Hai selamat berjumpa lagi dengan matematika. Kali ini kita akan mempelajari bahasan di matematika sma, yaitu integral tak tentu. Sebelum Anda bertanya apa itu integral, saya beritahu bahwa konsep integral sangat berkaitan erat dengan bahasan tentang turunan di matematika sma.
Saya ingin ketika Anda mendengar atau membaca istilah integral, maka tanamkan dalam otak Anda dan dalam pikiran Anda bahwa integral adalah anti turunan atau juga kebalikan dari turunan.
Hal ini berarti bahwa jika suatu fungsi F(x) yang mempunyai sifat F'(x)=f(x) maka fungsi F(x) dikatakan sebagai anti turunan dari fungsi f(x). Dengan kata lain anti turunan dari fungsi f(x) yang disebut dengan integral dinotasikan dengan $$ \int f(x) dx$$ yang dibaca integral fungsi f(x) terhadap x. Lebih khusus lagi dinamakan integral tak tentu f(x).
Integral tersebut dinamakan tak tentu karena hasil integral dari fungsi tersebut menghasilkan tak tentu nilai, banyak nilai. Terdapat konstanta yang muncul dari perhitungan ini yang menyatakan bahwa semua konstanta memenuhi fungsi anti turunan tersebut.
Secara umum integral tak tentu dari fungsi f(x) dituliskan dengan $$ \int f(x) dx = F(x)+C$$ dengan bagian f(x) dinamakan dengan integran, bagian F(x) dinamakan fungsi intergal umum dan C adalah konstanta pengintegralan.
Contoh
Anda sudah belajar turunan fungsi sehingga Anda tentu mengetahui bahwa jika fungsi $f(x)=2x+3$ maka turunan dari fungsi adalah $f'(x)=2$.
Dalam konteks integral, dapat dikatakan integral dari fungsi $F(x)=2$ adalah $$\int F(x) dx=2x+C$$ Anda bisa lihat di atas, tidak terdapat nilai 3 sebagaimana di fungsi $f(x)=2x+3$ akan tetapi diganti dengan konstanta C yang berarti bisa diganti dengan sebarang nomor, tidak 3 saja.
Anda bisa lihat lagi contoh berikut untuk memperjelas dan mempertajam lagi pengetahuan Anda dengan konsep integral tak tentu
Contoh
Fungsi $g(x)=2x^{2}-2x$ mempunyai turunan fungsi $g'(x)=4x-2$ maka dapat dikatakan bahwa integral dari fungsi $h(x)=4x-2$ adalah $$\int h(x) dx = \int 4x-2 ~dx = 2x^{2}-2x+C$$ dengan nilai C adalah sebarang konstanta.
Dari sini, Anda telah mengetahui definisi dari integral tak tentu. Tapi apakah Anda bisa melakukan perhitungan langsung pengintegralan tanpa harus diketahui dulu turunan dari suatu fungsi. Sifat dan aturan dari integral tak tentu akan sangat membantu dalam hal ini.
Sifat-sifat dan Aturan Integral Tak Tentu
Misalkan f(x) dan g(x) mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalah konstanta. Maka sifat-sifat berikut berlaku1. $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$
2. $\int \left(f(x)+g(x) \right) dx = \int f(x) dx + \int f(x) dx$
3. $\int \left(f(x)-g(x) \right) dx = \int f(x) dx - \int f(x) dx$
Disamping sifat-sifat yang telah disebutkan, integral tak tentu mempunyai aturan-aturan yang akan membantu Anda mempermudah dalam perhitungan integral tak tentu dari fungsi. Aturan aturan itu adalah sebagai berikut
#1. Aturan fungsi konstan.
Jika suatu fungsi konstan $f(x)=k$ maka intregral dai fungsi konstan adalah $$\int k dx = kx +C$$ dengan nilai k dan C adalah konstanta
Contoh
Berapa nilai integral berikut $\int dx $?
Maka dengan mudah berdasarkan aturan tersebut diperoleh $\int dx = x + C$.
Berapa nilai integral berikut $\int dx $?
Maka dengan mudah berdasarkan aturan tersebut diperoleh $\int dx = x + C$.
#2. Aturan fungsi pangkat.
Fungsi pangkat adalah fungsi dengan bentuk $f(x)=x^{n}$ maka nilai integral adalah $$\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,~~~~n\neq 1$$ dengan n adalah bilangan rasional dan C adalah konstanta.
Contoh Soal
Hasil dari $\int \left(3x^{2}-4x+5\right) dx$ adalah
Berdasarkan aturan dan sifat integral maka didapatkan
$$\begin{array}{lll}
\int \left(3x^{2}-4x+5\right) dx & = & \int \left(3x^{2}\right) dx-\int 4x dx + \int 5 dx\\
& = & 3 \int x^{2} dx - 4 \int x dx+ 5x +C\\
&=& \frac{3x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{2}+5x+C\\
&=& x^{3}-2x^{2}+5x+C
\end{array}$$
Hasil dari $\int \left(3x^{2}-4x+5\right) dx$ adalah
Berdasarkan aturan dan sifat integral maka didapatkan
$$\begin{array}{lll}
\int \left(3x^{2}-4x+5\right) dx & = & \int \left(3x^{2}\right) dx-\int 4x dx + \int 5 dx\\
& = & 3 \int x^{2} dx - 4 \int x dx+ 5x +C\\
&=& \frac{3x^{3}}{3}-\frac{4x^{2}}{2}+5x+C\\
&=& x^{3}-2x^{2}+5x+C
\end{array}$$
Contoh Soal
Nilai dari integral $\int x \sqrt{x} dx$ adalah
Langkah pertama adalah dengan merubah dahulu bentuk integran $x \sqrt{x}$ menjadi $x\cdot x^{1/2}$ atau $x^{3/2}$. Selanjutnya berdasarkan aturan dan sifat integral tak tentu didapatkan
$$\begin{array}{lll}
\int x \sqrt{x} dx & = & \int x^{3/2} dx\\
& = & \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C\\
&=& \frac{2}{5}x^{5/2}+C\\
&=& \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}+C
\end{array}$$
Nilai dari integral $\int x \sqrt{x} dx$ adalah
Langkah pertama adalah dengan merubah dahulu bentuk integran $x \sqrt{x}$ menjadi $x\cdot x^{1/2}$ atau $x^{3/2}$. Selanjutnya berdasarkan aturan dan sifat integral tak tentu didapatkan
$$\begin{array}{lll}
\int x \sqrt{x} dx & = & \int x^{3/2} dx\\
& = & \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C\\
&=& \frac{2}{5}x^{5/2}+C\\
&=& \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}+C
\end{array}$$
Bagikan
Matematika SMA - Integral Tak Tentu
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
Hai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.