Kaidah Perkalian dan Kaidah Penjumlahan - Teknik Menghitung Dasar

matematika diskrit matematika sma

Matematika selalu memberikan solusi dari setiap masalah yang timbul. Salah satu soal dalam kehidupan sehari-hari yang sering Anda jumpai adalah menghitung. Anda tidak akan bisa lepas dari menghitung setiap hari di kehidupan Anda. Salah satu bentuk kegiatan menghitung di sini adalah menghitung alternatif dari beberapa kemungkinan kejadian dalam suatu aktifitas Anda.

Ketika mau belanja di pasar, timbul pertanyaan "Berapa banyak pilihan yang dimiliki untuk memasak sebuah resep sayuran jika tersedia beberapa jenis sayur yang tersedia di pasar?"

Memasuki kamar dan mau berpakaian, Anda akan dihadapkan masalah menghitung "Berapa banyak alternatif yang Anda miliki untuk memakai pakaian ketika Anda membuka lemari terdapat sekian baju dan bawahan?"

Mau merencanakan bepergian ke luar kota, pilihan yang akan Anda pertanyakan bisa jadi berupa "Berapa banyak cara memilih rute penerbangan dari kota A ke kota C dengan terlebih dahulu transit di kota B jika masing-masing tujuan memiliki jadwal penerbangan yang berbeda?"

Masalah menghitung muncul dan dipelajari secara sistematis melalui matematika dan ilmu komputer. Salah satu cabang ilmu matematika yang membahas ini adalah kombinatorika. Matematika menjelaskan masalah menghitung mulai dari dasar sampai tingkat lanjut.

Anda dan saya akan melihat terlebuh dahulu teknik dasar menghitung tingkat dasar terlebih dahulu kali ini. Dua kaidah yang akan dikenalkan berikut akan menjadi dasar dalam teknik menghitung dan menunjukkan bagaimana mereka bisa digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah menghitung yang berbeda.

Kaidah Perkalian

Misalkan suatu prosedur bisa dipecah menjadi dua pekerjaan. Jika terdapat $n_{1}$ cara untuk melakukan pekerjaan pertama dan $n_{2}$ cara untuk melakukan pekerjaan kedua, maka terdapat $\boldsymbol{n_{1}n_{2}}$ cara untuk menyelesaikan prosedur tersebut.

Coba Anda perhatikan aturan atau kaidah yang didefinisikan di atas. Jika Anda lihat secara teliti, kalimat kunci yang dimiliki dalam kaidah perkalian adalah prosedur itu bisa dipecah menjadi dua pekerjaan dan harus dilalukan keduanya. Contoh berikut menjelaskan bagaiman kaidah perkalian digunakan

Contoh 1
Suatu perusahaan baru memiliki dua karyawan, Andi dan Budi. Perusahaan tersebut menyewa satu lantai di suatu gedung perkantoran yang terdiri dari 10 kantor setiap lantainya. Berapa banyak cara menempatkan karyawan tersebut ke dalam kantor yang berbeda?

Pembahasan Contoh 1
Prosedur untuk menempatkan dua karyawan tersebut ke dalam kantor yang berbeda memuat pekerjaan memberikan sebuah kantor untuk Andi, yang bisa dilakukan dengan 10 cara, dan menempatkan Budi ke kantor yang berbeda dengan Andi, yang tentunya bisa dilakukan dengan 9 cara karena satu kantor sudah milik Andi. Berdasarkan kaidah perkalian, terdapat $10 \cdot 9 = 90$ cara untuk menempatkan dua karyawan tersebut.

Contoh 2
Suatu event organizer (EO) akan memberikan tanda kursi di dalam auditorium dengan huruf dan bilangan bulat positif tak lebih dari 100. Banyak kursi terbesar yang bisa dilabeli berbeda, tidak ada kursi dengan label yang sama, oleh EO tersebut adalah $\cdots$

Pembahasan Contoh 2
Prosedur melabeli kursi terdiri dari dua pekerjaan. Pertama memberikan label huruf alfabet sebanyak 26 dan kedua memberikan angka setelahnya sebanyak 100 kemungkinan bilangan bulat positif. Kaidah perkalian menunjukkan bahwa terdapat $26 \cdot 100 = 2600$ cara melabeli kursi tersebut. Oleh karena itu, banyak terbesar kursi yang bisa dilabeli secara berbeda adalah $\boldsymbol{2600}$.

Contoh 3
Pada suatu sekolah SMA terdapat 12 kelas. Masing-masing kelas mempunyai siswa sebanyak 30 siswa. Berapa banyak siswa yang berada di sekolah tersebut?

Pembahasan Contoh 3
Prosedur menghitung siswa bisa dipecah menjadi menghitung kelas yang ada dan menghitung siswa di sebarang kelasnya. Berdasarkan kaidah perkalian, dapat disimpulkan bahwa terdapat $12 \cdot 30 = 360$ siswa di sekolah tersebut.

Pemecahan prosedur bisa jadi tidak dua pekerjaan saja, bisa lebih dari dua. Oleh karena itu dikenalkan perluasan dari kaidah perkalian.

Perluasan Kaidah Perkalian
Misalkan suatu prosedur berturut-turut terdiri dari $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{m}$ pekerjaan. Jika masing-masing pekerjaan $P_{i}$ bisa dilakukan dengan $n_{i}$ cara untuk $i= 1,  2, 3, \cdot, m$ maka terdapat $\boldsymbol{n_{1} \cdot n_{2} \cdot n_{3} \cdots n_{m}}$ cara untuk menyelesaikan prosedur tersebut.

