Sudut Keliling dan Sudut Pusat Lingkaran

geometri universitas

Hai sobat matematika! Apakah Anda tahu apa yang dinamakan sudut keliling dan sudut pusat di suatu lingkaran?

"Saya tahu mas, sudut keliling lingkaran itu sudut yang titik sudutnya di pinggiran lingkaran itu to? Sedangkan sudut keliling titik sudutnya yang berada di pusat lingkaran. Bener ga?" mungkin ini jawaban di antara Anda.

Dari sini Anda tidak salah. Minimal Anda dapat memvisualisasikan apa itu sudut keliling dan sudut pusat suatu lingkaran. Definisi yang saya berikan berikut bisa jadi sebagai referensi lain buat Anda dalam memahami sudut keliling dan sudut pusat lingkaran.

Definisi 1. Sudut Keliling dan Sudut Pusat
Misalkan diberikan lingkaran $L$ dengan pusat $\odot O$. Sudut $\angle ABC$ dikatakan sudut keliling lingkaran $\odot O$ jika dan hanya jika ruas garis $\overline{AB}$ dan ruas garis $\overline{BC}$ adalah tali busur. Sudut $\angle AOC$ dikatakan sudut pusat dari lingkaran $\odot O$ jika dan hanya jika ruas garis $\overline{AB}$ dan ruas garis $\overline{BC}$ adalah jari-jari lingkaran.

Perhatikan gambar dibawah!

Sudut keliling pada gambar di atas adalah sudut $\angle BAC$ dan sudut pusat adalah sudut $\angle BOC$. Pada gambar di atas terlihat jelas, interpretasi Anda persis dengan gambar. Anda tentunya masih ingat bahwa besar busur $\widehat{BC}$ didefinisikan dengan sama dengan besar sudut pusat yang menghadapinya yaitu $\angle BOC$.

Selanjutnya pertanyaan yang muncul dalam benak Anda  tentang sudut keliling dan sudut pusat lingkaran bisa jadi seperti ini

"Adakah hubungan antara besar sudut keliling  dengan sudut pusat lingkaran?". OK. Mari saya tunjukkan kepada Anda hubungan tersebut.

Teorema 2. Sudut Keliling
Ukuran sudut keliling sama dengan setengah ukuran busur yang dihadapinya.

Bukti.   Untuk membuktikan teorema ini akan ditinjau tiga kasus. Kasus pertama seperti pada gambar di bawah ini.

Sudut keliling $\angle ABC$ menghadap busur $\widehat{AC}$ dengan salah satu kaki sudut $\overline{BC}$ merupakan diamater lingkaran $\odot O$.

Pertama perhatikan segitiga $\triangle AOB$. Karena $AO=BO$ (jari-jari lingkaran) maka segitiga $\triangle AOB$ segitiga sama kaki dengan alas $\overline{AB}$. Akibatnya $m \angle BAO = m \angle ABO = \theta$.

Di sisi lain sudut $\angle AOC$ adalah sudut eksterior segitiga $\triangle AOB$ sehingga $m \angle AOC = m \angle BAO + m \angle ABO = 2\theta$.

Berdasarkan definisi besar busur, diketahui bahwa $m \widehat{AC} = m \angle AOC = 2\theta$. Oleh karena itu, besar sudut keliling $m \angle ABO = \theta$ adalah setengah dari besar busur $m \widehat{AC}=2\theta$ yang dihadapi sudut keliling $\angle ABC$.

Kasus kedua seperti pada gambar di bawah ini

Perhatikan bahwa definisi penjumlahan sudut menunjukkan bahwa $m \angle ABC = m \angle ABD + m \angle DBC$. Kasus pertama memberikan informasi bahwa $m\angle ABD = \frac{1}{2} m \widehat{AD}$ dan $m \angle DBC = \frac{1}{2} m \widehat{DC}$. Oleh karena itu $m \angle ABC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{AD} + m \widehat{DC}\right)=\frac{1}{2} m \widehat{ADC}$.

Kasus ketiga seperti pada gambar di bawah ini

Perhatikan bahwa definisi pengurangan sudut menunjukkan bahwa $m \angle ABC = m \angle ABD + m \angle DBC$. Kasus pertama memberikan informasi bahwa $m\angle ABD = \frac{1}{2} m \widehat{AD}$ dan $m \angle DBC = \frac{1}{2} m \widehat{DC}$. Oleh karena itu $m \angle ABC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{AD} - m \widehat{DC}\right)=\frac{1}{2} m \widehat{AC}$. $\blacksquare$

Akibat langsung dari teorema 2 melihatkan hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat pada suatu lingkaran.

