Bicara Bilangan dalam Matematika

Bilangan dipercaya dikenal pertama kali oleh manusia muncul pada bangsa yang bermukim di sepanjang aliran sungai. Bangsa mesir di sepanjang sungai Nil dan bangsa Babilonia yang hidup di sepanjang sungai Tigris mengenal bilangan untuk dijadikan perhitungan dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan digunakan dalam perdagangan, penanggalan kalender, pengukuran luas tanah dan sebagainya.

Sampai saat ini, di era modern, kegunaan bilangan tetap bermain di sekitar perdagangan, kalender, perekonomian, pertanahan dan sebaginya. Tidak ada dalam kehidupan manusia yang lepas dari bilangan.

Sampai-sampai matematikawan kuno, Phytagoras, dalam falsafahnya menyatakan bahwa "Semua adalah bilangan", meskipun yang dimaksud dalam falsafah tersebut adalah bilangan rasional, bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dua bilangan bulat dengan syarat penyebutnya bukan nol.

Ahli matematika yang hidup di tahun 1850an berkebangsaan Jerman, Leopold Kronecker, juga pernah mengatakan "Tuhan menciptakan bilangan bulat. Yang lainnya adalah hasil pekerjaan manusia".

#1. Bilangan Asli

Manusia dalam sejarahnya mengenal jenis bilangan pertama kali adalah bilangan asli. Bilangan asli digunakan untuk mewakili banyaknya sebuah objek nyata kala itu ataupun besaran dalam suatu pengukuran.

Misalkan banyak buah dalam karung, banyak hewan ternak yang mereka punya, panjang tongkat, tinggi rumah dan sebagainya.

Bilangan asli dinotasikan dengan hruf kapital $\mathbb{N}$ dan himpunan bilangan asli didefinisikan dengan$$\mathbb{N}=\{\cdots,1, 2, 3, 4, \cdots\}$$Seiring dengan semakin kompleks permasalahan maka perlu sistem bilangan yang baru.
Misalkan ketika tetangga mereka harus mengurangkan bilangan yang lebih kecil dengan bilangan yang lebih besar maka hasil yang diperoleh bukan lagi bilangan asli. Bilangan bulat negatif dikenalkan dalam kasus ini.

Oleh karena itu dikenalkan perluasan dari bilangan bulat yang mengenal bilangan negatif dan bilangan nol.

#2. Bilangan Bulat

Bilangan bulat sendiri berasal dari bahasa latin integer yang berarti semua atau bulat. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif (baca bilangan asli), bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat dinotasikan dengan huruf kapital $\mathbb{Z}$, singkatan dari kata Zahlen (bahasa jerman) yang berarti bilangan.

Himpunan bilangan bulat dinyatakan dengan $$\mathbb{Z}=\{\cdots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \cdots\}$$

Bilangan bulat ini selanjutnya dikembangkan dalam berbagai kajian oleh para matematikawan. Cabang matematika yang membahas khusus bilangan bulat adalah teori bilangan. Di dalam teori bilangan membahas sifat-sifat yang dimiliki bilangan bulat beserta istilah yang ada di dalam bilangan bulat.

Istilah yang dikenalkan dalam kajian bilangan bulat diantaranya bilangan prima yaitu bilangan yang tidak bisa dibagi kecuali oleh bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan fibonacci juga termasuk dalam topik bilangan bulat.

Bilangan fibonacci adalah barisan bilangan dengan pola nilai suku ditentukan oleh nilai dua suku sebelumnya. Misalkan barisan bilangan fibonacci adalah $$1,1,2,3,5,8,13,\cdots$$Bilangan fibonacci ternyata menunjukkan keajaiban tersendiri. Banyak bentuk di kehidupan nyata yang mempunyai pola seperti barisan fibonacci.

Selanjutnya manusia dalam kehidupan nyata mempunyai permasalahan yang tidak bisa diselesaikan dengan hanya bilangan bulat.

