Pernahkah anda melihat bentuk lintasan peluru meriam, kabel yang kendor di jalan raya, bentuk parabola?
Saya kira Anda akan dengan mudah menyebutkan apa kesamaan dari semua bentuk-bentuk tadi.
Ya, semua bentuk tadi mempunyai kesamaan bentuk yaitu melengkung.
Ada satu titik dari bentuk tadi yang menjadi titik ekstrim, yaitu titik yang paling bawah atau titik yang paling atas.
Dalam dunia matematika, bentuk-bentuk tadi meruapakan grafik dari fungsi kuadrat.
Sebelum belajar fungsi kuadrat, kita belajar dahulu dengan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang selalu menjadi bab yang menjadi idola bagi guru dan pembuat soal. Hal ini dikarenakan begitu banyak macam variasi soal yang dapat dibuat.
Sayangnya bagi beberapa siswa merasa kesulitan di bab persamaan kuadrat ini. Sulit untuk memahami begitu banyak variasi soal tersebut.
Ingin tahu bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah?
Saya coba tunjukkan beberapa cara bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi dua adalah 2 (dua).
Variabel dari suatu persamaan yang dimaksud adalah nilai yang belum ditentukan. Kalau di pelajaran, variabel ini sering dinyatakan dengan huruf \(x\).
Namun, variabel tidak terbatas pada \(x\) saja. Boleh diganti dengan \(p\), bisa dengan \(2x\) bahkan bisa diganti dengan huruf lain atau angka lain.
Lebih mudahnya, bayangkan saja variabel persamaan kuadrat ini adalah suatu kotak yang bisa diisi dengan sebarang sesuatu.
Ada satu titik dari bentuk tadi yang menjadi titik ekstrim, yaitu titik yang paling bawah atau titik yang paling atas.
Dalam dunia matematika, bentuk-bentuk tadi meruapakan grafik dari fungsi kuadrat.
Sebelum belajar fungsi kuadrat, kita belajar dahulu dengan persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang selalu menjadi bab yang menjadi idola bagi guru dan pembuat soal. Hal ini dikarenakan begitu banyak macam variasi soal yang dapat dibuat.
Sayangnya bagi beberapa siswa merasa kesulitan di bab persamaan kuadrat ini. Sulit untuk memahami begitu banyak variasi soal tersebut.
Ingin tahu bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mudah?
Saya coba tunjukkan beberapa cara bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat.
Apa itu Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi dua adalah 2 (dua).
Variabel dari suatu persamaan yang dimaksud adalah nilai yang belum ditentukan. Kalau di pelajaran, variabel ini sering dinyatakan dengan huruf \(x\).
Namun, variabel tidak terbatas pada \(x\) saja. Boleh diganti dengan \(p\), bisa dengan \(2x\) bahkan bisa diganti dengan huruf lain atau angka lain.
Lebih mudahnya, bayangkan saja variabel persamaan kuadrat ini adalah suatu kotak yang bisa diisi dengan sebarang sesuatu.
Jadi bentuk umum persamaan kuadrat
$$ax^{2}+bx+c=0,~~~a \neq 0$$dimana $a,b,c \in \mathbb{R}$ atau bilangan riil. Huruf $x$ disebut variabel dari persamaan kuadrat, $a$ dinamakan koefisien $x^{2}$, sedangkan $b$ merupakan koefisien dari $x$ dan $c$ adalah konstanta.
Suatu persamaan dengan variabel yang belum ditentukan nilainya membutuhkan solusi.
Solusi di sini maksudnya adalah suatu nilai \(x\) yang memenuhi persamaan kuadrat. Dengan kata lain, jika nilai \(x\) disubtitusi ke dalam persamaan, maka persamaan bernilai benar.
Solusi dari persamaan kuadrat lebih dikenal dengan akar-akar persamaan kuadrat.
Solusi di sini maksudnya adalah suatu nilai \(x\) yang memenuhi persamaan kuadrat. Dengan kata lain, jika nilai \(x\) disubtitusi ke dalam persamaan, maka persamaan bernilai benar.
Solusi dari persamaan kuadrat lebih dikenal dengan akar-akar persamaan kuadrat.
Baca juga : Bagaimana petani memanfaatkan persamaan kuadrat.
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat adalah semua nilai yang memenuhi persamaan kuadrat. Nilai yang apabila disubtitusikan ke dalam persamaan kuadrat akan menjadikan persamaan tersebut pernyataan yang benar.
