Fungsi Logaritma Natural

kalkulus universitas

Hai sobat matematika!

Sebelum Anda melanjutkan tentang bahasan logaritma natural, silahkan Anda pelajari dahulu bahasan logaritma di sini.

Ingatkah Anda pada aturan pangkat umum di bahasan topik integral? Kalau tidak ingat mari saya bangunkan.hehe

Aturan pangkat pada integral berkata bahwa$$\int x^{n}~dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,~~~~n\neq1$$Seperti yang tersebut diatas, aturan pangkat memiliki perkecualian--aturan tidak berlaku untuk $n=1$.

Artinya pada bahasan intergal, Anda tidak menemukan integral dari fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$. Kali ini saya akan memberitahu Anda pendefinisian fungsi tersebut.

Fungsi tersebut, sekedar informasi, bukan merupakan fungsi aljabar ataupun fungsi trigometri. Akan tetapi masuk dalam kategori fungsi lainnya yang disebut fungsi logaritma.

Fungsi Logaritma Natural

Salah satu fungsi logaritma yang terpenting adalah fungsi logaritma natural. Pendefinisian fungsi tersebut sebagai berikut

DEFINISI 1. FUNGSI LOGARITMA NATURAL
Fungsi logaritma natural didefinisikan dengan$$\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt,~~~~x>0$$Domain dari fungsi logaritma natural adalah semua himpunan bilangan riil positif.

Jadi notasi untuk logaritma natural adalah $\ln x$. Berdasarkan definisi di atas juga, Anda dapat mengerti bahwa$$
\begin{eqnarray*}
  \ln x &>& 0~~~~~\text{ketika }~~~x>0 \\
  \ln x &<& 0~~~~~\text{ketika}~~~0<x>1\\
  \ln x&=& 0~~~~~\text{ketika }~~~x=1
\end{eqnarray*}$$ Berdasarkan definisi di atas juga dapat dilihat sifat-sifat dari grafik yang dimiliki fungsi logaritma natural.

Berikut merupakan sifat dasar dari fungsi logaritma natural yang saya maksud

TEOREMA 1. SIFAT DASAR FUNGSI LOGARITMA NATURAL
1. Domain dari fungsi logaritma natural adalah $(0,\infty)$ dan daerah hasil berada pada $(-\infty,\infty)$
2. Fungsi logaritma natural kontinu, naik, dan fungsi satu-satu.
3. Grafik dari fungsi logaritma natural cekung kebawah.

Nah sudah tahu belum ciri-ciri dari fungsi logaritma natural? Anda mulai mengerti dari sini.

Sekarang coba Anda lihat sketsa dari grafik fungsi logaritma natural di bawah ini

Baca Juga : Bagaimana limit didefinisikan pada fungsi


Selanjutnya saya akan mengajak Anda untuk melihat sifat fungsi logaritma natural yang juga berlaku untuk fungsi logaritma secara umum.

TEOREMA 2. SIFAT FUNGSI LOGARITMA
1. $\ln (1)=0$

2. $\ln (a+b)=\ln a + \ln b$

3. $\ln(a^{n})=n \ln a$

4. $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b$

Contoh Soal 1.
a. $\ln \frac{13}{6}=\ln 13 - \ln 6$
b. $\ln \sqrt{3x+2}=\ln (3x+2)^{1/2}$ $=\frac{1}{2}\ln (3x+2)$
c. $\ln \frac{3x}{2} = \ln 3x - \ln 2$ $=\ln 3+\ln x - \ln 2$
d. $\ln \frac{(x^{2}+3)^{2}}{x\sqrt[3]{x^{2}+1}} = 2\ln(x^{2}+3)-\ln x - \frac{1}{3}\ln(x^{2}+1) $

Bilangan $e$

Anda mungkin sudah belajar fungsi logaritma di sekolah. Pada saat itu, tanpa pengetahuan kalkulus, logaritma didefinisikan dengan bilangan basis.

Misalkan, logaritma biasa $\log x$ mempunyai basis 10 sehingga $^{10}\log 10 =1$.

