Begini Cara Lengkap Mencari Limit Fungsi

kalkulus universitas

Limit pada suatu fungsi ketika nilai domain mendekati suatu titik tidak dijamin eksistensinya. Perlu teknik untuk mencari limit suatu fungsi. Materi fungsi pada artikel ini terfokus pada bagaimana mencari limit fungsi. Tidak tergantung limit fungsi akar, limit trigonometri atau fungsi yang lain.

Tapi saya ingatkan dalam belajar matematika tidak perlu grusa grusu (baca: tergesah-gesah).

Belum belum minta rumus cepat mencari limit fungsi, minta rumus KING tentang limit fungsi.

Lah kalau saya kasih kertas gosok, nanti ternyata Anda buat gosok kulit. Lahh kan ga keren.hehe Perlu dipelajari dahulu kalau buat gosok kulit itu pakai apa, kalau buat gosok kayu dengan apa.

Sebelum Anda mempelajari bagaimana mencari limit suatu fungsi, sebaiknya Anda tahu terlebih dahulu apa itu limit di sini.

OK. Saya akan menjelaskan beberapa kasus dan cara bagaimana mencari nilai limit fungsi.

1. Sifat-Sifat Limit

Limit dari fungsi yang tertentu terkadang bisa dicari dengan mudah. Hal ini dikarenakan fungsi tersebut memiliki karakteristik tertentu.

Fungsi tersebut biasanya adalah fungsi yang kontinu seperti pada teorema di bawah ini

TEOREMA 1. Limit Dasar
Misalkan $b$ dan $c$ adalah bilangan riil dan $n$ adalah bilangan bulat positif
1. $\lim\limits_{x \rightarrow c}b =b$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow c}x =c$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow c}x^{n} =c^{n}$

Anda lihat dari ketiga fungsi tersebut, nilai limit fungsi tersebut langsung bisa dituliskan secara intuitif.

Nomor 1 adalah fungsi konstan sehingga limit fungsinya sama di semua titik. Sedangkan pada nomor 2, limit fungsi identitas $f(x)=x$ bernilai dimana titik yang didekati oleh $x$. Sifat terakhir pada teorema 1 di atas berlaku subtitusi langsung ke fungsi pangkat.

Contoh No.1
a. $\lim\limits_{x \rightarrow 4}100 =100$
b. $\lim\limits_{x \rightarrow -5}x =-5$
c. $\lim\limits_{x \rightarrow -1}x^{3} =(-1)^{3}=-1$

Sekarang Anda akan melihat bagaimana sifat dari limit fungsi yang dihasilkan dari kombinasi dua fungsi atau lebih.

Baca Juga : Sejarah Sistem Bilangan

TEOREMA 2. Sifat-Sifat Limit
Misalkan $b$ dan $c$ adalah bilangan riil dan $n$ adalah bilangan bulat positif. Misalkan juga fungsi $f$ dan fungsi $g$ memenuhi limit berikut

$\lim\limits_{x \rightarrow c}f(x) =L$ dan $\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x) =M$

maka berlaku
1.  $\lim\limits_{x \rightarrow c}bf(x) =bL$
2.  $\lim\limits_{x \rightarrow c}\left[f(x)\pm g(x)\right] =L \pm M$
3.  $\lim\limits_{x \rightarrow c}\left[f(x)\cdot g(x)\right] =L \cdot M$
4.  $\lim\limits_{x \rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{L}{M}$  dengan $M\neq 0$
5.  $\lim\limits_{x \rightarrow c}\left[f(x)\right]^{n} =L^{n}$

Contoh 2 Limit dari fungsi Polinomial$$\begin{eqnarray*}
     \lim\limits_{x \rightarrow 2}(4x^{2}+3)&=& \lim\limits_{x \rightarrow 2} 4x^{2}+\lim\limits_{x \rightarrow 2}~3 \\
     &=& 4\left(\lim\limits_{x \rightarrow 2} x^{2}\right) + 3 \\
     &=&  4 (2^{2}) + 3 \\
     &=& 19
  \end{eqnarray*}$$

