Pembahasan Soal Latihan Turunan - Matematika SMA

latihan soal matematika sma

Hai kembali lagi sobat matematika. Kali ini saya akan memberikan pembahasan soal yang sudah Anda kerjakan sebelumnya di sini.

Pembahasan yang disajikan berikut ini memuat beberapa materi tentang turunan, sifat turunan dan beberapa materi yang terkait dengan materi turunan.

Pembahasan Soal No. 1
Diketahui fungsi $y=(1-x)^{2}(2x+3)$. Misalkan $u(x)=(1-x)^{2}$ dan $v(x)=(2x+3)$ sehingga turunannya adalah $u'(x)=2(1-x)$ dan $v'(x)=2$. Jadi $y = u(x)v(x)$ dan$$    \begin{eqnarray}
     y'  & = & u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\
       & = & 2(1-x)(2x+3)+(1-x)^{2}\cdot 2 \\
       & = &  2(1-x)(2x+3+1-x)\\
       &=& 2(1-x)(x+4)
    \end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{2(1-x)(x+4)}$

Pembahasan Soal No.2$$\begin{eqnarray}
      y&=&\sqrt[4]{(2x^{2}-3)^{2}}=(2x^{2}-3)^{\frac{3}{4}}  \\
      y' & = &\frac{3}{4}(2x^{2}-3)^{-\frac{1}{4}}\cdot (4x)  \\
       &  =& \frac{3x}{\sqrt[4]{2x^{2}-3}}
\end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{3x}{\sqrt[4]{2x^{2}-3}}}$

Pembahasan Soal No.3$$\begin{eqnarray}
      f(x) & = &x^{2}\sqrt{4-6x}  \\
       & = & x^{2}(4-6x)^{\frac{1}{2}} \\
      f'(x) & = & 2x (4-6x)^{\frac{1}{2}}\\
       &  &+x^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)(4-6x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-6)\\
       &=& 2x (4-6x)^{\frac{1}{2}}\\
       &&+x^{2}\cdot\frac{-6}{2\sqrt{4-6x}}\\
      f'(2) &=& -4\sqrt{16}-4\cdot\frac{6}{2\sqrt{16}}\\
      &=&-4\cdot4-4\frac{6}{2\cdot4}\\
      &=&-19
\end{eqnarray}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-19}$

Pembahasan Soal No. 4
Diketahui $f(x)=\frac{x+2}{-3x+5}$ maka invers fungsi dari $f(x)$ adalah $f^{-1}(x)=\frac{-5x+2}{-3x-1}$. Jika fungsi $g(x)$ adalah turunan dari fungsi $f^{-1}(x)$ maka nilai dari $g(x)$ adalah$$\begin{eqnarray}
      g(x) & = &\frac{-5(-3x-1)-(-5x+2)(-3)}{(-3x-1)^{2}}  \\
       & = & \frac{15x+5+15x+6}{(-3x-1)^{2}} \\
       & = & \frac{5+6}{(-3x-1)^{2}} \\
       & = & \frac{11}{(-3x-1)^{2}}
\end{eqnarray}$$dan $g(1)=\frac{11}{-3(1)-1}^{2}=\frac{11}{6}$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{11}{6}}$

Pembahasan Soal No. 5
Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{6x+7}=(6x+7)^{\frac{1}{2}}$ maka turunan dari fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\frac{1}{2}(6x+7)^{-\frac{1}{2}}(6)$ $=\frac{6}{2\sqrt{6x+7}}$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
   f'(3)  &=& \frac{6}{2\sqrt{18+7}} \\
     &=&  \frac{3}{5}
  \end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Pembahasan Soal No. 6
Fungsi $y=\cos^{4}x$ mempunyai turunan$$\begin{eqnarray*}
   y'  &=& 4 \cos^{3}x (-\sin x) \\
     &=&  -4\cos^{3}x \cdot \sin x
  \end{eqnarray*}$$  Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-4\cos^{3}x \cdot \sin x}$

Pembahasan Soal No. 7
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$ $=\frac{\sin x}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}$ $=1+\cot x$ maka turunan fungsi $f(x)$ adalah$$\begin{eqnarray*}
  f'(x) &=& -\csc^{2}x \\
   &=&  -\frac{1}{\sin^{2}x}
\end{eqnarray*}$$sehingga nilai $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$ adalah $f'(\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}=-1$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{-1}$