Contoh 4
Berapa banyak plat kendaraan bermotor yang bisa dibuat jika plat kendaraan terdiri dari dua huruf diikuti empat digit bilangan dan paling belakang dua huruf?

Pembahasan Contoh 4
Terdapat 26 huruf alfabet untuk masing-masing pilihan membuat huruf dan ada 10 angka untuk pilihan membuat bilangan. Akibatnya, berdasarkan kaidah perkalian terdapat total jumlah $\boldsymbol{26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 26 \cdot 26 = 26^{4} \cdot 10^{4} = 4.569.760.000}$

Contoh 5
Berapa banyak fungsi yang bisa dibentuk dari sutu himpunan dengan $m$ elemen ke suatu himpunan dengan $n$ anggota?

Pembahasan Contoh 5
Diketahui banyak anggota domain adalah $m$ dan banyak anggota kodomain adalah $n$ anggota. Prosedur untuk membuat membuat fungsi adalah memasangkan tepat satu setiap anggota domain ke anggota kodomain sehingga terdapat $n$ cara pemasangan. Karena anggota domain sebanyak $m$, maka berdasarkan kaidah perkalian diperoleh $\boldsymbol{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n = n^{m}}$ fungsi yang terbentuk.

Contoh 6
Pada suatu sistem penomeran HP terdapat bebarapa aturan untuk membedakan provider dan signal yang digunakan. Suatu nomor HP terdiri 10 digit bilangan yang dibagi menjadi tiga digit kode provider, tiga digit wilayah dan empat digit kode unik tiap HP.  Misalkan format $X$ menyatakan digit 0 sampai 9, format  $N$ membolehkan bilangan 2 sampai 9 sedangkan format $Y$ hanya untuk bilangan 0 dan 1.

Suatu pemerintahan daerah menetapkan aturan penomeran HP di wilayahnya dengan format $NYX-NNX-XXXX$. Berapa banyak nomor HP yang mungkin dengan aturan ini?

Pembahasan Contoh 6
Berdasarkan kaidah perkalian terdapat $8 \cdot 2 \cdot 10 = 160$ kode provider dengan format $NYX$ dan $8 \cdot 8 \cdot 10 = 640$ kode wilayah dengan format $NNX$. Dengan cara serupa diperoleh $10\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$ kode unik tiap HP. Oleh karena itu, berdasarkan kaidah perkalian lagi, banyak nomer HP yang mungkin sebanyak $\boldsymbol{160 \cdot 640 \cdot 10000 = 1.024.000.000}$.

Kaidah Penjumlahan 

Jika sebuah pekerjaan bisa dikerjakan dengan $n_{1}$ cara atau dengan $n_{2}$ cara, dimana himpunan dari $n_{1}$ cara tidak ada yang sama dengan himpunan $n_{2}$ cara. Maka terdapat $\boldsymbol{n_{1}+n_{2}}$ cara untuk mengerjakan pekerjaan tersebut. 

Kata kunci yang bisa Anda garis bawahi pada kaidah penjumlahan di atas adalah prosedur bisa dilakukan salah satu diantara dua pekerjaan yang dua pekerjaan tersebut berbeda semua. Kaidah penjumlahan bisa Anda pelajari penggunaannya pada beberapa conoth berikut

Contoh 7
Andaikan mahasiswa matematika dipilih untuk mewakili tim suatu olimpiade matematika. Berapa banyak pilihan dari perwakilan ini jika terdapat 37 mahasiswa laki-laki dan 83 mahasiswa perempuan?

Pembahasan Contoh 7
Terdapat 37 cara memilih mahasiswa laki-laki dan 83 cara memilih mahasiswa perempuan. Memilih mahasiswa laki-laki tidak akan sama dengan memilih mahasiswa perempuan untuk perwakilan ini. Berdasarkan aturan penjumlahan, maka terdapat $\boldsymbol{37+83=120}$ cara yang mungkin untuk memilih perwakilian.

Seperti halnya kaidah perkalian yang bisa diperluas, kaidah penjumlahan juga bisa diperluas sebagaimana di bawah ini.

Perluasan Kaidah Perkalian
Misalkan suatu pekerjaan bisa dikerjakan dengan salah satu dari $n_{1}$ cara, salah satu dari $n_{2}$ cara, $\cdots$ ,atau salah satu dari $n_{m}$ cara, dimana tidak ada himpunan $n_{i}$ cara mengerjakan pekerjaan yang sama seperti pada himpunan $n_{j}$ cara, untuk setiap pasangan $i$ dan $j$ dengan $1 \leq i \leq j \leq m$. Maka banyak cara untuk mengerjakan pekerjaan adalah $\boldsymbol{n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{m}}$ cara.


Contoh 8
Seorang pelajar bisa memilih sebuah tugas Matematika dari tiga kelompok. Ketiga kelompok tersebut secara berurutan masing-masing terdiri dari 23, 15 dan 19 tugas. Tidak ada tugas yang terletak dalam dua kelompok atau lebih. Berapa banyak pilihan tugas pelajar tersebut dari ketiga kelompok?

Pembahasan Contoh 8
Pelajar bisa memilih tugas dari ketiga kelompok tersebut yang tidak ada tugas yang sama dalam kelompok tersebut. Berdasarkan aturan penjumlahan, terdapat $\boldsymbol{23+15+19=57}$ cara untuk memilih tugas.$$--\star\star\star--$$

Bagikan

Jangan lewatkan

Kaidah Perkalian dan Kaidah Penjumlahan - Teknik Menghitung Dasar

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 03, 2018 Komentar