    0 & x=0
                                  \end{array}\right.
\end{array}
\)

Pembahasan Contoh Soal 5
Karena fungsi \(f_{1}\) adalah fungsi polinom maka fungsi \(f_{1}\) kontinu di semua bilangan riil.

Fungsi \( f_ {2} \) merupakan fungsi rasional yang mempunyai domain \( \{x \in \mathbb{R}: x \neq 0\} \) sehingga fungsi \( f_{2} \) kontinu di bilangan riil \( c \neq 0\).

Kasus pada fungsi \( f_{3} \) adalah penjumlahan fungsi polinom dengan fungsi trigonometri yang keduanya kontinu di setiap bilangan riil. Jadi fungsi \( f_{3} \) kontinu di semua bilangan riil.

Hampir sama dengan fungsi sebelumnya, fungsi \( f_{4} \) kontinu di setiap bilangan riil karena hasil perkalian fungsi yang sama-sama kontinu di setiap bilangan riil.

Selanjutnya pada fungsi \( f_{5} \), fungsi pembilang \( y= x^{2}+1\) kontinu di setiap bilangan riil, namun pada penyebut \(y= \cos x \neq 0\) atau terdefinisi di \( \left\{ x \neq \frac{\pi}{2}+n\pi \right)\) dengan \(n \in \mathbb{Z} \). Jadi fungsi \( f_{5} \) kontinu di \( \cdots,\left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right), \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right),\cdots\)

Berdasarkan sifat nomor 4 dan nomor 7 maka fungsi \( f_{6} \) kontinu di setiap bilangan riil positif \(c>0\)

Sedangkan fungsi \( f_{7} \) kontinu di \( (-\infty,0)\cup (0,\infty) \) karena fungsi \(y=\frac{1}{x}\) kontinu di titik selain \(x=0\) dan fungsi sinus kontinu di semua titik di domain sehingga fungsi \(y=\sin \frac{1}{x}\) kontinu di bilangan riil kecuali \(x=0\). Sedangkan di \(x=0\) limit fungsi tidak ada.

Terakhir pada fungsi \( f_{8} \), fungsi serupa dengan bagain kedua kecuali osilasi pada \(x=0\). Berdasarkan teorema squeeze diperoleh\[-|x| \leq x\sin \frac{1}{x} \leq |x|,~~~x\neq0\]dan disimpulkan \(\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{8}(x)=0\). Jadi fungsi \(f_{8}\) kontinu di semua bilangan riil. \(\blacksquare\)

Jangan Lewatkan : Kenapa Sih Belajar Kalkulus

Teorema Nilai Rata-rata

Pada fungsi kontinu di interval tertutup, perilaku fungi tersebut menarik untuk dilihat.

Salah satunya adalah eksistensi dari pembuat nol fungsi yang kontinu pada interval tertutup. Lebih jelasnya teorema berikut menyebutkan hal tersebut

TEOREMA NILAI RATA-RATA
Jika \(f\) kontinu pad interval tertutup \( [a,b] \) dengan \( f(a) \neq f(b) \) dan \(k\) sebarang nilai diantara \(f(a)\) dan \(f(b)\) maka terdapat paling tidak satu bilangan \(c \in [a,b]\) sedemikian sehingga\[f(c)=k\]

Teorema nilai rata-rata di atas mengatakan pada kita bahwa adanya jaminan bilangan \(c\) yang ada dengan sifat seperti di atas.

Namun sayangnya tidak disebutkan bagaimana mencari nilai \(c\) tersebut. Pada bahasan lain akan dijelaskan tentang hal ini.

Sala satu aplikasi dari teorema nilai rata-rata adalah menemukan akar-akar dari fungsi yang kontinu di interval tutup.

Secara khusus, jika \( f \) kontinu di \([a,b]\) dan \(f(a) f(b) < 0 \) , teorema nilai rata-rata menjamin \(f\)mempunyai akar di interval \( [a,b]\).