Jadi untuk fungsi logaritma natural, terdapat nilai $x$ sedemikian sehingga $\ln x =1$. Bilangan tersebut dilambangkan dengan huruf $e$.

Bilangan $e$ merupakan bilangan irrasional dengan pendekatan desimal$$e \approx 2.71828182846$$Jika Anda menggunakan sifat fungsi logaritma pada teorema 2 di atas maka dapat ditunjukkan$$
\begin{eqnarray*}
 \ln(e^{n})  &=& n\ln e \\
   &=& n (1) = n
\end{eqnarray*}$$Tabel berikut memberikan informasi tentang nilai dari $\ln(e^{n})$ untuk beberapa nilai $n$

Turunan Fungsi Logaritma Natural

Turunan fungsi logaritma natural diberikan pada teorema 3 di bawah ini. Bagian pertama berbicara tentang anti turunan dan bagian kedua aturan rantai.

TEOREMA 3. TURUNAN FUNGSI LOGARITMA NATURAL
Misalkan $u$ adalah fungsi dengan variabel $x$ dan terdeferensialkan.
1. $\frac{d}{dx}\left[\ln x\right]=\frac{1}{x},~~~x>0$

2. $\frac{d}{dx}\left[\ln u\right]=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}=\frac{u'}{u},~~~~u>0$

Perhatikan contoh soal mencari turunan fungsi logaritma natural berikut ini.

Contoh Soal 2.
a. $\frac{d}{dx}\left[\ln (2x)\right]$ $=\frac{u'}{u}=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$

b. $\frac{d}{dx}\left[\ln (x^{2}+1)\right]$ $=\frac{u'}{u}=\frac{2x}{x^{2}+1}$

c. $\frac{d}{dx}\left[x \ln x\right]$ $=x\left(\frac{d}{dx}\left[\ln x\right]\right)+\ln x \left(\frac{d}{dx}\left[x\right]\right)=1+\ln x$

d. $\frac{d}{dx}\left[(\ln x)^{3}\right]$ $=3 (\ln x)^{2}\frac{d}{dx}\left[ln x\right]$ $=3(\ln x)^{2}\frac{1}{x}$

Sedangkan dua contoh soal berikut menjelaskan penggunaan sifat fungsi logaritma untuk menyelesaikan turunan fungsi logaritma.

Contoh Soal 3.
Turunkan fungsi $f(x)=\ln \sqrt{x+1}$

Pembahasan Contoh Soal 3
Pertama Anda harus mengubah bentuk fungsi tersebut menjadi $f(x)=\ln \sqrt{x+1}=\ln (x+1)^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (x+1)$. Jadi$$f'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2(x+1)}$$

Contoh Soal 4.
Fungsi $f(x) = \ln \frac{x(x^{2}+1)^{2}}{\sqrt{2x^{3}-1}}$

Pembahasan Contoh Soal 4.
Bentuk lain fungsi adalah $f(x)=\ln x+2\ln(x^{2}+1) - \frac{1}{2}\ln (2x^{3}-1)$ sehingga diperoleh$$\begin{eqnarray*}
 f'(x)  &=& \frac{1}{x}+2\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{6x^{2}}{2x^{3}-1}\right) \\
   &=&  \frac{1}{x}+\frac{4x}{x^{2}+1}-\frac{3x^{2}}{2x^{3}-1}
\end{eqnarray*}$$Fungsi logaritma juga bisa digunakan sebagai bantuan untuk menurunkan fungsi bukan logaritma. Prosedur ini dinamakan penurunan logaritma

