Matematika SMA - Perbandingan Trigonometri

Pada segitiga segitiga siku-siku terdapat suatu perbandingan sudut sudutnya yang dinamakan dengan perbandingan trigonometri. Materi yang terdapat di matematika ini dikenalkan pertama kali oleh bangsa Babilonia semenjak ratusan tahun sebelum masehi. Babilonia terkenal dengan ilmu geometrinya.

Trigonometri sendiri berasal dari kata yunani yang mempunyai arti harfia mengukur segitiga. Trigonometri dalam matematika mempelajari hubungan panjang suatu segitiga dengan ketiga sisi segitiga. Berdasarkan sejarah, ilmu trigonometri dtemukan pertama kali oleh para astronom yang menemukan hubungan tetap antara sudut pada segitiga siku siku dengan sisi sisi segitiga tersebut.

Perbandingan sudut segitiga siku siku yang dimaksud adalah melibatkan sisi sisi di suatu segitiga dan mempunyai nilai yang tetap jika dikaitkan dengan besaran sudutnya. Sebelum mendefinsikan perbandingan trigonometri pada segitiga siku siku, akan kita lihat terlebih dahulu konsep dari segitiga siku siku.

Sekarang Anda lihat gambar segitiga siku siku di bawah ini

Gambar di atas adalah segitiga siku siku $\triangle ABC$ dengan sudut siku siku di $C$ dengan besar sudut A = $\alpha$ atau $m \angle A = m \angle BAC=~ \alpha$ dan mempunyai tiga sisi

Sisi AB = c adalah sisi dihadapan sudut siku siku C dan disebut sisi miring segitiga ABC
Sisi BC = a adalah sisi di depan sudut A merupakan kaki siku siku segitiga ABC
Sisi AC = b adalah sisi di samping (apit) sudut A merupakan kaki siku siku segitiga ABC

Pada suatu segitiga siku siku yang terdapat sisi miring dan kedua kaki siku siku dapat didefinisikan tiga perbandingan trigonometri pertama yaitu sinus yang disingkat $\sin$, kosinus dengan notasi $\cos$ dan tangen yang disimbolkan dengan $\tan$.

Perhatikan definisi berikut $$\begin{array}{lll}
\sin \alpha^{0} &=& \frac{a}{c} \\
\cos \alpha^{0} & =&\frac{b}{c} \\
\tan \alpha^{0} & =&\frac{a}{b}
\end{array}$$

Anda dapat lihat pada rumusan di atas dan dapat disimpulkan bahwa

sinus adalah perbandingan sisi depan dibagi dengan sisi miring
kosinus adalah perbandingan sisi samping dibagi dengan sisi miring
tangen adalah perbandingan sisi depan dibagi dengan sisi samping

Disamping ketiga perbandingan trigonometri tersebut, terdapat perbandingan kebalikannya. Ketiga perbandingan tersebut adalah kosekan, kebalikan dari sinus, ditulis dengan $\csc$, sekan, kebalikan dari kosinus, yang disimbolkan dengan $\sec$ dan kebalikan dari tangen adalah kotangen dengan symbol $\cot$ .

Anda tidak perlu menghafalkan semua rumusan ini, rumusnya hanya dibalik saja. Misalkan sinus mempunyai perbandingan $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ maka kebalikannya adalah $\csc \alpha=\frac{c}{a}$. Lebih lengkapnya dapat dilihat pada formula di bawah ini
$$\begin{array}{lll}
\csc \alpha^{0} &=& \frac{c}{a} \\
\sec \alpha^{0} &=& \frac{c}{b} \\
\cot \alpha^{0} & =&\frac{b}{a}
\end{array}$$

Contoh 1
Diberikan segitiga siku siku $\triangle ABC$ dengan panjang $AB=3$, $BC=4$ dan $AC=5$ . Tentukan nilai dari $\sin \angle CAB$, $\cos \angle ACB$, $\tan \angle ACB$ dan $\tan \angle CAB$ !

Penyelesaian
Berdasarkan definisi di atas maka dapat dicari nilai nilai tersebut
$$\begin{array}{lll}
\sin \angle CAB &=& \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} \\
\cos \angle ACB & =&\frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} \\
\tan \angle ACB & =&\frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \\
\tan \angle CAB & =&\frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}
\end{array}$$

Anda mungkin bertanya, sudut segitiga tersebut pasti mempunyai besar sudut misalkan $30^{0}$ atau $20^{0}$. “Berapa besar $\sin 30^{0}$ atau nilai dari $\tan 20^{0}$ ?”

Memang terdapat nilai dari perbandingan trigonometri untuk besaran sudut sudut tertentu. Menariknya terdapat sudut sudut istimewa yang bisa dijadikan patokan dalam mencari sudut sudut lainnya. Sudut sudut tersebut diantaranya adalah $0^{0}$, $30^{0}$, $45^{0}$, $60^{0}$, $90^{0}$ dan sebagainya. Nilai dari perbandingan trigonometri sudut sudut istimewa adalah sebagai berikut

Anda tentu tidak akan menghafal semua itu kan?hehe susah, peras memori otak Anda. Cara mudah untuk melakukannya adalah dengan menggambar segitiga siku siku seperti berikut dan dengan mudah anda tahu nilai dari perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa.