Soal
Soal No. 1Tunjukkan bahwa jika $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ adalah fungsi genap dan mempunyai turunan pada setiap titik, maka turunan $f'$ adalah fungsi ganjil!
Soal No. 2
Jika $J$ adalah sebarang subinterval dari $[a,b]$ dan didefinisikan fungsi tangga dasar $\varphi_{J}$ sebagai berikut $$\varphi_{J}(x):=\left\{\begin{array}{cc} 1 &\text{jika }x \in J \\ 0 &\text{jika }x \not\in J \end{array} \right.$$
Soal No. 3
Tunjukkan bahwa setiap fungsi tangga adalah kombinasi linier dari fungsi tangga dasar!
3. Misalkan $a_{k},b_{k} \geq 0$ untuk semua $k$. Buktikan bahwa jika $\sum a_{k}$ konvergen dan $(b_{k})$ adalah barisan terbatas maka deret $\sum a_{k}b_{k}$ konvergen !
Soal No. 4
Misalkan $(\mathbb{R}^{2},d)$ adalah ruang metrik dan $$B=\{(\xi_{1},\xi_{2}) \in \mathbb{R}^{2} : 1\leq \xi_{1} < 2, \xi_{2}=4\}.$$ Untuk setiap $\textbf{x}=(\xi_{1},\xi_{2}), \textbf{y}=(\zeta_{1},\zeta_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ didefinisikan $$ d(\textbf{x},\textbf{y}):=\left\{\begin{array}{cc}\alpha, & ~~~~\text{jika } \textbf{x}\neq \textbf{y} \\ 0, & ~~~~\text{jika } \textbf{x} = \textbf{y}\end{array}\right.$$ dengan $\alpha \in \mathbb{R}$ dan $\alpha >0$.
a). Untuk sebarang $\textbf{p}=(p_{1},p_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ dan sebarang bilangan riil $\varepsilon>0$, tentukan $B_{\varepsilon}(\textbf{p})$ !
b). Tentukan $int(B), B'$ dan $\partial(B)$ !
b). Tentukan $int(B), B'$ dan $\partial(B)$ !
Solusi
Soal No. 1
Karena $f$ fungsi genap maka $f(-x)=f(x)$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Berdasarkan definisi dapat dilihat bahwa untuk sebarang $c \in \mathbb{R}$ berlaku$$\begin{eqnarray*}f'(-c) &=& \lim_{x\rightarrow -c}\frac{f(x)-f(-c)}{x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}\frac{f(-x)-f(c)}{-x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}-\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right) \\&=& -f'(c)\end{eqnarray*}$$Karena $c \in \mathbb{R}$ sebarang maka $f'$ adalah fungsi ganjil.
Soal No. 2
Misalkan $J_{1}, \ldots, J_{n}$ adalah subinterval yang tidak saling overlap dari interval $[a,b]$ dan $c_{k}$ adalah konstanta sedemikian sehingga fungsi tangga $$s_{k}(x)=c_{k}$$untuk $x \in J_{k}$ dengan $k=1,\ldots,n$. Berikutnya ambil sebarang $x_{0} \in J_{i}$ untuk suatu $i$, maka $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}(x_{0}) &=& c_{1}\varphi_{J_{1}}(x_{0})+\cdots+c_{i}\varphi_{J_{i}}(x_{0})+\cdots+c_{n}\varphi_{J_{n}}(x_{0}) \\ &=& c_{1} \cdot 0+\cdots +c_{i} \cdot 1+\cdots+c_{n} \cdot 0\\ &=& c_{i}\\ &=& s_{i}(x_{0}) \end{eqnarray*} $$Karena $x_{0}$ sebarang maka $s_{k}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}$.