Contoh 2 di atas menunjukkan kepada kita bahwa nilai limit (ketika $x \rightarrow 2$) fungsi polionomial sama dengan nilai fungsi $p(x)=4x^{2}+3$ tersebut di $x=2$, yaitu$$\lim\limits_{x \rightarrow 2}p(x)=p(2)=4(2^{2})+3 = 19$$Hal serupa juga pada kasus fungsi rasional.

TEOREMA 3.  Limit Fungsi Polinomial dan Fungsi Rasional
Jika $p$ adalah fungsi polinomial dan $c$ adalah bilangan riil maka $$\lim\limits_{x \rightarrow c}p(x)=p(c)$$Jika $r$ adalah fungsi rasional yang diberiakan dengan $r(x)=p(x)/q(x)$ dan $c$ adalah bilangan riil sedemikian sehingga $q(x)\neq 0$ maka$$\lim\limits_{x \rightarrow c}r(x)=r(c)=\frac{p(c)}{q(c)}$$

Contoh 3 Limit Fungsi Rasional
Temukan limit dari $\lim\limits_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2}+x+2}{x+1}$ !

Pembahasan Contoh 3
Karena penyebut tidak nol ketika $x=1$ maka bisa menggunakan teorema 3 untuk mendapatkan$$\lim\limits_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2}+x+2}{x+1}=\frac{1^{1}+1+2}{1+1}=\frac{4}{2}=2$$

Fungsi polinomial dan fungsi rasional merupakan fungsi-fungsi dasar aljabar yang sudah Anda ketahui bagaimana cara mencari nilai limitnya. Sedangkan dua tipe fungsi berikut adalah fungsi aljabar yang lain.

TEOREMA 4. Limit Fungsi yang Melibatkan Akar
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif. Limit berikut benar untuk semua $c$ jika $n$ ganjil dan benar untuk $c>0$ jika $n$ genap$$\lim\limits_{x \rightarrow c}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{c}$$

Sedangkan sifat berikutnya membutuhkan kejelian Anda menyelesaikan nilai limit dari fungsi komposisi. Komposisi fungsi biasanya melibatkan dua fungsi atau lebih yang dikombinasikan satu dengan yang lainnya.

TEOREMA 5. Limit Fungsi Komposisi
Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi sedemikian sehingga $\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x)=L$ dan $\lim\limits_{x \rightarrow L}f(x)=f(L)$ maka$$\lim\limits_{x \rightarrow c}f\left(g(x)\right)= f \left(\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x)\right)=f(L)$$

Contoh 4. Limit Fungsi Komposisi
a. Karena$\lim\limits_{x \rightarrow 0}(x^{2}+4)=0^{2}+4=4$ dan $\lim\limits_{x \rightarrow 4}\sqrt{4}=\sqrt{4}=2$ maka$$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{4}=2$$
b. Karena$\lim\limits_{x \rightarrow 3}(2x^{2}-10)=2\cdot3^{2}-10=8$ dan $\lim\limits_{x \rightarrow 8}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2$maka$$\lim\limits_{x \rightarrow 3}\sqrt[3]{2x^{2}-10}=\sqrt[3]{8}=2$$

Limit tiga fungsi aljabar pertama di atas disajikan di hadapan Anda diperoleh dengan mensubtitusi langsung nilai $x$. Cara mencari enam fungsi aljabar berikut (fungsi trigonometri) juga mempunyai cara yang sama yaitu dengan mensubtitusi.