Contoh 1
Bilangan \(x=2\) merupakan solusi dari persamaan kuadrat\[3x^{2}-13x+14=0\]karena jika nilai \(x=2\) disubtutisikan ke dalam persamaan kuadrat tersebut menjadi\[
\begin{eqnarray*}
3(2^{2})-13(2)+14&=&0\\
3(4)-26+14&=&0\\
12-26+14&=&0
\end{eqnarray*}
\]Jadi persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Oleh karena itu, \(x=2\) terbukti menjadi akar dari persamaan kuadrat \(3x^{2}-13x+14=0\).
Lalu bagaimana mencari semua akar-akar dari persamaan kuadrat?
Terdapat tiga macam cara untuk menemukan akar-akar persamaan, yaitu dengan pemfaktoran, kuadrat sempurna dan dengan memakai rumus mencari akar persamaan kuadrat.
Kenapa ada tiga macam cara ya?
Terkadang pencarian akar-akar persamaan kuadarat lebih mudah ditemukan dengan menggunakan satu cara saja dibandingkan dengan cara yang lain.
Akan tetapi ada juga menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat bisa dikerjakan oleh ketiga cara tersebut.
Kita lihat cara yang pertama terlebih dahulu, yaitu pemfaktoran
#1. Pemfaktoran
Cara mencari akar-akar persamaan kuadrat yang pertama adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut.Pemfaktoran ini adalah proses menjadikan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor.$$\begin{eqnarray*} ax^{2}+bx+c &=& 0 \\ (x-x_{1})(x-x_{2}) &=& 0 \end{eqnarray*}$$ Nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ atau juga disebut solusi dari persamaan kuadrat.
#2. Kuadrat Sempurna
Salah satu untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan membentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kudarat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut $$\left(x-a\right)^{2}=b ~~~~\text{dengan } q>0$$#3. Rumus
Cara yang paling cepat dan seringkali digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus $abc$. Barangkali cara ini adalah satu-satunya cara yang bisa digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat dalam bentuk apapun karena langsung mensubtitusikan nilai-nilai koefisien pada persamaan kuadrat. Rumus mencari akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ yang dimaksud adalah $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$Contoh
Cari akar-akar dari persamaan kuadrat $$x^{2}+x-2=0$$Cara I (Memfaktorkan)
Persamaan kuadrat $x^{2}+x-2=0$ dapat difaktorkan menjadi$$\begin{eqnarray*} x^{2}+x-2&=& 0 \\ (x+2)(x-1) &=&0 \\ \Leftrightarrow x_{1}&=&-2 ~~\text{atau}\\ x_{2}&=&1 \end{eqnarray*}$$ Jadi akar-akar dari $x^{2}+x-2=0$ adalah -2 dan 1.
Cara II (Melengkapkan Kuadrat Sempurna)$$\begin{eqnarray*} x^{2}+x-2 &=& 0 \\ x^{2}+x &=& 2\\ x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} &=& 2+\frac{1}{4}\\ \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}&=&\frac{9}{4}\\ x +\frac{1}{2}&=& \pm \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}&=&\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\\ x_{2}=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\end{eqnarray*}$$ Jadi akar-akar dar i$x^{2}+x-2=0$ adalah -2 dan 1.
Cara III (Rumus $abc$)
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+x-2=0$ diperoleh koefisien-koefisien $a=1, b=1, c=-2$. Dengan memakai rumus $abc$ diperoleh $$\begin{eqnarray*}x_{1,2}&=&\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ &=& \frac{-1\pm \sqrt{1^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1} \\ &=& \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}\\ \Leftrightarrow x_{1}&=&\frac{-1-3}{2}=-2\\x_{2}&=&\frac{-1+3}{2}=1\end{eqnarray*}$$ Jadi akar-akar dari $x^{2}+x-2=0$ adalah -2 dan 1.
#2. Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat dibedakan berdasarkan nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$. Jenis akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
1. Nilai diskriminan $D>0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang berlainan, yaitu $x_{1} \neq x_{2}$
2. Nilai diskriminan $D=0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang sama, yaitu $x_{1} = x_{2}$
3. Nilai diskriminan $D<0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan imajiner
4. Nilai diskriminan $D=k^{2}$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan rasional.
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-mx+4=0$ mempunyai akar-akar bilangan imajiner, maka berapa nilai bilangan bulat $m$?
Solusi Persamaan kudrat $x^{2}-mx+4=0$ memberikan nilai $a=1; b=-m, c=4$. Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar imajiner adalah $D=b^{2}-4ac<0$ $$ \begin{eqnarray*} b^{2}-4ac &<& 0 \\ (-a)^{2}-4(1)(4) &<& 0 \\a^{2}-16&<&0\\(a-4)(a+4)&<&0\end{eqnarray*}$$ Oleh karena itu nilai bilangan bulat $m$ adalah $\boldsymbol{\left\{-3,-2,-1, \cdots , 3\right\}}$.
#3. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat
Hasil operasi akar-akar persamaan kuadrat bisa langsung diketahui tanpa terlebih dahulu mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumusan yang dipakai adalah dengan mengunakan koefisien-koefisien yang membentuk persamaan kuadrat. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka
$$\begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} &=& \frac{-b}{a} \\ x_{1}\cdot x_{2} &=& \frac{c}{a}\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &=& \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\\ \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2} &=& \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}\\ x_{1}^{3}+x_{2}^{3} &=&\left( x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}&=& \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\end{eqnarray*} $$
Contoh
Jumlah kebalikan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}-9x+4=0$ adalah
Solusi Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat $3x^{2}-9x+4=0$ adalah $a=3; b=-9; c=4$. Jadi diperoleh nilai $$ \begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} &=& \frac{-b}{a}=\frac{9}{3}=3 \\ x_{1}\cdot x_{2} &=& \frac{c}{a}=\frac{4}{3} \end{eqnarray*} $$ Oleh karena itu, jumlah dari kebalikan akar-akarnya adalah $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{4/3}=\frac{9}{4}$.
#2. Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar dari persamaan kuadrat dapat dibedakan berdasarkan nilai diskriminan $D=b^{2}-4ac$. Jenis akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
1. Nilai diskriminan $D>0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang berlainan, yaitu $x_{1} \neq x_{2}$
2. Nilai diskriminan $D=0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan riil yang sama, yaitu $x_{1} = x_{2}$
3. Nilai diskriminan $D<0$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan imajiner
4. Nilai diskriminan $D=k^{2}$, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar bilangan rasional.
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-mx+4=0$ mempunyai akar-akar bilangan imajiner, maka berapa nilai bilangan bulat $m$?
Solusi Persamaan kudrat $x^{2}-mx+4=0$ memberikan nilai $a=1; b=-m, c=4$. Syarat agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar imajiner adalah $D=b^{2}-4ac<0$ $$ \begin{eqnarray*} b^{2}-4ac &<& 0 \\ (-a)^{2}-4(1)(4) &<& 0 \\a^{2}-16&<&0\\(a-4)(a+4)&<&0\end{eqnarray*}$$ Oleh karena itu nilai bilangan bulat $m$ adalah $\boldsymbol{\left\{-3,-2,-1, \cdots , 3\right\}}$.
#3. Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat
Hasil operasi akar-akar persamaan kuadrat bisa langsung diketahui tanpa terlebih dahulu mencari akar-akar persamaan kuadrat. Rumusan yang dipakai adalah dengan mengunakan koefisien-koefisien yang membentuk persamaan kuadrat. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka
$$\begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} &=& \frac{-b}{a} \\ x_{1}\cdot x_{2} &=& \frac{c}{a}\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &=& \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\\ \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2} &=& \frac{b^{2}-4ac}{a^{2}}\\ x_{1}^{3}+x_{2}^{3} &=&\left( x_{1}+x_{2}\right)^{3}-3x_{1}x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\\ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}&=& \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}\end{eqnarray*} $$
Contoh
Jumlah kebalikan akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^{2}-9x+4=0$ adalah
Solusi Koefisien-koefisien dari persamaan kuadrat $3x^{2}-9x+4=0$ adalah $a=3; b=-9; c=4$. Jadi diperoleh nilai $$ \begin{eqnarray*} x_{1}+x_{2} &=& \frac{-b}{a}=\frac{9}{3}=3 \\ x_{1}\cdot x_{2} &=& \frac{c}{a}=\frac{4}{3} \end{eqnarray*} $$ Oleh karena itu, jumlah dari kebalikan akar-akarnya adalah $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3}{4/3}=\frac{9}{4}$.
Bagikan
Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
2 comments
Tulis comments-9/3 harusnya hasilnya kan -3
Replyapa beda persamaan kuadrat dengan fungsi kuadrat
ReplyHai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.