Pembahasan Soal No. 8
Diketahui fungsi $f(x)=a\tan x + bx$. Turunan fungsi tersebut $f'(x)=a \sec^{2} x+b$ $=\frac{a}{\cos^{2}x}+b$. Pada soal disebutkan bahwa $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=3$ dan $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=9$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
  f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &=& \frac{a}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)}+b \\
  3 &=& \frac{a}{\frac{1}{2}}+b\\
  3&=& 2a+b
\end{eqnarray*}$$dan$$\begin{eqnarray*}
  f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &=& \frac{a}{\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)}+b \\
 9 &=& \frac{a}{\frac{1}{4}}+b\\
  9&=& 4a+b
\end{eqnarray*}$$
Diperoleh sistem persamaan linier dua variabel$$\begin{eqnarray*}
  2a+b &=& 3 \\
  4a+b &=& 9
\end{eqnarray*}$$Penyelesaian sistem persamaan tersebut menghasilkan nilai $a=3$ dan $b=-3$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{a+b=0}$

Pembahasan Soal No. 9
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{3x-2}{x+4}$ maka invers fungsinya adalah$$\begin{eqnarray*}
 f^{-1}(x)  &=& \frac{-4x-2}{x-3} \\
   &=&  \frac{4x+2}{3-x}
\end{eqnarray*}$$Turunan pertama dari fungsi invers tersebut adalah$$\begin{eqnarray*}
 \left(f^{-1}(x)\right)'  &=& \frac{4(3-x)-(-1)(4x+2)}{(3-x)^{2}} \\
   &=&  \frac{14}{(x-3)^{2}}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{14}{(x-3)^{2}}}$

Pembahasan Soal No. 10
Diketahui bahwa$$\begin{eqnarray*}
 h(x)  &=& f(x)-2g(x) \\
   &=&  3x^{2}-5x+2-2(x^{2}+3x-3)\\
   &=& x^{2}-11x+8
\end{eqnarray*}$$Maka turunan dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=2x-11$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{2x-11}$

Pembahasan Soal No. 11
Diketahui fungsi $y=3x^{4}+\sin 2x + \cos 3x$ . Maka turunan fungsi $f(x)$ adalah $\frac{dy}{dx}=12x^{3}+2\cos 2x - 3 \sin 3x$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{12x^{3}+2\cos 2x - 3 \sin 3x}$

Pembahasan Soal No. 12
Diketahui fungsi $y=2\sin 3x - 3\cos 2 x$ . Maka turunan fungsi $f(x)$ adalah $\frac{dy}{dx}=6\cos 3x + 6 \sin 2x$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{6\cos 3x + 6 \sin 2x}$ .

Pembahasan Soal No. 13
Dilketahui fungsi $f(x)=\frac{(x+2)^{3}}{(1-3x)^{2}}$ maka turunan fungsi tersebut adalah$$\begin{align*}
    f'(x)&=\frac{3(x+2)^{2}(1-3x)^{2}-(x+2)^{3}2(1-3x)(-3)}{(1-3x)^{4}}\\
   f'(-3) &= \frac{3((-3)+2)^{2}(1-3(-3))^{2}-((-3)+2)^{3}2(1-3(-3))(-3)}{(1-3(-3))^{4}}\\
   &=\frac{30-6}{10^{3}}\\
   &=0,024
\end{align*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{0,024}$

Pembahasan Soal No. 14
Diketahui $f(x)=e^{3x+5}+\ln (2x + 7)$ maka turunannya adalah $f'(x)=3 \cdot e^{3x+5}+\frac{2}{2x+7}$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{3 \cdot e^{3x+5}+\frac{2}{2x+7}}$

Pembahasan Soal No. 15
Diketahui persamaan reaksi $f(t)=15t^{2}-t^{3}$. Reaksi akan berhenti jika $f(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  t^{2}(15-t) &=& 0 \\
  t &=& 0~~\text{atau}~~t=15
\end{eqnarray*}$$
Reaksi akan mencapai maksimum jika $f'(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 30t-3t^{2}  &=& 0 \\
  t(30-3t) &=& 0 \\
  t&=& 0~~\text{atau}~~t=10
\end{eqnarray*}$$Jadi reaksi maksimum pada saat $t=10$ atau terjadi pada 5 jam sebelum reaksi habis.