TEOREMA 6. Limit Fungsi Trigonometri
Misalkan $c$ adalah bilangan riil di dalam domain dari fungsi trigonometri yang diberikan.
1. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \sin x= \sin c$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \cos x= \cos c$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \tan x= \tan c$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \cot x= \cot c$
5. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \sec x= \sec c$
6. $\lim\limits_{x \rightarrow c} \csc x= \csc c$

Contoh 5. Limit Fungsi Trigonometri
a. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \tan x= \tan (0) = 0$
b. $\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \left(x \cos x\right)$ $= \left(\lim\limits_{x \rightarrow \pi} x \right)\left(\lim\limits_{x \rightarrow \pi} \cos x\right)$ $=\pi \cos \pi = -\pi$
c. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \sin^{2} x= \lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(\sin x \right)^{2}= 0^{2}=0$

Strategi Cara Menemukan Limit

Sebelumnya Anda menemukan limit suatu fungsi aljabar dengan satu cara yaitu mensubtitusi secara langsung ke fungsi yang diketahui.

Baca Juga : Aturan Mencari Limit Fungsi

Cara kali ini yang akan saya tunjukkan ke Anda berbeda dengan sebelumnya. Untuk mencari nilai limit suatu fungsi terlebih dahulu dilakukan beberapa operasi aritmetik.

TEOREMA 7. Limit yang Fungsi-fungsi Tidak Sama di hanya satu Titik
Misalkan $c$ adalah bilangan riil, nilai $f(x)=g(x)$ untuk semua $x \neq c$ di dalam interval buka yang memuat $c$. Jika $\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$ dan $\lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$ ada maka$$\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$$

Contoh 6
Tentukan nilai dari $\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}$

Pembahasan Contoh 6
Misalkan $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$. Dengan pemfaktoran dan membagi faktor yang sama, maka fungsi $f$ dapat ditulis dengan$$f(x)=\frac{(x-1)(x^{2}+x-1)}{x-1}=x^{2}+x-1=g(x)~~~~~x \neq 1$$Jadi untuk nilai $x \neq 1$, fungsi $f$ dan $g$ adalah sama seperti yang dilukiskan pada gambar di bawah ini

Karena diketahui $\lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$ ada, maka Anda tinggal mencari nilai limit $g$ tersebut untuk memperoleh nilai limit $f$ di titik $x=1$ $$  \begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}  &=& \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^{2}+x-1)}{x-1} \\
     &=&\lim\limits_{x \rightarrow 1} (x^{2}+x-1)  \\
     &=&  1^{2}+1-1 \\
     &=& 3
  \end{eqnarray*}$$


Berdasarkan cara yang sudah Anda pelajari di atas, maka bisa disimpulkan bagaimana mencari suatu limit dari fungsi

STRATEGI CARA MENCARI LIMIT FUNGSI

1. Ketahui dahulu jenis fungsi yang bisa dicari limitnya dengan cara mensubtitusinya secara langsung. Hal ini bisa dilakukan seperti pada Teorema 1 sampai Teorema 6
2. Jika limit $f(x)$ ketika $x$ mendekati $c$ tidak bisa dicari secara langsung dengan metode subtitusi, maka coba Anda bisa menemukan fungsi $g$ yang lain yang sama nilainya dengan $f$ di nilai selain $x=c$. (Petunjuk : Pilih fungsi $g$ yang sesuai dengan langkah 1, yaitu limitnya bisa dicari dengan metode subtitusi langsung)
3. Gunakan Teorema 7 untuk mencari nilai limit $$\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)=g(c)$$
4. Gunakan grafik dari fungsi atau tabel untuk memperkuat kesimpulan Anda.

Teknik Membagi dan Merasionalkan

Dua cara mencari limit fungsi berikut yang akan disajikan adalah membagi faktor faktor yang sama pada fungsi rasional dan teknik merasionalkan fungsi yang disajikan dalam bentuk pembagian.

Teknik yang dikenalkan langsung diterapkan dalam contoh. Selamat menikmati.hehe

Contoh 7. Teknik Membagi
Tentukan nilai limit dari $\lim\limits_{x \rightarrow -3} \frac{x^{2}+x-6}{x+3}$ !

Pembahasan Contoh 7.
Pencarian limit fungsi tersebut jika dilakukan secara subtitusi langsung tidak akan berjalan karena pembagi menghasilkan nilai 0.$$\lim\limits_{x \rightarrow -3} x^{2}+x-6 = 0$$dan$$\lim\limits_{x \rightarrow -3} (x + 3) =0$$Jadi untuk mencari nilai limit fungsi ini adalah dengan memfaktorkan terlebih dahulu pembilang dan membagi faktor yang sama dengan pembagi$$f(x)=\frac{x^{2}+x-6}{x+3}=\frac{(x+3)(x-2)}{x+3}=x-2=g(x)~~~x\neq-3$$Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 7 diperoleh$$  \begin{eqnarray*}
    \lim\limits_{x \rightarrow -3} \frac{x^{2}+x-6}{x+3} &=& \lim\limits_{x \rightarrow -3} (x-2)\\
     &=& -5
  \end{eqnarray*}$$Grafik di bawah menunjukkan bahwa fungsi $f$ mempunyai nilai yang sama dengan fungsi $g(x)=x-2$ di titik kecuali $x=-3$

Contoh 7 memberikan pelajaran penting bagi Anda bahwa jika dengan cara mensubtitusi secara langsung ternyata menghasilkan bentuk $0/0$ maka cara yang diambil adalah dengan memfaktorkan pembilang sedemikian sehingga mempunyai faktor yang sama dengan penyebut.

Pada contoh 8 berikut, Anda diberikan contoh mencari limit dengan teknik berbeda yaitu teknik merasionalkan bentuk fungsi.

Contoh 8. Teknik Merasionalkan
Tentukan nilai limit $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ !

Pembahasan Contoh 8
Mensubtitusi secara langsung fungsi ini, akan menghasilkan bentuk $0/0$ yaitu$$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\sqrt{x+1}-1=0$$dan$$\lim\limits_{x \rightarrow 0}x=0$$Pada kasus ini, akan dirasionalkan bentuk pembilangnya terlebih dahulu$$ \begin{eqnarray*}
    \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} &=& \left(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right)\left(\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\right) \\
     &=& \left(\frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}\right) \\
     &=& \frac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} \\
     &=& \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}~~~~~x\neq 0
  \end{eqnarray*}$$Selanjutnya, Anda dapat menggunakan teorema 7 untuk mendapatkan$$  \begin{eqnarray*}
    \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} &=&  \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\\
     &=& \frac{1}{1+1}
     &=&  \frac{1}{2}
  \end{eqnarray*}$$Tabel dari nilai fungsi $f$ disekitar $x=0$ bisa dilihat di bawah ini

Sedangkan grafik dari fungsi $f$ seperti gambar berikut

Dari tabel dan grafik juga mempunyai nilai limit yang sama yaitu $\frac{1}{2}$ sama dengan cara analitik sebelumnya.

Teorema Memencet

Kasus pada bagian ini agak unik. Terdapat tiga fungsi yang diberikan. Salah satu nilai fungsi mempunyai nilai di antara nilai kedua fungsi yang lain. Cara menentukan limitnya pun akhirnya diselipkan diantara kedua fungsi tersebut.

Baca Juga : Sudut Keliling dan Pusat pada Lingkaran

Ilustrasi ketiga fungsi tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.

TEOREMA 8. Teorema Memencet
Jika $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ untuk semua nilai $x$ selain $c$ di dalam interval buka yang memuat $c$ dan jika $$\lim\limits_{x \rightarrow c}h(x)=L=\lim\limits_{x \rightarrow c}g(x)$$maka$$\lim\limits_{x \rightarrow c}f(x)=L$$

Salah satu kegunaan teorema memencet di atas pada pembuktian teorema sandwich berikut

TEOREMA 9. Teorema Sandwich
1. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}=0$

Contoh 9. Limit Yang Melibatkan Fungsi Trigonometri
Tentukan nilai limit $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}$ !