Contoh Soal 6
Jelaskan aplikasi teorema nilai rata-rata yang menjamin akar dari fungsi \( f(x)=x^{3}+2x-1 \) mempunyai akar di interval \( [0,1]\)

Pembahasan Contoh Soal 6
Anda sudah mengerti bahwa fungsi polinomial \(f\) kontinu di \( [0,1]\). Karena \[f(0)=-1 \text{ dan }f(1)=2\]yang menunjukkan bahwa \(f(0)f(1)<0\). Jadi berdasarkan teorema nilai rata-rata untuk suatu bilangan \(k=0\) diantara \(f(0)=-1\) dan \(f(1)=2\) terdapat \(c\) sedemikian sehingga\[f(c)=0\]seperti pada gambar di bawah.

\(--\bigstar\bigstar\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\bigstar\bigstar--\)

Baca selengkapnya

Fungsi Logaritma Natural

kalkulus universitas

Fungsi Logaritma Natural

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 09, 2018 3 Komentar

Hai sobat matematika!

Sebelum Anda melanjutkan tentang bahasan logaritma natural, silahkan Anda pelajari dahulu bahasan logaritma di sini.

Ingatkah Anda pada aturan pangkat umum di bahasan topik integral? Kalau tidak ingat mari saya bangunkan.hehe

Aturan pangkat pada integral berkata bahwa$$\int x^{n}~dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,~~~~n\neq1$$Seperti yang tersebut diatas, aturan pangkat memiliki perkecualian--aturan tidak berlaku untuk $n=1$.

Artinya pada bahasan intergal, Anda tidak menemukan integral dari fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$. Kali ini saya akan memberitahu Anda pendefinisian fungsi tersebut.

Fungsi tersebut, sekedar informasi, bukan merupakan fungsi aljabar ataupun fungsi trigometri. Akan tetapi masuk dalam kategori fungsi lainnya yang disebut fungsi logaritma.

Fungsi Logaritma Natural

Salah satu fungsi logaritma yang terpenting adalah fungsi logaritma natural. Pendefinisian fungsi tersebut sebagai berikut

DEFINISI 1. FUNGSI LOGARITMA NATURAL
Fungsi logaritma natural didefinisikan dengan$$\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt,~~~~x>0$$Domain dari fungsi logaritma natural adalah semua himpunan bilangan riil positif.

Jadi notasi untuk logaritma natural adalah $\ln x$. Berdasarkan definisi di atas juga, Anda dapat mengerti bahwa$$
\begin{eqnarray*}
  \ln x &>& 0~~~~~\text{ketika }~~~x>0 \\
  \ln x &<& 0~~~~~\text{ketika}~~~0<x>1\\
  \ln x&=& 0~~~~~\text{ketika }~~~x=1
\end{eqnarray*}$$ Berdasarkan definisi di atas juga dapat dilihat sifat-sifat dari grafik yang dimiliki fungsi logaritma natural.

Berikut merupakan sifat dasar dari fungsi logaritma natural yang saya maksud

TEOREMA 1. SIFAT DASAR FUNGSI LOGARITMA NATURAL
1. Domain dari fungsi logaritma natural adalah $(0,\infty)$ dan daerah hasil berada pada $(-\infty,\infty)$
2. Fungsi logaritma natural kontinu, naik, dan fungsi satu-satu.
3. Grafik dari fungsi logaritma natural cekung kebawah.

Nah sudah tahu belum ciri-ciri dari fungsi logaritma natural? Anda mulai mengerti dari sini.

Sekarang coba Anda lihat sketsa dari grafik fungsi logaritma natural di bawah ini

Baca Juga : Bagaimana limit didefinisikan pada fungsi


Selanjutnya saya akan mengajak Anda untuk melihat sifat fungsi logaritma natural yang juga berlaku untuk fungsi logaritma secara umum.