Contoh Soal 5.
Tentukan turunan dari$$y=\frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2$$Pembahasan Contoh Soal 5.
Diketahui bahwa $y>0$ untuk semua $x \neq 2$. Jadi $\ln y$ terdefinisi.
Langkah pertama kenakan fungsi logaritma natural pada kedua ruas, selanjutnya gunakan sifat fungsi logaritma natural dan turunkan secara implisit. Terakhir selesaikan persamaan untuk $y'$.$$\begin{eqnarray*}
  y &=& \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2 \\
 \ln y  &=& \ln \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}},~~~~x\neq2 \\
 \ln y &=& 2 \ln (x-2)-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\\
 \frac{y'}{y}&=&2\left(\frac{1}{x-2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right)\\
 &=&\frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 y'&=& y \frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 &=& \frac{(x-2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\frac{x^{2}+2x+2}{(x-2)(x^{2}+1)}\\
 &=& \frac{(x-2)(x^{2}+2x+2)}{(x^{2}+1)^{3/2}}
\end{eqnarray*}$$Latihan berikut diberikan untuk melatih pemahaman Anda tentang turunan fungsi logaritma.

LATIHAN 1

Untuk nomor 1 - 10, Gunakan sifat fungsi logaritma natural untuk mengekspansi fungsi logaritma berikut
$\begin{array}{ll}
1.~~\ln \frac{x}{4}  &~~~~~~6.~~\ln\sqrt{5}   \\
2.~~\ln \frac{xy}{z}  &~~~~~~7.~~\ln(xyz)   \\
3.~~\ln \left(x\sqrt{x^{2}+5}\right)  &~~~~~~8.~~\ln \sqrt{a-1}   \\
4.~~\ln \sqrt{\frac{x-1}{x}}  &~~~~~~9.~~\ln(3e^{2})   \\
5.~~\ln z(z-1)^{2}  &~~~~~~10.~~\ln\frac{1}{e}   \\
\end{array}$

Untuk nomor 11 - 16 tulis ekspresi fungsi logaritma dalam satu kesatuan
$
\begin{array}{ll}
11.~~\ln (x-2) - \ln(x+2)  &~~~~~~~~16.~~3 \ln x + 2\ln y - 4\ln z   \\
12.~~\frac{1}{3}\left[2 \ln(x+3)+\ln x - \ln (x^{2}-1) \right] &   \\
13.~~2\left[\ln x + \ln (x+1) - \ln (x-1) \right] &   \\
14.~~2 \ln 3 - \frac{1}{2}\ln (x^{2}+1) &   \\
15.~~\frac{1}{2}\left[\ln (x^{2}+1)- \ln (x+1) - \ln (x-1)\right]&
\end{array}$

Untuk nomor 17 - 20, tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi logaritma di titik $(1,0)$
$
\begin{array}{ll}
17.~~y=\ln x^{3}   &~~~~~~~~19.~~y = \ln x^{3/2}  \\
18.~~y=x^{4}   &~~~~~~~~20.~~y = \ln x^{1/2}
\end{array}
$

Untuk nomor 21 - 30 Tentukan turunan dari fungsi fungsi berikut
$
\begin{array}{ll}
21.~~y=x ^{2}\ln 2   &~~~~~~~~26.~~y = \ln (\ln x^{2})  \\
22.~~y=\ln (t+1)^{2}  &~~~~~~~~27.~~y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \\
23.~~y=\ln (x\sqrt{x^{2}-1})  &~~~~~~~~28.~~y = \ln \left|\sin x \right| \\
24.~~f(x)=\ln \left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)  &~~~~~~~~29.~~y = \ln \sqrt{2 + \cos^{2} x } \\
25.~~g(t)=\frac{\ln t}{t^{2}}  &~~~~~~~~30.~~y = \ln \left|\frac{-1+\sin x}{2 + \sin x}\right| \\
\end{array}
$

Baca juga : Pembahasan Soal Teori Graf

Aturan Logaritma untuk Pengintegralan

Aturan penurunan pada fungsi logaritma yang Anda sudah pelajari pada bagian sebelumnya adalah$$
\frac{d}{dx}\left[\ln |x|\right]~~~~\text{dan}~~~~\frac{d}{dx}\left[\ln |u|\right]=\frac{u'}{u}
$$Sedangkan untuk aturan pengintegralan fungsi logaritma adalah sebagai berikut

