Geometri Analitik : Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (2019)

geometri universitas

Soal 001

Tentukan nilai \(k\) pada garis \(kx +3y+8=0\) sedemikian sehingga garis tersebut

1. melalui titik \((-1, 4)\)
2. sejajar dengan sumbu-\(x\)
3. mempunyai gradien \(\frac{1}{2}\)

Pembahasan Soal 001

Persamaan garis yang mempunyai parameter \(k\) tersebut adalah \[kx +3y+8=0\]Persamaan garis \(kx +3y+8=0\)  melalui titik \((-1,4)\) . Berdasarkan definisi maka titik  \((-1, 4)\) memenuhi persamaan garis sehingga diperoleh

\begin{eqnarray*}
      kx +3y+8&=&0\\
     -k+12+8&=&0\\
     -k+12+8&=&0\\
    k&=&20
    \end{eqnarray*}
Oleh karena itu nilai \(\boldsymbol{k=20}\).

Berikutnya jika garis \(kx +3y+8=0\)  sejajar dengan sumbu-\(x\), maka garis tersebut merupakan garis horisontal atau persamaan dalam bentuk \(y=c\) dengan \(c \in \mathbb{R}\). Oleh karena itu nilai \(\boldsymbol{k=0}\).

Selanjutnya jika garis garis \(kx +3y+8=0\)  mempunyai gradien \(\frac{1}{2}\). Berdasarkan persamaan garis diperoleh
\begin{eqnarray*}
      kx +3y+8&=&0\\
     y&=&\frac{-k}{3}x+\frac{8}{3}
    \end{eqnarray*}
Karena \(\frac{1}{2}=\frac{-k}{3}\). Oleh karena itu nilai \(\boldsymbol{k=-\frac{3}{2}}\).

Soal 002

Temukan persamaan garis bagi suatu sudut yang dibentuk oleh persamaan garis \(4x+3y-12=0\) dan \(5x-12y-60=0\) !

Pembahasan Soal 002

Misalkan titik \(P(x,y)\) berada di garis bagi sudut yang dimaksud maka jarak titik \(P\) ke garis  \(4x+3y-12=0\)  sama dengan jarak titik \(P\) ke garis \(5x-12y-60=0\).

Jadi dua jarak antara titik ke garis-garis tersebut adalah sama
\begin{eqnarray*}
      \frac{4x+3y-12}{\sqrt{4^2+3^2}}&=&\frac{5x-12y-60}{\sqrt{5^2+12^2}}\\
     13(4x+3y-12)&=&5(5x-12y-60)\\
52x + 39y -156&=&25x-60y-300\\
27x+99y+144&=&0
    \end{eqnarray*}Oleh karena itu persamaan garis bagi sudut yang diinginkan adalah\[\boldsymbol{27x+99y+144=0}\]

Soal 003

Suatu titik \(P (x,y)\) bergerak sedemikian sehingga jumlah jaraknya dari titik \((-3,0)\) dan \((3,0)\) adalah \(8\). Tentukan persamaan dari lintasan yang dibuat titik \(P\) tersebut !

Pembahasan Soal 003

Lintasan yang dibuat titik \(P\) adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tetap adalah konstan yaitu 8.

Tempat kedudukan titik yang dimaksud adalah persamaan ellips.

Sedangkan dua titik tetap tersebut adalah titik fokus. Jadi nilai \(c=3\).

Jarak tetap yang dimaksud bernilai \(2a = 8\) sehingga nilai \(a=4\). Jadi nilai dari \(b^2 = a^2-c^2 =13\).

Oleh karena itu, persamaan ellips yang dimaksud adalah\[\boldsymbol{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{13}=1}\]

Soal 004

Tentukan persamaan parabola dengan titik fokus \((2,4)\) dan persamaan direktris \(x+y=1\) !

Pembahasan Soal 004

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jarak terhadap satu titik tetap (titik fokus) sama dengan jarak terhadap satu garis tetap (direktris).

Sekarang, jarak sebarang titik \((x,y)\) pada parabola terhadap titik fokus \((2,4)\) adalah\[\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}~~~~~~\cdots(1)\]Berikutnya jarak sebarang titik \((x,y)\) pada parabola terhadap direktris  \(x+y=1\)  adalah\[\frac{x+y-1}{\sqrt{2}}~~~~~~~~\cdots(2)\]Berdasarkan definisi parabola di atas, maka persamaan (1) sama dengan (2), yaitu
\begin{eqnarray*}
     \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}&=&\frac{x+y-1}{\sqrt{2}}\\
    (x-2)^2+(y-4)^2 &=&\frac{(x+y-1)^2}{2}\\
x^2+y^2-2xy-6x-14y+39&=&0
    \end{eqnarray*}Oleh karena itu, persamaan parabola yang dimaksud adalah\[\boldsymbol{x^2+y^2-2xy-6x-14y+39=0}\]

Bagikan

Jangan lewatkan

Geometri Analitik : Pembahasan Soal Ujian Tengah Semester (2019)

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq March 26, 2019 Komentar