TEOREMA 2. SIFAT FUNGSI LOGARITMA
1. $\ln (1)=0$

2. $\ln (a+b)=\ln a + \ln b$

3. $\ln(a^{n})=n \ln a$

4. $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b$

Contoh Soal 1.
a. $\ln \frac{13}{6}=\ln 13 - \ln 6$
b. $\ln \sqrt{3x+2}=\ln (3x+2)^{1/2}$ $=\frac{1}{2}\ln (3x+2)$
c. $\ln \frac{3x}{2} = \ln 3x - \ln 2$ $=\ln 3+\ln x - \ln 2$
d. $\ln \frac{(x^{2}+3)^{2}}{x\sqrt[3]{x^{2}+1}} = 2\ln(x^{2}+3)-\ln x - \frac{1}{3}\ln(x^{2}+1) $

Bilangan $e$

Anda mungkin sudah belajar fungsi logaritma di sekolah. Pada saat itu, tanpa pengetahuan kalkulus, logaritma didefinisikan dengan bilangan basis.

Misalkan, logaritma biasa $\log x$ mempunyai basis 10 sehingga $^{10}\log 10 =1$.

Jadi untuk fungsi logaritma natural, terdapat nilai $x$ sedemikian sehingga $\ln x =1$. Bilangan tersebut dilambangkan dengan huruf $e$.

Bilangan $e$ merupakan bilangan irrasional dengan pendekatan desimal$$e \approx 2.71828182846$$Jika Anda menggunakan sifat fungsi logaritma pada teorema 2 di atas maka dapat ditunjukkan$$
\begin{eqnarray*}
 \ln(e^{n})  &=& n\ln e \\
   &=& n (1) = n
\end{eqnarray*}$$Tabel berikut memberikan informasi tentang nilai dari $\ln(e^{n})$ untuk beberapa nilai $n$

Turunan Fungsi Logaritma Natural

Turunan fungsi logaritma natural diberikan pada teorema 3 di bawah ini. Bagian pertama berbicara tentang anti turunan dan bagian kedua aturan rantai.

TEOREMA 3. TURUNAN FUNGSI LOGARITMA NATURAL
Misalkan $u$ adalah fungsi dengan variabel $x$ dan terdeferensialkan.
1. $\frac{d}{dx}\left[\ln x\right]=\frac{1}{x},~~~x>0$

2. $\frac{d}{dx}\left[\ln u\right]=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=\frac{u'}{u},~~~~u>0$

Perhatikan contoh soal mencari turunan fungsi logaritma natural berikut ini.

Contoh Soal 2.
a. $\frac{d}{dx}\left[\ln (2x)\right]$ $=\frac{u'}{u}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$

b. $\frac{d}{dx}\left[\ln (x^{2}+1)\right]$ $=\frac{u'}{u}=\frac{2x}{x^{2}+1}$

c. $\frac{d}{dx}\left[x \ln x\right]$ $=x\left(\frac{d}{dx}\left[\ln x\right]\right)+\ln x \left(\frac{d}{dx}\left[x\right]\right)=1+\ln x$

d. $\frac{d}{dx}\left[(\ln x)^{3}\right]$ $=3 (\ln x)^{2}\frac{d}{dx}\left[ln x\right]$ $=3(\ln x)^{2}\frac{1}{x}$

Sedangkan dua contoh soal berikut menjelaskan penggunaan sifat fungsi logaritma untuk menyelesaikan turunan fungsi logaritma.

Contoh Soal 3.
Turunkan fungsi $f(x)=\ln \sqrt{x+1}$

Pembahasan Contoh Soal 3
Pertama Anda harus mengubah bentuk fungsi tersebut menjadi $f(x)=\ln \sqrt{x+1}=\ln (x+1)^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (x+1)$. Jadi$$f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2(x+1)}$$

Contoh Soal 4.
Fungsi $f(x) = \ln \frac{x(x^{2}+1)^{2}}{\sqrt{2x^{3}-1}}$

Pembahasan Contoh Soal 4.
Bentuk lain fungsi adalah $f(x)=\ln x+2\ln(x^{2}+1) - \frac{1}{2}\ln (2x^{3}-1)$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& \frac{1}{x}+2\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{6x^{2}}{2x^{3}-1}\right) \\
   &=&  \frac{1}{x}+\frac{4x}{x^{2}+1}-\frac{3x^{2}}{2x^{3}-1}
\end{eqnarray*}$$Fungsi logaritma juga bisa digunakan sebagai bantuan untuk menurunkan fungsi bukan logaritma. Prosedur ini dinamakan penurunan logaritma