Soal No. 3
Barisan $(b_{k})$ terbatas, maka terdapat $M>0$ sedemikian sehingga $|b_{k}| \leq M$. Karena $a_{k},b_{k} \geq 0$ untuk semua $k$ sehingga $$0 \leq a_{k}b_{k} \leq M~a_{k}$$ Deret $\sum a_{k}$ konvergen, begitu juga $\sum M~a_{k}$. Berdasarkan uji perbandingan maka didapatkan deret $\sum a_{k}b_{k}$ konvergen.
Soal No. 4
Diketahui $X=\mathbb{R}^{2}$
a). Bola buka $B_{\varepsilon}(\textbf{p})$ adalah himpunan $$B_{\varepsilon}(\textbf{p})=\left\{\begin{array}{cc} \{\textbf{p}\} & \text{jika } \varepsilon \leq \alpha \\ \mathbb{R}^{2} & \text{jika } \varepsilon > \alpha \end{array} \right.$$
b). Selanjutnya Anda bisa kerjakan sendiri.hehe
Karena $f$ fungsi genap maka $f(-x)=f(x)$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Berdasarkan definisi dapat dilihat bahwa untuk sebarang $c \in \mathbb{R}$ berlaku$$\begin{eqnarray*}f'(-c) &=& \lim_{x\rightarrow -c}\frac{f(x)-f(-c)}{x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}\frac{f(-x)-f(c)}{-x+c} \\ &=& \lim_{-x\rightarrow c}-\left(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right) \\&=& -f'(c)\end{eqnarray*}$$Karena $c \in \mathbb{R}$ sebarang maka $f'$ adalah fungsi ganjil.
Soal No. 2
Misalkan $J_{1}, \ldots, J_{n}$ adalah subinterval yang tidak saling overlap dari interval $[a,b]$ dan $c_{k}$ adalah konstanta sedemikian sehingga fungsi tangga $$s_{k}(x)=c_{k}$$untuk $x \in J_{k}$ dengan $k=1,\ldots,n$. Berikutnya ambil sebarang $x_{0} \in J_{i}$ untuk suatu $i$, maka $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}(x_{0}) &=& c_{1}\varphi_{J_{1}}(x_{0})+\cdots+c_{i}\varphi_{J_{i}}(x_{0})+\cdots+c_{n}\varphi_{J_{n}}(x_{0}) \\ &=& c_{1} \cdot 0+\cdots +c_{i} \cdot 1+\cdots+c_{n} \cdot 0\\ &=& c_{i}\\ &=& s_{i}(x_{0}) \end{eqnarray*} $$Karena $x_{0}$ sebarang maka $s_{k}=\sum_{k=1}^{n}c_{k}\varphi_{J_{k}}$.
Soal No. 3
Barisan $(b_{k})$ terbatas, maka terdapat $M>0$ sedemikian sehingga $|b_{k}| \leq M$. Karena $a_{k},b_{k} \geq 0$ untuk semua $k$ sehingga $$0 \leq a_{k}b_{k} \leq M~a_{k}$$ Deret $\sum a_{k}$ konvergen, begitu juga $\sum M~a_{k}$. Berdasarkan uji perbandingan maka didapatkan deret $\sum a_{k}b_{k}$ konvergen.
Soal No. 4
Diketahui $X=\mathbb{R}^{2}$
a). Bola buka $B_{\varepsilon}(\textbf{p})$ adalah himpunan $$B_{\varepsilon}(\textbf{p})=\left\{\begin{array}{cc} \{\textbf{p}\} & \text{jika } \varepsilon \leq \alpha \\ \mathbb{R}^{2} & \text{jika } \varepsilon > \alpha \end{array} \right.$$
b). Selanjutnya Anda bisa kerjakan sendiri.hehe
Bagikan
Latihan Soal Analisis Riil
4/
5
Oleh
Mohammad Mahfuzh Shiddiq
1 comments:
Tulis comments:-bd
ReplyHai sobat...terima kasih telah mampir di blog kami. Silahkan tulis komentar di bawah ini sobat. Kami selalu menyambut baik setiap umpan balik sobat.