TEOREMA 4. ATURAN LOGARITMA UNTUK PENGINTEGRALAN
Misalkan $u$ merupakan fungsi variabel $x$ yang terdeferensialkan maka
$
\begin{array}{ll}
 1.~~\int \frac{1}{x}~dx=\ln |x|+C  &~~~~~2.~~\int \frac{1}{u}~du=\ln |u|+C~~~~3.\int \frac{u'}{u}dx=\ln \left|u\right|+C
\end{array}
$

Penggunaan Aturan Fungsi Logaritma dalam Pengintegralan
Perhatikan contoh pengunaan sifat-sifat fungsi logaritma dalam pengintegralan suatu fungsi
Contoh Soal 6$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{2}{x}dx  &=& 2 \int \frac{1}{x}dx \\
 &=& 2 \ln |x| + C \\
 &=& \ln (x^{2})+C
\end{eqnarray*}$$Menggunakan aturan fungsi logaritma dengan merubah variabel
Pada contoh berikut penggunaan aturan fungsi logaritma dengan merubah variabel atau pemisalan.
Contoh Soal 7
Temukan nilai dari $\int \frac{1}{4x-1}dx$

Pembahasan Contoh Soal 7
Misalkan $u=4x-1$ maka $du=4 dx$ sehingga$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{1}{4x-1}dx  &=&  \frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{4x-1}\right) 4 dx\\
 &=& \frac{1}{4}\int \frac{1}{u}du\\
 &=&\frac{1}{4}\ln |u|+C \\
 &=& \frac{1}{4}\ln |4x-1|+C
\end{eqnarray*}$$Menemukan Luas Daerah dengan aturan fungsi logaritma
Pada bahasan aplikasi integral, Anda belajar luasan daerah di bawah kurva. Contoh berikut menerangkan hal tersebut beserta dengan penggunaan sifat fungsi logaritma.
Contoh Soal 8.
Temukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik $y=\frac{x}{x^{2}+1}$, sumbu $x$ dan barisan $x=3$.

Pembahasan Contoh Soal 8
Luas daerah yang dimaksud dengan menggunakan integral tertentu adalah sebagai berikut$$L = \int_{0}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}~dx$$Misalkan $u=x^{2}+1$ maka $u'=2x$ sehingga diperoleh$$ \begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
 L  &=&   \int_{0}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}~dx\\
   &=&  \frac{1}{2} \int_{0}^{3}\frac{2x}{x^{2}+1}~dx\\
   &=& \frac{1}{2} \int_{0}^{3}\frac{u'}{u}~dx\\
   &=& \frac{1}{2} \left.\ln |u|\right]_{0}^{3} \\
   &=& \frac{1}{2} \left[\ln (x^{2}+1)\right]_{0}^{3} \\
   &=& \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 1) \\
   &=& \frac{1}{2}\ln 10 \approx 1.151
\end{eqnarray*}$$

Jangan Lewatkan : Kaidah Penjumlahan dan Perkalian

Bentuk Pecahan dari Aturan Fungsi
Contoh berikutnya berbicara tentang bentuk pecahan yang melibatkan aturan fungsi logaritma
Contoh Soal 9
a. $\int \frac{3x^{2}+1}{x^{3}+x}~dx=\ln \left|x^{3}+x\right|+C$        $;\color{red}u\color{red}=\color{red}x^\color{red}{3}\color{red}+\color{red}x$

b. $\int\frac{\sec^{2}x}{\tan~x}~dx=\ln |\tan~x|+C$             $;\color{red}u\color{red}=\color{red}\tan~\color{red}x$

c. $\int\frac{x+1}{x^{2}+2x}~dx$ $=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^{2}+2x}~dx$ $=\frac{1}{2}\ln \left|x^{2}+2x\right|+C$        $;\color{red}u\color{red}=\color{red}x^\color{red}{2}\color{red}+\color{red}2\color{red}x$

d. $\int\frac{1}{3x+2}~dx$ $=\int\frac{3}{3x+2}~dx$ $=\frac{1}{3}\ln\left|3x+2\right|+C$            $;\color{red}u\color{red}=\color{red}3\color{red}x\color{red}+\color{red}2$

Contoh 9 melihatkan bahwa Anda tidak perlu memisalkan $u$ sebagai fungsi di penyebutnya. Tapi Anda membuat sedemikian rupa sehingga bentuknya menyerupai fungsi $u$ di bagian 2 pada teorema 4 di atas.

