Seri Soal S01E001 - Persegi, Lingkaran dan Segitiga
Soal 001
Diketahui bentuk seperti gambar di bawah. Berapa luas daerah warna kuning dan merah!
Pembahasan Soal 001
Jika diperhatikan bentuk di atas merupakan gabungan seperempat lingkaran dengan segitiga sama kaki dan siku-siku.
Daerah berwarna merah seperti daun mempunyai luas dua kali dari seperempat lingkaran dikurangi luas segitiga. Mari kita hitung luas setengah daerah merah.\begin{eqnarray*}
L_{\frac{1}{2}Daun} &=& L_{\frac{1}{4} \odot } - L_{\triangle} \\
&=& \frac{\pi r^{2}}{4}-\frac{r^{2}}{2}\\
&=& r^{2} \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}Jadi luas daerah merah adalah \( L_{merah}= 2 r^{2} \left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)\) \( = \boldsymbol {r^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right)} \). Sedangkan luas daerah kuning adalah luas persegi dikurangi seperempatr lingkaran, yaitu \( L_{kuning} = r^{2}- \frac{\pi r^{2}}{4} = \boldsymbol{ \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) r^{2}}\)
Baca juga : Kumpulan Soal Turunan
Soal 002
Perhatikan gambar dibawah ini. Berapa luas daerah kuning dan merah !
Pembahasan Soal 002
Seperti pada soal nomor 001 bahwa luas daerah berbetuk daun adalah\[L_{daun}=r^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\]Pada gambar daun terdiri dari tiga macam ukuran yaitu \(r = 2 \) sebanyak 3, \( r = 3 \) sebanyak 1 dan \( r=4\) sebanyak 1.
Oleh karena itu, luas daerah merah adalah
\begin{eqnarray*}
L_{merah} &=& 3L_{daun2} + L_{daun3} + L _{daun4} \\
&=& 3 \left( 2^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right) \right) + 3^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\\
&& + 4^{2} \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\\
&=& 37 \left(\frac{\pi}{2}-1\right)
\end{eqnarray*}Sedangkan daerah berwarna kuning merupakam selisih antara luas persegi dengan daerah berwarnah merah.
\begin{eqnarray*}
L_{kuning} &=& 6^{2} - 37 \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\\
&=& 73 - 37\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray*}
Soal 003
Berapa panjang kurva berwarnah merah dari gambar di bawah ini!
Pembahasan Soal 003
Kurva berwarna merah di atas terdiri dari tiga bentuk daun. Masing-masing yang berbentuk daun mempunyai panjang seperempat keliling lingkaran.
Oleh karena itu, panjang kurva merah adalah\[P_{merah}=\frac{3}{4} \cdot 2\pi r = \frac{3}{4} \cdot 2\pi 4 = 6 \pi \]
Soal 004
Perhatikan segitiga sama sisi dan daerah berwarna merah di bawah ini! Hitung luas daerah yang berwarna merah dan kuning
Pembahasan Soal 004
Karena segitiga sama sisi maka setiap sudutnya adalah \(60\) sehingga luas daerah berwarna kuning adalah setengah lingkaran yaitu\[L_{kuning}=\frac{\pi (6)^{2}}{2}=18 \pi\]Sedangkan luas daerah berwarna merah adalah selisih antara luas segitiga sama sisi dengan luas setengah lingkaran \[L_{merah}=L_{\triangle}-L_{\frac{1}{2} \odot}=\frac{\sqrt{3}}{4}(6)^{2}-\frac{\pi (6)^{2}}{2}=9\sqrt{3}-18\pi\]
Jangan Lewatkan : Alasan Sumur Bentuknya Bulat
Soal 005
Terdapat tiga lingkaran kecil saling bersinggungan dengan jari-jari sama yaitu \( r \). Ketiga lingkaran tersebut di dalam lingkaran besar dengan jari-jari 3 dan menyinggung dari dalam. Berapa nilai dari jari-jari r?
Pembahasan Soal 005
Langkah pertama adalah menambahkan ruas garis tambahan melewati pusat lingkaran kecil, seperti pada gambar berikut
Langkah berikutnya adalah mencari tinggi dari segitiga sama sisi yang terbentuk yaitu garis merah.
Menggunakan teorema Pythagoras diperoleh tinggi segitiga sama sisi (garis merah)\[h = \sqrt{(2r)^{2}-r^{2}}\]Berdasarkan sifat garis berat segitiga sama sisi, didapatkan bahwa "jari-jari" segitiga adalah \( \frac{2}{3} \) dari garis berat (garis tinggi segitiga sama sisi). Dengan kata lain panjang garis biru adalah \( \frac{2}{3}\sqrt{(2r)^{2}-r^{2}}\).
Jadi jari-jari lingkaran besar dinyatakan dalam jari-jari lingkaran kecil adalah\[R = r + \frac{2}{3}\sqrt{(2r)^{2}-r^{2}}=3\]Oleh karena itu, jari-jari lingkaran kecil adalah\[ r = \boldsymbol{6\sqrt{3} - 9}\]
\(--\star \star \) Mari Bermatematika dengan Ceria \( \star \star - -\)
