Hai sobat matematika
Sudah tahu belum apa deret tak hingga itu? Kalau belum coba baca dulu di sini.
Deret tak hingga disebut mempunyai jumlahan jika deret tak hingga tersebut konvergen. Kekonvergenan deret tak hingga menuntut kita untuk mencari kekonvergenan dari barisan jumlahan parsialnya.
Ini tidak mudah bro! Perlu senjata tambahan untuk memudahkan Anda dalam menunjukkan suatuu deret tak hingga konvergen atau tidak.
Artikel ini akan membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan deret tak hingga yang konvergen.
Jadi mari kita nikmati hidangan berikut.hehehe
Deret Tak Hingga Berbeda \(m\) Suku Pertama
Perhatikan dua deret tak hingga berikut\[\begin{eqnarray}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+2n+1}&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}&=&1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots\end{eqnarray}\]
Dua deret di atas berbeda hanya pada suku ke-2, yaitu deret pertama selisih satu dengan deret kedua.
Jangan Lewatkan : Apa itu Vektor?
Jika terdapat dua deret tak hingga yang berbeda hanya dari \(m\) suku pertama akan mempunyai kekonvergenan yang sama.
TEOREMA 1
Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ dua deret tak hingga yang berbeda hanya pada suku $ m $ pertama, yaitu $ a_{k}=b_{k} $ jika $ k>m $ maka kedua deret konvergen atau kedua deret divergen.
Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa jika suku-suku pada suatu deret tak hingga dikurangi atau ditambah sebanyak berhingga maka hal itu tidak mengurangi kekonvergenan deret tak hingga tersebut.
Mari kita lihat contoh lain di bawah ini
Contoh Soal 1
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4} $ divergen karena\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] dan deret harmonik\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] yang berbeda hanya suku empat pertama sehingga deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}$ divergen.
Bagaimana jika masing-masing suku dari suatu deret tak hingga dikalikan dengan suatu kosntanta tetap? Apakah masih tetap sama status kekonvergenan?
Teorema berikut menjelaskan tentang hal itu
Ternyata perkalian suku demi suku dengan suatu kosntanta dari deret tak hingga, kekonvergenan dan divergenan tidak berubah.
Contoh Soal 2
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} $ divergen karena $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ yang divergen berdasarkan teorema 2 dengan $ c=\frac{1}{4} $.
Baca Juga : Apa itu limit ?
Sekarang akan kita lihat bagaimana kekonvergenan dari dua deret yang dijumlahkan dan dua deret yang dikurangkan setiap suku-suku yang bersesuaian.
Teorema 4 ini merupakan akibat dari teorema 3 di atas
Contoh Soal 3
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}+\frac{1}{4^{n}}\right) $ merupakan deret divergen karena $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}\right) $ merupakan deret divergen.
Contoh 4
Misalkan \(a_{n}=\frac{1}{n}\), \(b_{n} = \frac{1}{n}\) dan \(c_{n}=-\frac{1}{n}\). Akibatnya deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\] yang merupakan deret divergen karena hasil dari perkalian dua dari deret harmonik (teorema 2 bagian i).
Sedangkan deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+c_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}0\]merupakan deret yang konvergen.
Contoh Soal 1
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4} $ divergen karena\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] dan deret harmonik\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\cdots\] yang berbeda hanya suku empat pertama sehingga deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+4}$ divergen.
Perkalian Deret Tak Hingga dengan Konstanta
Pada kasus penjumlahan dan pengurangan suku-suku suatu deret tak mempengaruhi kekonvergenan deret tak hingga. Lalu muncul pertanyaanBagaimana jika masing-masing suku dari suatu deret tak hingga dikalikan dengan suatu kosntanta tetap? Apakah masih tetap sama status kekonvergenan?
Teorema berikut menjelaskan tentang hal itu
TEOREMA 2
Misalkan $ c $ adalah konstanta tak nol
i. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S $ maka deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ konvergen dengan jumlahan $ c\cdot S $.
ii. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ divergen maka deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ divergen.
i. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S $ maka deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ konvergen dengan jumlahan $ c\cdot S $.
ii. Jika deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} $ divergen maka deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}c a_{n} $ divergen.
Ternyata perkalian suku demi suku dengan suatu kosntanta dari deret tak hingga, kekonvergenan dan divergenan tidak berubah.
Contoh Soal 2
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n} $ divergen karena $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} $ yang divergen berdasarkan teorema 2 dengan $ c=\frac{1}{4} $.
Baca Juga : Apa itu limit ?
Penjumlahan dan Pengurangan Deret Tak Hingga
Pengurangan dan penjumlahan suku suatu deret tak hingga sudah, perkalian suku demi suku deret tak hingga juga sudah diberikan kekonvergenannya.Sekarang akan kita lihat bagaimana kekonvergenan dari dua deret yang dijumlahkan dan dua deret yang dikurangkan setiap suku-suku yang bersesuaian.
TEOREMA 3
Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ dan $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ merupakan deret tak hingga yang konvergen berturut-turut di $ R $ dan $ S $ maka
i. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S +R $
ii. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}-b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S-R $
i. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S +R $
ii. Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}-b_{n} $ konvergen dan jumlahannya adalah $ S-R $
Teorema 4 ini merupakan akibat dari teorema 3 di atas
TEOREMA 4
Jika $ \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ konvergen dan konvergen $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} $ divergen maka $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}+b_{n} $ divergen.
Contoh Soal 3
Deret $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}+\frac{1}{4^{n}}\right) $ merupakan deret divergen karena $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4n}\right) $ merupakan deret divergen.
Catatan : Jika kedua deret tak hingga \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\) dan \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\) merupakan deret yang divergen maka deret \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})\) bisa jadi konvergen atau bisa jadi divergen.
Contoh 4
Misalkan \(a_{n}=\frac{1}{n}\), \(b_{n} = \frac{1}{n}\) dan \(c_{n}=-\frac{1}{n}\). Akibatnya deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}\] yang merupakan deret divergen karena hasil dari perkalian dua dari deret harmonik (teorema 2 bagian i).
Sedangkan deret tak hingga\[\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+c_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}0\]merupakan deret yang konvergen.
Bagikan
Deret tak Hingga yang Konvergen: Bagian 1
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
Hai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.