Perhatikan lagi bagian (a) pada contoh di atas, bentuk $x^{3}+x$ jika dianggap bentuk $u$ maka dengan teorema 4 bagian (2) Anda dapat menyelesaikan langsung seperti pada contoh 4.

Tidak beda juga pada kasus (c) di contoh 9, jika kita anggap bentuk $x^{2}+2x$ adalah $u$ pada teorema 4 maka Anda buat sedemikian rupa bagian penyebutnya adalah turunan dari $u$ atau $u'$.

Karena pembilang pada soal di contoh 9 adalah $x+1$ maka diubah menjadi $\frac{1}{2}(2x+2)$ supaya ada bentuk turunan dari $x^{2}+2x$ yaitu $2x+2$.

Menggunakan Pembagian sebelum Pengintegralan
Pengintegralan yang melibatkan aturan fungsi logaritma biasanya mempunyai bentuk tak biasa. Sebagai contoh pengintegralan fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih dari atau sama dengan derajat penyebut.

Contoh Soal 10
Temukan nilai dari $\int\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}~dx$

Pembahasan Contoh Soal 10
Sebelum proses integral, akan dilakukan terlebih dahulu proses pembagian seperti berikut$$ \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}=1+\frac{x}{x^{2}+1}$$sekarang bisa dilakukan pengintegralan$$\begin{eqnarray*}
 \int\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}~dx  &=&  \int\left(1+\frac{x}{x^{2}+1}\right)~dx\\
   &=&  \int  dx + \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^{2}+1} dx \\
   &=& x+ \frac{1}{2} \ln (x^{2}+1)+C
\end{eqnarray*}$$Merubah Variabel dengan Aturan Fungsi Logaritma
Contoh berikut merupakan bentuk lain dari penggunaan aturan fungsi logaritma dengan proses perubahan variabel

Contoh Sooal 11.
tentukan nilai dari $\int \frac{2x}{(x+1)^{2}} dx$

Pembahasan Contoh Soal 11.
Misalkan $u=x+1$ maka diperoleh $du=dx$ dan $x=u-1$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 \int \frac{2x}{(x+1)^{2}} dx  &=& \int \frac{2(u-1)}{(u)^{2}} du \\
   &=&  2\int\left(\frac{u}{u^{2}}-\frac{1}{u^{2}}\right)du\\
   &=& 2\int\frac{du}{u}-2\int\frac{du}{u^{2}}\\
   &=& 2\ln |u|-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)+C\\
   &=& 2\ln |u|+\frac{2}{u}+C \\
   &=& 2 \ln |x+1|+\frac{2}{x+1}+C
\end{eqnarray*}$$
Dari beberapa contoh di atas, contoh 11 dan contoh 12, Anda dituntut untuk bisa menyajikan bentuk integrand - fungsi yang diintegralkan- ke dalam bentuk lain sedemikian sehingga dapat diselesaikan menggunakan aturan fungsi logaritma.

Untuk menguasai teknik ini, diperluan kemampuan mengenali perubahan bentuk dari integrand. Karena proses pengintegralan tidak selalu bisa dilakukan langsung seperti layaknya proses turunan.

Integral Fungsi Trigonometri

Anda tentu sudah mempelajari aturan dasar pengintegralan fungsi trigonometri yang langsung diperoleh dari aturan turunan. Namun dengan aturan tambahan dari fungsi logaritma, akan memperlengkap aturan pengintegralan fungsi trigonometri.