Contoh Soal 5.
Tentukan turunan dari$$y=\frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2$$Pembahasan Contoh Soal 5.
Diketahui bahwa $y>0$ untuk semua $x \neq 2$. Jadi $\ln y$ terdefinisi.
Langkah pertama kenakan fungsi logaritma natural pada kedua ruas, selanjutnya gunakan sifat fungsi logaritma natural dan turunkan secara implisit. Terakhir selesaikan persamaan untuk $y'$.$$\begin{eqnarray*}
  y &=& \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2 \\
 \ln y  &=& \ln \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2 \\
 \ln y &=& 2 \ln (x-2)-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\\
 \frac{y'}{y}&=&2\left(\frac{1}{x-2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right)\\
 &=&\frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 y'&=& y \frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 &=& \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 &=& \frac{(x-2)(x^{2}+2x+2)}{(x^{2}+1)^{3/2}}
\end{eqnarray*}$$Latihan berikut diberikan untuk melatih pemahaman Anda tentang turunan fungsi logaritma.

LATIHAN 1

Untuk nomor 1 - 10, Gunakan sifat fungsi logaritma natural untuk mengekspansi fungsi logaritma berikut
$\begin{array}{ll}
1.~~\ln \frac{x}{4}  &~~~~~~6.~~\ln\sqrt{5}   \\
2.~~\ln \frac{xy}{z}  &~~~~~~7.~~\ln(xyz)   \\
3.~~\ln \left(x\sqrt{x^{2}+5}\right)  &~~~~~~8.~~\ln \sqrt{a-1}   \\
4.~~\ln \sqrt{\frac{x-1}{x}}  &~~~~~~9.~~\ln(3e^{2})   \\
5.~~\ln z(z-1)^{2}  &~~~~~~10.~~\ln\frac{1}{e}   \\
\end{array}$

Untuk nomor 11 - 16 tulis ekspresi fungsi logaritma dalam satu kesatuan
$
\begin{array}{ll}
11.~~\ln (x-2) - \ln(x+2)  &~~~~~~~~16.~~3 \ln x + 2\ln y - 4\ln z   \\
12.~~\frac{1}{3}\left[2 \ln(x+3)+\ln x - \ln (x^{2}-1) \right] &   \\
13.~~2\left[\ln x + \ln (x+1) - \ln (x-1) \right] &   \\
14.~~2 \ln 3 - \frac{1}{2}\ln (x^{2}+1) &   \\
15.~~\frac{1}{2}\left[\ln (x^{2}+1)- \ln (x+1) - \ln (x-1)\right]&
\end{array}$

Untuk nomor 17 - 20, tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi logaritma di titik $(1,0)$
$
\begin{array}{ll}
17.~~y=\ln x^{3}   &~~~~~~~~19.~~y = \ln x^{3/2}  \\
18.~~y=x^{4}   &~~~~~~~~20.~~y = \ln x^{1/2}
\end{array}
$

Untuk nomor 21 - 30 Tentukan turunan dari fungsi fungsi berikut
$
\begin{array}{ll}
21.~~y=x ^{2}\ln 2   &~~~~~~~~26.~~y = \ln (\ln x^{2})  \\
22.~~y=\ln (t+1)^{2}  &~~~~~~~~27.~~y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \\
23.~~y=\ln (x\sqrt{x^{2}-1})  &~~~~~~~~28.~~y = \ln \left|\sin x \right| \\
24.~~f(x)=\ln \left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)  &~~~~~~~~29.~~y = \ln \sqrt{2 + \cos^{2} x } \\
25.~~g(t)=\frac{\ln t}{t^{2}}  &~~~~~~~~30.~~y = \ln \left|\frac{-1+\sin x}{2 + \sin x}\right| \\
\end{array}
$

Baca juga : Pembahasan Soal Teori Graf

Aturan Logaritma untuk Pengintegralan

Aturan penurunan pada fungsi logaritma yang Anda sudah pelajari pada bagian sebelumnya adalah$$
\frac{d}{dx}\left[\ln |x|\right]~~~~\text{dan}~~~~\frac{d}{dx}\left[\ln |u|\right]=\frac{u'}{u}
$$Sedangkan untuk aturan pengintegralan fungsi logaritma adalah sebagai berikut