Misalkan dalam pengukuran panjang suatu tongkat. Jarang sekali dalam pengukuran tepat pada bilangan bulat, seringkali lebih atau kurang dari suatu bilangan bulat. Dalam kasus lainnya, ketika seseorang ingin membagi 6 kue ke 12 temannya. Agar 12 temannya mendapat bagian yang sama maka sebuah kue dibagi dua sama dan itu bukan bilangan bulat lagi.

#3. Bilangan Rasional

Perluasan dari bilangan bulat yang dimaksud adalah bilangan rasional seperti yang sudah disebut diatas. Bilangan rasional ini mempunyai bentuk pembagian dari dua bilangan bulat dengan aturan penyebut tidak boleh angka nol. Bilangan rasional dinotasikan dengan huruf kapital $\mathbb{Q}$ singkatan dari quoziente (bahasa italia) yang berarti pembagian.

Bentuk umum himpunan bilangan rasional didefinisikan dengan $$\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$$

#4. Bilangan Irrasional

Pada waktu kejayaan Pythagoras dan para pengikutnya terdapat satu pengikut pythagoras yang bernama Hippasus of Metapontum yang membuat Pythagoras memusuhinya. Hal ini disebabkan karena Hippasus menemukan bahwa terdapat bilangan $\sqrt{2}$ yang tidak termasuk bilangan rasional.

Hippasus menemukan bilangan $\sqrt{2}$ dari teorema Pythagoras juga, yaitu panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang kaki sama yaitu satu

Ternyata temuan Hippasus tentang bilangan irrasional tadi di kemudian hari ternyata benar. Beberapa matematikawan setelah itu mengenalkan bilangan irrasional lain yang terkenal diantaranya bilangan $\pi$, bilangan Euler $e$, golden ratio $\varphi$, dan akar kuadrat dari bilangan asli yang bukan kuadrat sempurna.

#5. Bilangan Riil

Gabungan dari bilangan rasional dengan bilangan irrasional dinamakan bilangan riil. Bilangan riil dinotasikan dengan huruf kapital $\mathbb{R}$.

Kata riil sendiri dikenalkan pertama kali oleh Rene Descartes pada abad 17 saat dia membedakan akar-akar polinomial yang dibagi menjadi dua yaitu akar riil (nyata) dan akar tak nyata (imajiner).

Bilanagn riil terkadang bisa direpresentasikan sebagai titik di dalam garis panjang, yang disebut garis riil. Satu titik di garis itu diasosiasikan dengan tepat satu bilangan riil.

#6. Bilangan Imajiner

Kemunculan pertama kali bilangan imajiner di kalangan ahli matematika dahulu kala suatu ketidaksopanan dan ketidakgunaan. Pada awal awalnya, bilangan imajiner jarang bisa dimengerti sehingga dianggap konsep yang tidak ada guna. Mulai dari Rafael Bombelli , Gerolamo Cardano, bahkan Rene Descartes yang memberikan nama imajiner itu sendiri.

Barulah pada abad 1700an sampai 1800an ahli matematika Leonhard Euler dan Carl Friedrich Gauss menggunakan bilangan imajiner dalam pekerjaannya. Sejak itu bilangan imajiner menjadi luas aplikasinya.

Bilangan imajiner dinyatakan sebagai perkalian antara bilangan riil dengan satuan imajiner yang dinotasikan dengan huruf $i$ yang mempunyai sifat $$i^{2}=-1$$Misalkan $7i$ adalah bilangan imajiner dengan kuadratnya adalah $-49$.

#7. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan bilangan yang bisa dituliskan sebagai penjumlahan bilangan riil murni dengan bilangan imajiner. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan huruf kapital $\mathbb{C}$ dan didefinisikan dengan $$\mathbb{C}=\{a+bi : a,b \in \mathbb{R}\}$$Jika bilangan riil dapat digambarkan suatu titik dalam garis riil, maka bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai suatu titik dalam bidang koordinat kartesius dengan sumbu horisontal dinamakan sumbu riil dan sumbu vertikal dinamakan sumbu imajiner. Bidang ini disebut bidang kompleks.

Bicara Bilangan dalam Matematika

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq October 18, 2018 Komentar