Pembahasan Soal No.16
Diketahui $f(x)=x(6+x)^{2}$ $=x^{3}+12x^{2}+36x$. Turunan fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^{2}+24x+36$. Syarat fungsi naik adalah $f'(x)>0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 3x^{2}+24x+36  &>&0  \\
   x^{2}+8x+12&>&0\\
   (x+6)(x+2)&>&0 \\
   x<-6 \text{ atau } x&>&-2
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No. 17
Diketahui jarak $P(0,3)$ ke $y=x^{2}+1$ minimum, maka jarak $=\sqrt{(x-0)^{2}+(x^{2}+1-3)^{2}}$. Jrak kuadrat $= f(x)$ maka $f(x)=x^{4}-3x^{2}+4$. Syarat mencapai ekstrim jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  4x^{3}-6x &=&0  \\
  x(4x^{2}-6) &=&  \\
  x=0~~\text{atau}~~x^{2}=\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}$$Subtitusikan nilai $x^{2}=\frac{3}{2}$ ke $f(x)$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
 f(x)  &=& x^{4}-3x^{2}+4 \\
 f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)  &=& \left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{3}{2}\right)+4 \\
   &=& \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4 \\
   &=&  \frac{7}{4}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{7}{4}}$

Pembahasan Soal No.18
Diketahui persamaan $f(x)=2\cos 2x+4\sin x$ mencapai maksimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$
\begin{eqnarray*}
 -4(2\sin x \cdot \cos x)+4\cos x  &=&0  \\
 4 \cos x (-2 \sin x +1)  &=& 0\\
 \cos x =0~~~\text{atau}~~~\sin x=\frac{1}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}~~~\text{atau}~~~x=\frac{\pi}{6}~~~\text{atau}~~~x=\frac{5}{6}\pi
\end{eqnarray*}$$Jika dicek untuk semua nilai $x$ yang mungkin, maka didapatkan $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=3$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$ dan $f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=3$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{3}$.

Pembahasan Soal No.19
Diketahui persamaan $f(x)=\frac{3x^{2}-5}{x+6}$. Nilai $f(0)=-\frac{5}{6}$ dan $f'(x)=\frac{6x(x+6)-1(3x^{2}-5)}{(x+6)^{2}}$ sehingga $f'(0)=\frac{0+5}{36}=\frac{5}{36}$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 f(0)+6f'(0)  &=& -\frac{5}{6}+6\frac{5}{36} \\
   &=& -\frac{5}{6}+\frac{5}{6} \\
   &=&  0
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No.20
Diketahui fungsi $f(x)=\frac{1}{x}+x^{3}-\sqrt{2x}$ $=x^{-1}+x^{3}-(2x)^{\frac{1}{2}}$. Turunan dari fungsi $f(x)$ adalah$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=&-x^{-2}+3x^{2}-\frac{1}{2}(2x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(2)  \\
   &=&  -x^{-2}+3x^{2}-(2x)^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}$$

Pembahasan Soal No.21
Luas kandang $=x \cdot y = 12$ atau $y=\frac{12}{x}$. Sedangkan keliling kandang $=3x+4y$ $=3x+\frac{48}{x}$. Fungsi keliling kandang$$\begin{eqnarray*}
 f(x)  &=& 3x+48x^{-1} \\
 f'(x)  &=& 3-48x^{-2}
\end{eqnarray*}$$Mencapai nilai minimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  3-48x^{-2} &=& 0 \\
 x^{2}  &=& 16 \\
 x &=& 4
\end{eqnarray*}$$Akibatnya $y=\frac{12}{x}=\frac{12}{4}=3$. Jadi jawabannya dalah $\boldsymbol{x=4}$ dan $\boldsymbol{y=3}$.

Pembahasan Soal No.22
Keliling daerah berwarna biru 100 sehingga$$\begin{eqnarray*}
 2q+p+\frac{1}{2}\pi p  &=& 100 \\
 2q  &=& 100 - \left(p+\frac{1}{2}\pi p\right) \\
 2q &=& 100 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)p \\
 q&=& 50 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)\frac{p}{2}
\end{eqnarray*}$$Sedangkan luas daerah berwarna biru adalah$$\begin{eqnarray*}
  Luas_{biru} &=& pq-\frac{1}{8}\pi p^{2} \\
   &=&  p\left(50 - \left(1+\frac{1}{2}\pi \right)\frac{p}{2}\right)-\frac{1}{8}\pi p^{2}\\
   &=& 50p-\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\frac{p^{2}}{2}-\frac{1}{8}\pi p^{2}
\end{eqnarray*}$$Luas maksimum jika $f'(x)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& 0 \\
 50- \left(\frac{\pi}{2}+1\right)p-\frac{1}{4}\pi p &=& 0 \\
 50 &=&   \left(\frac{3}{2}\pi+1\right)p\\
 200 &=& (3\pi+4)p\\
 p &=& \frac{200}{3\pi+4}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabanny adalah $\boldsymbol{\frac{200}{3\pi+4}}$.

