Pendahuluan Limit

kalkulus universitas

Hai sobat matematika!

Sekarang saya mengajak Anda untuk berkenalan dengan konsep yang menjadi pintu gerbang materi kalkulus. Konsep ini menjadi batu pijakan pertama dalam membahas perubahan yang dibahas dalam kalkulus. Materi yang saya maksud adalah limit suatu fungsi.

Pendahuluan

Misalkan Anda diminta untuk menggambar sketsa dari grafik fungsi $f$ yang mempunyai persamaan$$f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}, x \neq 1$$Tugas ini tidak akan menyusahkan Anda jika nilai $x$ yang disubtitusikan ke dalam fungsi bernilai selain $x=1$. Teknik mengkonstruksi dasar grafik bisa Anda gunakan untuk menghasilkan grafik fungsi $f$ .

Namun lain cerita ketika Anda mengerjakan nilai fungsi tersebut untuk $x=1$. Ketidakterdefinisian yang terjadi sehingga Anda akan belum tahu apa yang terjadi pada fungsi tersebut di titik $x=1$.

Untuk mengetahui perilaku nilai fungsi $f$ tersebut disekitar nilai $x=1$, Anda bisa menggunakan dua jenis himpunan nilai-$x$. Nilai fungsi $f(x)$ akan dilihat dari himpunan $x$ tadi disekitar $1$.

Satu himpunan nilai $x$ yang mendekati nilai $x=1$ dari dilihat sebelah kiri, misalkan $0,999$, $0,8888$, $0,75$ dan sebagainya. Himpunan $x$ yang lain mendekati nilai $x=1$ dari sebelah kanan semisal nilai $1,0001$, $1,01$, $1,111$ dan sebagainya.

Nilai dari $f(x)$ untuk nilai $x$ disekitar 1 dapat dilihat pada tabel berikut

Selanjutnya, Anda dapat gambar sketsa dari grafik fungsi $f$ sendiri. Anda akan tahu bahwa grafik fungsi $f$ berupa parabola yang mempunyai celah di titik $(1,3)$ seperti pada gambar berikut

Meskipun nilai di titik $x=1$ tidak terdefinisikan, Anda dapat menggambar grafik disekitar nilai $x=1$. Hasil yang Anda dapatkan ternyata nilai $f(x)$ mendekati nilai $3$ senada dengan nilai yang ditunjukkan pada tabel di atas.

Notasi yang digunakan untuk ilustrasi nilai pendekatan di atas adalah$$\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=3$$Dibaca limit fungsi $f(x)$ ketika nilai $x$ mendekati 1 adalah 3.

Secara formal, notasi limit didefinisikan dengan$$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$$mempunyai arti nilai $f(x)$ secara sebarang mendekati nilai $L$ ketika $x$ mendekati $c$ dari sebarang sisi. Dengan kata lain, Limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati nilai $c$ adalah $L$.

Contoh No.1
Tentukan nilai limit dari $f(x)$ ketika $x$ mendekati $2$. Fungsi $f(x)$ didefinisikan dengan$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                                                             1,  &~~~~x\neq 2  \\
                                                                                                             0,  &~~~~x=2
                                                                                                            \end{array}
\right.$$Pembahasan Contoh No.1
Berdasarkan definisi fungsi $f$, nilai fungsi $f(x)$ sama dengan 1 untuk semua $x$ selain 2, maka Anda bisa simpulkan bahwa nilai limitnya adalah 1 atau$$\lim_{x \rightarrow 2}f(x)=1$$Jika dilihat pada grafik fungsi $f$ tersebut, nilai $f(2)=0$ berada diluar grafik $f$ dengan nilai di sekitar $x=2$.

Hal serupa akan terjadi jika dimisalkan fungsi f didefinisikan$$f(x):=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                                                             1,  &~~~~x\neq 2  \\
                                                                                                             3,  &~~~~x=2
                                                                                                            \end{array}
\right.$$yang mempunyai limit sama.$\blacksquare$

Contoh nomor 2.
Temukan nilai fungsi $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$ di titik sekitar $x=0$ untuk menentukan nilai limit$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$$

Pembahasan Contoh 2
Nilai fungsi $f$ di sekitar $x=0$ dapat dilihat di tabel berikut

Berdasarkan nilai pada tabel di atas, Anda dapat simpulkan bahwa nilai limit adalah 2. Grafik dari fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar berikut.

