Soal Geometri Termudah dan Paling Sulit di Dunia

Hai sobat matematika

Tahukah Anda bahwa geometri adalah cabang matematika pertama yang ditemukan manusia?

Geometri digunakan dalam ilmu untuk mengukur luasan wilayah tanah kala itu. Luas wilayah tentunya berbentuk bidang datar. Misalkan segi empat, segitiga dan sebagainya.

Ngomong-ngomong segitiga, kali ini saya Ada soal geometri untuk Anda. Coba selesaikan jika bisa.

Kalau tidak bisa ya biarkan saja, nati juga saya yang kasih tahu jawabannya di artikel saya kali ini.hehee

SOAL

Tentukan nilai \( x \) pada segitiga \( \triangle ABC \) di bawah ini!

Sederhana bukan soalnya, hanya mencari nilai \( x \) saja atau besar sudut \( m\angle DEA \).kwkw

Baca Juga : Berapa jumlah luas dua segitiga merah (soal hots)

PEMBAHASAN

Sebelum Anda melangkah jauh menyelesaikan soal di atas, saya ingatkan lagi beberapa sifat yang dimiliki di dalam geometri Euclid suatu segitiga

Sifat 1. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180
Sifat 2. Besar sudut alas segitiga sama kaki adalah sama
Sifat 3. Besar ketiga sudut sama sisi adalah sama
Sifat 4. Aturan Sinus; \( \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \)

CARA I (TRIGONOMETRI)
Perhatikan segitiga \( \triangle ABD \). Karena besar sudut \( m \angle ABD = 70 \) dan \( m\angle BAD = 80 \) maka besar sudut \( m\angle ADB = 40\).

Berdasarkan aturan sinus pada trigonometri didapatkan
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\frac{BD}{\sin 80} &=& \frac{AB}{ \sin 40} \\
BD &=& \frac{AB \cdot \sin 80}{ \sin 40} \\
&=&\frac{AB \left(2 \sin 40 \cos 40\right)}{\sin 40} \\
&=& 2\cdot AB \cdot \cos 40 \\
BD&=& 2\cdot AB \cdot \sin 50
\end{eqnarray*}Selanjutnya perhatikan segitiga \( \triangle ABE \). Besar sudut \( m \angle AEB = 30 \) diperoleh dari \( 30 = 180 - \left( m \angle AEB + m \angle AEB \right) = 180 - (70+80) = 180 - 150 \).

Menggunakan aturan sinus lagi pada segitiga \( \triangle ABE \) didapatkan
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\frac{EB}{\sin 70} &=& \frac{AB}{ \sin 30} \\
EB &=& \frac{AB \cdot \sin 70}{\frac{1}{2}} \\
EB&=& 2\cdot AB \cdot \sin 70
\end{eqnarray*}Misalkan perpotongan sisi \( \overline{AE}\) dan \( \overline{BD} \) adalah \( F \).

Pada segitiga \( \triangle ABF \) besar sudut \( m \angle AFB = 50 \) karena sudut yang lain besarnya adalah 70 dan 60. Demikian juga besar sudut \( m \angle DFE = 50 \) karena bertolak belakang dengan sudut \( \angle AFB \).

Akibatnya besar sudut \( m \angle FDE = 130 - x\) karena jumlah sudut segitiga 180.

Berikutnya perhatikan segitiga \( \triangle BDE \) dan terapkan aturan sinus lagi sehingga diperoleh
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\frac{EB}{\sin (130 - x)} &=& \frac{BD}{ \sin (30+x)} \\
\frac{EB}{BD} &=& \frac{\sin (130 - x)}{\sin (30+x)} \\
\frac{2\cdot AB \cdot \sin 70}{2\cdot AB \cdot \sin 50}&=& \frac{\sin \left(180 - (130 - x)\right)}{\sin (30+x)}\\
\frac{\sin 70 }{\sin 50}&=& \frac{\sin 50 + x}{\sin (30+x)}\\
\sin 70 \cdot \sin (30+x) &= & \sin 50 \cdot \sin (50+x) \\
-\frac{1}{2}\left[\cos (100+x)-\cos (40 - x)\right] &=& -\frac{1}{2}\left[\cos (100 + x) - \cos x\right]\\
\cos (40 - x) &=& \cos x \\
x &=& (40 - x) \pm 360n~~~(n \in \mathbb{Z})\\
2x&=&40 + 360n~~~\text{atau}\\
360n - 40 &=& 0 ~~~\text(TM)\\
\therefore~~~x &=& 20 + 180n
\end{eqnarray*}Karena jumlah sudut segitiga \( \triangle DFE \) adalah 180 maka\[0 < x < 130\]Oleh karena itu nilai \(x = \boldsymbol{20}\).

Penyelesaian dengan pendekatan trigonometri ini memiliki keuntungan - di samping cara terpendek yang bisa dilakukan - yaitu tidak perlu lagi menambahkan garis di gambar sehingga gambar terihat bersih.😆

Namun cara ini, ada yang mengatakan terlihat kurang elegan.

Waduhh..bisa menyelesaikan saja sudah syukur mas. Itupun sudah ngos-ngosan. 😅

Jangan Lewatkan : Mencari Luas Segitiga Melaui Tiga Titik

Terdapat cara lain untuk menyelesaikan problem tersebut. Pendekatan murni geometri dalam hal ini yang dimaksud.