Pembahasan Soal No.23$$\begin{eqnarray*}
  \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(a-x)-f(a)}{x} &=& \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\left(f(a)-f(a-x)\right)}{x} \\
   &=&  - f'(a)
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{- f'(a)}$

Pembahasan Soal No.24
Diketahui fungsi $y=4x^{3}-18x^{2}+15x-20$ mencapai nilai maksimum jika $y'=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 12x^{2}-36x+15  &=& 0 \\
 4x^{2}-12x+5  &=&0  \\
  (2x-5)(2x-1) &=& 0 \\
  x&=& \frac{5}{2}~~~\text{atau}~~~x=\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}$$Selanjutnya akan ditentukan turunan keduanya$$\begin{eqnarray*}
 f''(x)  &=& 24x-36 \\
 f''\left(\frac{5}{2}\right)  &=& 24 \\
 f''\left(\frac{1}{2}\right)  &=&  -12
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$

Pembahasan Soal No. 25
Misalkan $f(x)=x \cdot \cos x$. Maka turunan fungsi tersebut adalah $f'(x)=\cos x - x\sin x$. Selanjutnya $$\begin{eqnarray*}
 f'\left(x+\frac{\pi}{2}\right)  &=& \cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right) - \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)  \\
   &=& -\sin x - \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \cos x \\
   &=&  -\sin x - x \cos x - \frac{\pi}{2}\cdot \cos x
\end{eqnarray*}$$
Pembahasan Soal No.26
Keliling pintu adalah$$Keliling=2y+2x+\pi x=p$$ sehingga $y=\frac{p-2x-\pi x}{2}$. Sedangkan luas pintu adalah$$\begin{eqnarray*}
  Luas &=& 2xy+\frac{1}{2}\pi x^{2} \\
   &=& x(p-2x-\pi x)+ \frac{1}{2}\pi x^{2}\\
   &=&  px-(2x+\frac{1}{2}\pi)x^{2}
\end{eqnarray*}$$Mencapai minimum jika $f'(x)=0$ maka$$
\begin{eqnarray*}
  p-(4+\pi)x &=&0  \\
  -(4+\pi)x &=& -p \\
  x &=& \frac{p}{4+\pi}
\end{eqnarray*}$$. Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{\frac{p}{4+\pi}}$

Pembahsan Soal No. 27$$\begin{eqnarray*}
  f(x) &=&\left(2x+\frac{x}{\sqrt{x^{3}}}\right)^{2}  \\
  f'(x) &=& 2\left(2x+\frac{3}{\sqrt{x^{3}}}\right)\left(2-\frac{9}{2\sqrt{x^{5}}}\right) \\
   &=&  2\left(4x-\frac{9}{\sqrt{x^{3}}}+\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{2x^{4}}\right)\\
   &=& 8x-\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{x^{4}}
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya adalah $\boldsymbol{8x-\frac{6}{\sqrt{x^{3}}}-\frac{27}{x^{4}}}$.

Pembahasan Soal No. 28
Diketahui persamaan kurva $y=x^{2}-4x$ yang mempunyai turunan $y'=2x-4$. Jika absis $x=4$ maka $y=0$. Sedangkan gradien $m=y'(4)=4$. Oleh karena itu persamaan garis singgung pada kurva di titik $(4,0)$ dengan gradien $4$ adalah $y-0=4(x-4)$ atau $\boldsymbol{y=4x-16}$.

Pembahasan Soal No.29$$S(t)=-\frac{1}{3}t^{3}-5t$$Kecepatan $V(t)=S'(t)=-t^{2}+6t-5$. Agar kecepatan maksimum maka $V'(t)=0$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
  -2t+6 &=& 0 \\
  t &=& 3
\end{eqnarray*}$$Jadi jawabannya saat $\boldsymbol{t=3}$

Pembahasan Soal No.30
Misalkan panjang = lebar = $x$ dan tinggi $y$. Karena luasnya $27$ maka$$\begin{eqnarray*}
 x^{2}+4xy  &=& 27 \\
 y  &=& \frac{27-x^{2}}{4x}
\end{eqnarray*}$$Fungsi volume dari bak tersebut adalah$$\begin{eqnarray*}
 V(x)  &=&p\cdot l \cdot t  \\
   &=& x^{2}y \\
   &=&x^{2}\frac{27-x^{2}}{4x}  \\
   &=& \frac{27x-x^{3}}{4}
\end{eqnarray*}$$Agar volume maksimum maka $V'(x)=0$ yaitu$$\begin{eqnarray*}
  \frac{27}{4}-\frac{3}{4}x^{2} &=& 0 \\
  x^{2} &=& 9 \\
  x&=& 3
\end{eqnarray*}$$Maka luas alasnya adalah $\boldsymbol{9~meter^{2}}$.

Bagikan

Jangan lewatkan

Pembahasan Soal Latihan Turunan - Matematika SMA

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 31, 2018 Komentar