TEOREMA 4. ATURAN LOGARITMA UNTUK PENGINTEGRALAN
Misalkan $u$ merupakan fungsi variabel $x$ yang terdeferensialkan maka
$
\begin{array}{ll}
 1.~~\int \frac{1}{x}~dx=\ln |x|+C  &~~~~~2.~~\int \frac{1}{u}~du=\ln |u|+C~~~~3.\int \frac{u'}{u}dx=\ln \left|u\right|+C
\end{array}
$

Penggunaan Aturan Fungsi Logaritma dalam Pengintegralan
Perhatikan contoh pengunaan sifat-sifat fungsi logaritma dalam pengintegralan suatu fungsi
Contoh Soal 6$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{2}{x}dx  &=& 2 \int \frac{1}{x}dx \\
 &=& 2 \ln |x| + C \\
 &=& \ln (x^{2})+C
\end{eqnarray*}$$Menggunakan aturan fungsi logaritma dengan merubah variabel
Pada contoh berikut penggunaan aturan fungsi logaritma dengan merubah variabel atau pemisalan.
Contoh Soal 7
Temukan nilai dari $\int \frac{1}{4x-1}dx$

Pembahasan Contoh Soal 7
Misalkan $u=4x-1$ maka $du=4 dx$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{1}{4x-1}dx  &=&  \frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{4x-1}\right) 4 dx\\
 &=& \frac{1}{4}\int \frac{1}{u}du\\
 &=&\frac{1}{4}\ln |u|+C \\
 &=& \frac{1}{4}\ln |4x-1|+C
\end{eqnarray*}$$Menemukan Luas Daerah dengan aturan fungsi logaritma
Pada bahasan aplikasi integral, Anda belajar luasan daerah di bawah kurva. Contoh berikut menerangkan hal tersebut beserta dengan penggunaan sifat fungsi logaritma.
Contoh Soal 8.
Temukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik $y=\frac{x}{x^{2}+1}$, sumbu $x$ dan barisan $x=3$.

Pembahasan Contoh Soal 8
Luas daerah yang dimaksud dengan menggunakan integral tertentu adalah sebagai berikut$$L = \int_{0}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}~dx$$Misalkan $u=x^{2}+1$ maka $u'=2x$ sehingga diperoleh$$ \begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
 L  &=&   \int_{0}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}~dx\\
   &=&  \frac{1}{2} \int_{0}^{3}\frac{2x}{x^{2}+1}~dx\\
   &=& \frac{1}{2} \int_{0}^{3}\frac{u'}{u}~dx\\
   &=& \frac{1}{2} \left.\ln |u|\right]_{0}^{3} \\
   &=& \frac{1}{2} \left[\ln (x^{2}+1)\right]_{0}^{3} \\
   &=& \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 1) \\
   &=& \frac{1}{2}\ln 10 \approx 1.151
\end{eqnarray*}$$

Jangan Lewatkan : Kaidah Penjumlahan dan Perkalian

Bentuk Pecahan dari Aturan Fungsi
Contoh berikutnya berbicara tentang bentuk pecahan yang melibatkan aturan fungsi logaritma
Contoh Soal 9
a. $\int \frac{3x^{2}+1}{x^{3}+x}~dx=\ln \left|x^{3}+x\right|+C$        $;\color{red}u\color{red}=\color{red}x^\color{red}{3}\color{red}+\color{red}x$

b. $\int\frac{\sec^{2}x}{\tan~x}~dx=\ln |\tan~x|+C$             $;\color{red}u\color{red}=\color{red}\tan~\color{red}x$

c. $\int\frac{x+1}{x^{2}+2x}~dx$ $=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^{2}+2x}~dx$ $=\frac{1}{2}\ln \left|x^{2}+2x\right|+C$        $;\color{red}u\color{red}=\color{red}x^\color{red}{2}\color{red}+\color{red}2\color{red}x$

d. $\int\frac{1}{3x+2}~dx$ $=\int\frac{3}{3x+2}~dx$ $=\frac{1}{3}\ln\left|3x+2\right|+C$            $;\color{red}u\color{red}=\color{red}3\color{red}x\color{red}+\color{red}2$

Contoh 9 melihatkan bahwa Anda tidak perlu memisalkan $u$ sebagai fungsi di penyebutnya. Tapi Anda membuat sedemikian rupa sehingga bentuknya menyerupai fungsi $u$ di bagian 2 pada teorema 4 di atas.