Menggunakan Indetitas Fungsi Trigonometri
Contoh Soal 13
Temukan $\int \tan x dx$

Pembahasan Contoh Soal 13.
menggunakan aturan dsar pengintegralan Anda tidak menemukan langsung formula integral dari fungsi $\tan x$, namun dengan mengetahui bahwa $\tan x = \frac{sin x}{\cos x}$ dan $\frac{d}{dx}[\cos x]=\sin x$ maka dapat Anda boleh memisalkan $u= \cos x$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
 \int \tan x dx  &=&  - \int\frac{-\sin x}{\cos x}dx\\
   &=&  -\int\frac{u'}{u}du\\
   &=& -\ln |u|+C \\
   &=& -\ln |\cos x|+C
\end{eqnarray*}$$Pada contoh 8 proses yang ditempuh adalah menggunakan identitas trigonometri untuk menentukan integral dari fungsi $\tan x$. Contoh berikutnya memberikan ilustrasi yang berbeda

Penurunan Formula Secan
Contoh Soal 14
Tentukan nilai $\int \sec x ~dx$

Pembahasan Contoh Soal 9.
Bentuk integrand fungsi secan sebelum masuk proses pengintegralan diubah terlebih dahulu menjadi$$
\begin{eqnarray*}
  \sec x  &=& \sec x \left(\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\right) \\
   &=&  \frac{\sec^{2} x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}
\end{eqnarray*}$$
Langkah berikutnya adalah memisalkan $u=\sec x + \tan x$ yang memiliki turunan $u'=\sec x \tan x +\sec^{2}x$. Akibatnya$$\begin{eqnarray*}
 \int \sec x ~dx  &=& \int  \frac{\sec^{2} x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x} dx \\
   &=&  \int\frac{u'}{u}dx\\
   &=& \ln |u|+C\\
   &=& \ln |\sec x + \tan x|+C
\end{eqnarray*}$$
Mengintegralkan Fungsi Trigonometri
Contoh Soal 15.
Nilai $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^{2}x}~dx$ adalah $\cdots$

Pembahasan Contoh Soal 15
Identitas trigonometri menyatakan bahwa $1+\tan^{2}x = \sec^{2}x$. Jadi$$\begin{eqnarray*}
\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\tan^{2}x}~dx   &=& \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\sec^{2}x}~dx \\
   &=&  \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec x~dx\\
   &=& \left.\ln |\sec x + \tan x|\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\
   &=& \ln (\sqrt{2}+1)-\ln 1\\
   &\approx& 0.881
\end{eqnarray*}$$

LATIHAN 2

Untuk nomor 1 - 14, tentukan nilai dari integral tak tentu berikut
$
\begin{array}{ll}
1.~~\int \frac{1}{4-3x}~dx   &~~~~ 2.~~\int \frac{x}{x^{2}-3}~dx \\
3.~~\int \frac{4x^{3}+3}{x^{4}+3x}~dx   &~~~~ 4.~~\int \frac{x^{2}-4}{x}~dx \\
5.~~\int \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}~dx   &~~~~ 6.~~\int \frac{x(x+2)}{x^{3}+3x^{2}-4}~dx \\
7.~~\int \frac{x^{4}+x-4}{x^{2}+2}~dx   &~~~~ 8.~~\int \frac{\ln (x^{2})}{x}~dx \\
9.~~\int \frac{1}{x^{2/3}(1+x^{1/3})}~dx   &~~~~ 10.~~\int \frac{x(x-2)}{(x-1)^{3}}~dx \\
11.~~\int \csc (2x)~dx   &~~~~ 12.~~\int \sec\frac{x}{2}~dx \\
13.~~\int \left(2 - \tan \frac{\theta}{4}\right)d\theta   &~~~~ 14.~~\int \frac{\csc^{2}t }{\cot t}~dt \\
\end{array}
$

Untuk nomor 15 - 16, tentukan nilai $y$ yang memenuhi persamaan diferensial berikut
$
\begin{array}{ll}
15.~~\frac{dy}{dx}=\frac{x-2}{x}   &~~~~ 16.~~\frac{dy}{dx}=\tan 2x \\
\end{array}
$
$$--\bigstar\bigstar\bigstar--$$

Bagikan

Jangan lewatkan

Fungsi Logaritma Natural

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 09, 2018 3 Komentar