$\blacksquare$

Sejauh ini, Anda sudah mempelajari bagaimana definisi limit. Setelah itu Anda juga membahas (dalam beberapa contoh di atas) bagaimana cara mencari nilai limit suatu fungsi secara numerik dan gambar.

Tidak semua fungsi mempunyai limit di suatu titik. Eksistensi limit pada beberapa fungsi adakalanya tidak ada.

Berikut penjelasannya, kapan nilai limit tidak ada.

Nilai Limit Tak Ada

Nilai limit suatu fungsi di suatu titik tidak selamanya ada. Adakalanya nilai limit tersebut tidak ada dikarenakan beberapa hal. Entah karena tidak konsistennya nilai fungsi di sekitar titik atau tidak terbatasnya nilai fungsi di sekitar titik tersebut.

Secara umum, beberapa perilaku yang menyebabkan nilai suatu limit tidak ada disebabkan oleh beberapa faktor

a. Nilai $f(x)$ mendekati bilangan yang berbeda dilihat dari sebelah kanan dan kiri nilai $x=c$
b. Nilai $f(x)$ naik atau turun tanpa batas ketika nilai $x$ mendekati $c$
c. Nilai $f(x)$ berayun diantara dua nilai tetap ketika nilai $x$ mendekati $c$

Nilai Pendekatan Berbeda dari Kanan dan Kiri
Contoh 3.
Tunjukkan bahwa $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada !

Pembahasan Contoh No.3
Berdasarkan definisi nilai mutlak $|x|$ yaitu$$|x|=\left\{\begin{array}{ll}
                                                            x &~~~\text{jika }x\geq0  \\
                                                            -x &~~~\text{jika }x<0
                                                          \end{array}
\right.$$sehingga fungsi $f$ menjadi$$\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}{ll}
                                                            1 &~~~\text{jika }x>0  \\
                                                            -1 &~~~\text{jika }x<0
                                                          \end{array}
\right.$$Persamaan terakhir memperlihatkan bahwa apapun nilai yang mendekati $x=0$ dari berbeda sisi akan menghasilkan nilai postif dan nilai negatif.

Nilai positif dihasilkan dengan mendekati 0 dari kanan, sedangkan nilai negatif didekati dari sebelah kiri.

Karena $\frac{|x|}{x}$ mendekati nilai yang berbeda ketika bergerak dari kanan dengan ketika bergerak dari kiri. Oleh karena itu, nilai $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{|x|}{x}$ tidak ada. $\blacksquare$

Ketakterbatasan Nilai Fungsi
Contoh 4
Selidiki nilai dari $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}$ !

Pembahasan Contoh No.4
Misalkan fungsi $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$. Perhatikan gambar fungsi $f$ berikut

Anda bisa mengetahui bahwa ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari arah kanan atau dari arah kiri, nilai dari $f(x)$ melonjak sangat tinggi dan tak terbatas. Dengan kata lain, dengan memilih $x$ sedekat mungkin dengan $0$ maka Anda memaksa nilai $f(x)$ sebesar mungkin yang Anda inginkan.

Karena nilai $f(x)$ tidak mendekati suatu bilangan riil $L$ ketika nilai $x$ mendekati $0$ maka nilai $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}$ tidak ada.

Terlalu Banyak Ayunan
Contoh 5
Selidiki eksistensi $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{x}$ !

Pembahasan Contoh 5
Misalkan $f(x)=\sin\frac{1}{x}$. Perhatikan gambar fungsi $f$ berikut

Anda bisa lihat bahwa ketika nilai $x$ mendekati $0$ maka nilai $f(x)$ berayun ayun tak karuan di sekitar nilai $1$ dan $-1$ secara bergantian. Hal ini yang menyebabkan nilai  $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin\frac{1}{x}$ tidak ada.

Cukup dari sini pembahasan tentang pendahuluan limit. Ga usah banyak-banyak nanti mblenger dan keblinger.hehe

Materi berikutnya yang bisa Anda pelajari adalah bagaimana mencari limit suatu fungsi berdasarkan sifat-sifat dari limit suatu fungsi.

Jika ada pertanyaan, silahkan ketik di komentar. Share artikel ini jika dirasa bermanfaat.$$--\star\star\star--$$

Limit fungsi from haimatematika.com

Bagikan

Jangan lewatkan

Pendahuluan Limit

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 04, 2018 Komentar