Perhatikan lagi bagian (a) pada contoh di atas, bentuk $x^{3}+x$ jika dianggap bentuk $u$ maka dengan teorema 4 bagian (2) Anda dapat menyelesaikan langsung seperti pada contoh 4.

Tidak beda juga pada kasus (c) di contoh 9, jika kita anggap bentuk $x^{2}+2x$ adalah $u$ pada teorema 4 maka Anda buat sedemikian rupa bagian penyebutnya adalah turunan dari $u$ atau $u'$.

Karena pembilang pada soal di contoh 9 adalah $x+1$ maka diubah menjadi $\frac{1}{2}(2x+2)$ supaya ada bentuk turunan dari $x^{2}+2x$ yaitu $2x+2$.

Menggunakan Pembagian sebelum Pengintegralan
Pengintegralan yang melibatkan aturan fungsi logaritma biasanya mempunyai bentuk tak biasa. Sebagai contoh pengintegralan fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih dari atau sama dengan derajat penyebut.

Contoh Soal 10
Temukan nilai dari $\int\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}~dx$

Pembahasan Contoh Soal 10
Sebelum proses integral, akan dilakukan terlebih dahulu proses pembagian seperti berikut$$ \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}=1+\frac{x}{x^{2}+1}$$sekarang bisa dilakukan pengintegralan$$\begin{eqnarray*}
 \int\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}~dx  &=&  \int\left(1+\frac{x}{x^{2}+1}\right)~dx\\
   &=&  \int  dx + \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+1} dx \\
   &=& x+ \frac{1}{2} \ln (x^{2}+1)+C
\end{eqnarray*}$$Merubah Variabel dengan Aturan Fungsi Logaritma
Contoh berikut merupakan bentuk lain dari penggunaan aturan fungsi logaritma dengan proses perubahan variabel

Contoh Sooal 11.
tentukan nilai dari $\int \frac{2x}{(x+1)^{2}} dx$

Pembahasan Contoh Soal 11.
Misalkan $u=x+1$ maka diperoleh $du=dx$ dan $x=u-1$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{2x}{(x+1)^{2}} dx  &=& \int \frac{2(u-1)}{(u)^{2}} du \\
   &=&  2\int\left(\frac{u}{u^{2}}-\frac{1}{u^{2}}\right)du\\
   &=& 2\int\frac{du}{u}-2\int\frac{du}{u^{2}}\\
   &=& 2\ln |u|-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)+C\\
   &=& 2\ln |u|+\frac{2}{u}+C \\
   &=& 2 \ln |x+1|+\frac{2}{x+1}+C
\end{eqnarray*}$$
Dari beberapa contoh di atas, contoh 11 dan contoh 12, Anda dituntut untuk bisa menyajikan bentuk integrand - fungsi yang diintegralkan- ke dalam bentuk lain sedemikian sehingga dapat diselesaikan menggunakan aturan fungsi logaritma.

Untuk menguasai teknik ini, diperluan kemampuan mengenali perubahan bentuk dari integrand. Karena proses pengintegralan tidak selalu bisa dilakukan langsung seperti layaknya proses turunan.

Integral Fungsi Trigonometri

Anda tentu sudah mempelajari aturan dasar pengintegralan fungsi trigonometri yang langsung diperoleh dari aturan turunan. Namun dengan aturan tambahan dari fungsi logaritma, akan memperlengkap aturan pengintegralan fungsi trigonometri.