Akibat 3.
Besar sudut keliling sama dengan setengah besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

Bukti.   Teorema 2 mengatakan bahwa sudut keliling mempunyai besar sama dengan setengah besar busur yang dihadapinya. Berdasarkan definisi besar busur yaitu sama dengan besar sudut pusat yang menghadpinya. Jadi sudut keliling mempunyai besar sudut setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama. $\blacksquare$

Teorema 2 juga dapat diaplikasikan dalam membuktikan sifat pada sudut keliling yang terbentuk pada poligon tali busur. Akibat berikut terjadi pada segiempat talibusur suatu lingkaran

Akibat 4.
Sudut berhadapan pada suatu segiempat tali busur merupakan pasangan suplemen.

Bukti.   Misalkan diberikan segiempat tali busur $\lozenge ABCD$ seperti gambar dibawah.

Berdasarkan teorema 2 diperoleh besar sudut keliling $m \angle BAC = \frac{1}{2} m \widehat{BDC}$ dan sudut keliling yang berhadapan $m \angle BDC = \frac{1}{2} m \widehat{BAC}$. Karena $\widehat{BDC}$ dan $\widehat{BAC}$ membentuk keliling lingkaran sehingga $m\widehat{BDC}+m\widehat{BAC} = 360$. Jadi $m \angle BAC + m \angle BDC = \frac{1}{2} \left(m \widehat{BDC} + m \widehat{BAC}\right) = \frac{1}{2} \cdot 360 = 180$. Oleh karena itu $\angle BAC$ dan $\angle BDC$ saling suplemen. $\blacksquare$

Selanjutnya latihan berikut merupakan akibat yang lain dari teorema 2 di atas

Soal No. 1
Diberikan sudut pusat yang dibentuk dari dua diameter seperti gambar dibawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x+y\right)$!

Pembahasan Soal No.1
Diketahui sudut $\angle BAC$ dan sudut $\angle DAE$ saling bertolak belakang sehingga $m \angle BAC = m \angle DAE$. Berdasarkan definisi besar busur maka $m \angle BAC = x$ dan $m \angle DAE = y$. Jadi $m \angle BAC +  m \angle DAE = x+y = 2 m \angle BAC$. Oleh karena itu $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x+y\right)$.

Soal No. 2
Diberikan lingkaran dan dua ruas garis potong lingkaran seperti gambar dibawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2} \left(x-y\right)$!

Pembahasan No.2
Tarik ruas garis $\overline{CE}$ sehingga, berdasarkan teorema 2, diperoleh $m \angle ACE = \frac{1}{2}y$ dan $m \angle CEB = \frac{1}{2}x$. Sudut $\angle CEB$ adalah sudut eksterior dari segitiga $\triangle ACE$. Berdasarkan sifat pada sudut eksterior diperoleh $m \angle BAC = m \angle CEB - m \angle ACE=\frac{1}{2} (x-y)$.

Soal No. 3
Diberikan lingkaran, garis singgung dan tali busur seperti pada gambar di bawah ini. Tunjukkan bahwa $m \angle BAC = \frac{1}{2}x$!

Pembahasan No. 3
Buat jari-jari $\overline{OA}$ dan $\overline{OC}$ dan membentuk segitiga sama kaki $\triangle OAC$ dengan alas $\overline{AC}$ dan besar sudut alas $ m \angle OAC = m \angle OCA = \theta$. Sifat garis singgung menyatakan bahwa $\overline{OA} \perp \overline{BA}$ sehingga $m \angle BAO = 90$ dan $m \angle BAC = 90 - \theta$. Pada segitiga sama kaki, besar sudut $m \angle AOC = m \widehat{AC} = 180 -2 \theta$. Oleh karena itu $m \angle BAC = 90 - \theta = \frac{1}{2} \left(180 - 2\theta\right)= m \widehat{AC} = \frac{1}{2}x$.
$$--\star \star \star--$$

Bagikan

Jangan lewatkan

Sudut Keliling dan Sudut Pusat Lingkaran

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 01, 2018 Komentar