CARA II (GEOMETRI)
Menyelesaikan soal tersebut dapat dilakukan dengan pendekatan geometri murni.

Metode yang dilakukan adalah dengan mencari atau menkonstruksi segitiga sama kaki dan mendapatkan segitiga sama sisi beserta garis sejajar.

Mari langkahkan kaki Anda ke tahap pertama

Tarik garis bagi sudut \( \angle ACB \) yaitu \( CP \) sedemikian sehingga \( P \) di ruas garis \( \overline{BD} \). Selanjutnya tarik ruas garis \( \overline{AP} \).

Perhatikan segitiga \( \triangle ACP\) dan \( \triangle BCP \).
\begin{eqnarray*}
\overline{CP} & \cong & \overline{CP} ~~~~~~~\cdots(\text{refleksif})\\
\angle ACP &\cong& \angle ACP ~~~~~~~\cdots(\overline{CP} \text{garis bagi})\\
\overline{AC} &\cong& \overline{BC}~~~~~~~\cdots(m \angle CAB = m \angle CBA)
\end{eqnarray*}Oleh karena itu berdasarkan sifat S-Sd-S pada kekongruenan maka \( \triangle ACP \cong \triangle BCP \).

Akibatnya \( m \angle CAP = m \angle CBP = 20 \) sehingga

\(
\begin{array}{rl}
m \angle EAP &= 20 - 10 = 10 \\
m \angle PAB &= 70 - 10 = 60 \\
m \angle APB &= 180 - 60 - 60 = 60
\end{array}
\)

Jadi segitiga \( \triangle APB \) merupakan segitiga sama sisi. Misalkan sisi segitiga \( \triangle APB \) adalah \( AP = PB = AB = m \).

Perhatikan segitiga \( \triangle ACE \) dan \( \triangle CBP \)

\(
\begin{array}{rl}
m \angle CAE &= m \angle BCP = 10 \\
m \angle ACE &= m \angle CBP = 20 \\
AE & = EB
\end{array}
\)

Jadi berdasarkan sifat Sd-S-Sd pada kekongruenan maka terbukti bahwa \( \triangle ACE \cong \triangle CBP \) sehingga \( CE = PB = m \).

Langkah berikutnya perpanjang \( \overline{AP} \) sehingga memotong sisi \( \overline{BC} \) di titik \(Q\). Kemudian bentuk \( \overline{DQ} \).

\( m \angle DPQ = m \angle APB = 60\) karena sudut yang bertolak belakang.

Perhatikan segitiga \( \triangle DAB \) dan \( \triangle QBA \)

\(
\begin{array}{rl}
m \angle DAB &= m \angle QBA~~~~~~\cdots(\text{diketahui}) \\
AB &= BA ~~~~~~\cdots(\text{refleksif})\\
m \angle DBA &= m \angle QAB~~~~~~\cdots(\text{diperoleh})
\end{array}\)

Jadi berdasarkan sifat Sd-S-Sd pada kekongruenan segitiga diperoleh \( \triangle DAB \cong \triangle QBA \) sehingga \( DB = QA = n \).

Perhatikan panjang sisi yang sama dan dimisalkan \( n \) dan \( m \) di atas.

\( DP = DB - PB = n - m = QA - PA = QP \). Akibatnya segitiga \( \triangle DPQ \) segitiga sama kaki.

Karena \( \triangle DPQ \) segitiga sama kaki, maka \( m \angle PDQ = m \angle PQD = \frac{180 - m \angle DPQ}{2}\) = \( \frac{180 - 60 }{2}\) = \( 60 \). Oleh karena itu segitiga \( \triangle DPQ \) merupakan segitiga sama sisi.

Jadi panjang sisi \( DQ = QP = DP = n - m \) karena segitiga \( \triangle DPQ \) sama sisi.

Selanjutnya, diperoleh bahwa \( m \angle PQD = m \angle QAB = 60 \) sehingga ruas garis \( \overline{DQ} \) sejajar dengan \( \overline{AB} \), yaitu sudut \( \angle PQD \) dan sudut \( \angle QAB \) sudut bersebrangan dalam.

Masih di dalam dua ruas garis yang sejajar, yaitu \( \overline{DQ} \parallel \overline{AB}\), sudut \( \angle CQD \) dan sudut \( \angle CBA \) sehadap sehingga \( m\angle CQD = m\angle CBA = 80 \).

Perhatikan segitiga \( \triangle CDQ \). Besar sudut \( \angle CDQ \) adalah \( m \angle CDQ = 180 - 20 - 80 = 20\).

Disisi lain karena \( m \angle DCB = m \angle DBC = 20 \) maka \( \triangle BCD \) sama kaki dengan \( CD = BD = n\).

Jadi panjang sisi \( EQ = CQ - CE = n - m = DQ \) karena segitiga \( \triangle DQE \) sama kaki. Akibatnya \( m a\angle QED = m \angle QDE\).

Adapun panjang sudut tersebut adalah \( m \angle QED = \frac{180 -80}{20} = 50 \).

Oleh karena itu besar sudut \( m \angle AED = 50 - 30 = \boldsymbol{ 20} \).

Soal Geometri Termudah dan Paling Sulit di Dunia

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq December 12, 2018 Komentar