Menggunakan Indetitas Fungsi Trigonometri
Contoh Soal 13
Temukan $\int \tan x dx$

Pembahasan Contoh Soal 13.
menggunakan aturan dsar pengintegralan Anda tidak menemukan langsung formula integral dari fungsi $\tan x$, namun dengan mengetahui bahwa $\tan x = \frac{sin x}{\cos x}$ dan $\frac{d}{dx}[\cos x]=\sin x$ maka dapat Anda boleh memisalkan $u= \cos x$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 \int \tan x dx  &=&  - \int\frac{-\sin x}{\cos x}dx\\
   &=&  -\int\frac{u'}{u}du\\
   &=& -\ln |u|+C \\
   &=& -\ln |\cos x|+C
\end{eqnarray*}$$Pada contoh 8 proses yang ditempuh adalah menggunakan identitas trigonometri untuk menentukan integral dari fungsi $\tan x$. Contoh berikutnya memberikan ilustrasi yang berbeda

Penurunan Formula Secan
Contoh Soal 14
Tentukan nilai $\int \sec x ~dx$

Pembahasan Contoh Soal 9.
Bentuk integrand fungsi secan sebelum masuk proses pengintegralan diubah terlebih dahulu menjadi$$
\begin{eqnarray*}
  \sec x  &=& \sec x \left(\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\right) \\
   &=&  \frac{\sec^{2} x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}
\end{eqnarray*}$$
Langkah berikutnya adalah memisalkan $u=\sec x + \tan x$ yang memiliki turunan $u'=\sec x \tan x +\sec^{2}x$. Akibatnya$$\begin{eqnarray*}
 \int \sec x ~dx  &=& \int  \frac{\sec^{2} x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} dx \\
   &=&  \int\frac{u'}{u}dx\\
   &=& \ln |u|+C\\
   &=& \ln |\sec x + \tan x|+C
\end{eqnarray*}$$
Mengintegralkan Fungsi Trigonometri
Contoh Soal 15.
Nilai $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^{2}x}~dx$ adalah $\cdots$

Pembahasan Contoh Soal 15
Identitas trigonometri menyatakan bahwa $1+\tan^{2}x = \sec^{2}x$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^{2}x}~dx   &=& \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\sec^{2}x}~dx \\
   &=&  \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec x~dx\\
   &=& \left.\ln |\sec x + \tan x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\
   &=& \ln (\sqrt{2}+1)-\ln 1\\
   &\approx& 0.881
\end{eqnarray*}$$

LATIHAN 2

Untuk nomor 1 - 14, tentukan nilai dari integral tak tentu berikut
$
\begin{array}{ll}
1.~~\int \frac{1}{4-3x}~dx   &~~~~ 2.~~\int \frac{x}{x^{2}-3}~dx \\
3.~~\int \frac{4x^{3}+3}{x^{4}+3x}~dx   &~~~~ 4.~~\int \frac{x^{2}-4}{x}~dx \\
5.~~\int \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}~dx   &~~~~ 6.~~\int \frac{x(x+2)}{x^{3}+3x^{2}-4}~dx \\
7.~~\int \frac{x^{4}+x-4}{x^{2}+2}~dx   &~~~~ 8.~~\int \frac{\ln (x^{2})}{x}~dx \\
9.~~\int \frac{1}{x^{2/3}(1+x^{1/3})}~dx   &~~~~ 10.~~\int \frac{x(x-2)}{(x-1)^{3}}~dx \\
11.~~\int \csc (2x)~dx   &~~~~ 12.~~\int \sec\frac{x}{2}~dx \\
13.~~\int \left(2 - \tan \frac{\theta}{4}\right)d\theta   &~~~~ 14.~~\int \frac{\csc^{2}t }{\cot t}~dt \\
\end{array}
$

Untuk nomor 15 - 16, tentukan nilai $y$ yang memenuhi persamaan diferensial berikut
$
\begin{array}{ll}
15.~~\frac{dy}{dx}=\frac{x-2}{x}   &~~~~ 16.~~\frac{dy}{dx}=\tan 2x \\
\end{array}
$
$$--\bigstar\bigstar\bigstar--$$

Baca selengkapnya