Pembahasan Contoh 9.
Karena dengan mensubtitusi langsung menghasilkan $0/0$ maka fungsi $\tan x$ akan dituliskan dengan $\sin x / \cos x$ untuk mendapatkan$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)\left(\frac{1}{\cos x}\right)$$Berdasarkan aturan limit pada teorema 9 dan teorema 6 yaitu$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$$dan$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x}=1$$sehingga akan menghasilkan nilai limit$$  \begin{eqnarray*}
    \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} &=& \lim\limits_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)\left(\frac{1}{\cos x}\right)\\
     &=& (1)(1) \\
     &=&  1
  \end{eqnarray*}$$
Contoh 10. Limit Yang Melibatkan Fungsi Trigonometri
Tentukan nilai limit $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{x}$ !

Pembahasan Contoh 10
Karena dengan mensubtitusi langsung menghasilkan $0/0$ sehingga akan dituliskan bentuk lain seperti berikut ini$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{x}=4\left(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x}\right)$$Sekarang dimisalkan $y=4x$ sehingga ketika $x\rightarrow 0$ maka nilai $y$ juga mendekati $0$. Jadi$$  \begin{eqnarray*}
    \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{x} &=& 4\left(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4x}{4x}\right)  \\
     &=& 4\left(\lim\limits_{y \rightarrow 0} \frac{\sin y}{y}\right) \\
     &=& 4(1) \\
     &=&  1
  \end{eqnarray*}$$

Baca Juga : Alasan Tepat Kamu belajar Kalkulus

LATIHAN 1

Untuk nomor 1 - 10, Tentukan nilai limit berikut
$
\begin{array}{ll}
1.~~\lim\limits_{x\rightarrow 3}(2x^{2}+4x+1)   &~~~~ 2.~~\lim\limits_{x\rightarrow 3}\sqrt{x+1} \\
& \\
3.~~\lim\limits_{x\rightarrow -4}(x+3)^{2}   &~~~~ 4.~~\lim\limits_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x} \\
& \\
5.~~\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x^{2}+4}   &~~~~ 6.~~\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{3x}{\sqrt{x+2}} \\
&\\
7.~~\lim\limits_{x\rightarrow \pi}\cos 3x   &~~~~ 8.~~\lim\limits_{x\rightarrow 3}\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) \\
&\\
9.~~\lim\limits_{x\rightarrow 7}\sec\left(\frac{\pi x}{6}\right)   &~~~~ 10.~~\lim\limits_{x\rightarrow 2}\sin \frac{\pi x}{6} \\
\end{array}
$

Untuk nomor 10 - 18, Tentukan nilai limit (jika ada)
$
\begin{array}{ll}
11.~~\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{x^{2}-16}   &~~~~ 12.~~\lim\limits_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x+5} - 3}{x-4} \\
&\\
13.~~\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\left[\frac{1}{3+x}\right]-\left(\frac{1}{3}\right)}{x}   &~~~~ 14.~~\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{3(1-\cos x)}{x} \\
&\\
15.~~\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x (1- \sin x)}{x^{2}}   &~~~~ 16.~~\lim\limits_{\phi \rightarrow \pi}\phi \sec \phi  \\
&\\
17.~~\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{\sin 3t)}{2t}   &~~~~ 18.~~\lim\limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{1 - \tan x}{\sin x -\cos x}  \\
\end{array}
$

19. Jika diketahui $4-x^{2} \leq f(x) \leq 4 + x^{2}$ maka tentukan $\lim\limits_{x \rightarrow c}f(x)$ !

20. Jika diketahui $b-|x-a| \leq f(x) \leq b + |x-a|$ maka tentukan $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ !

Sekian artikel tentang bagaimana menemukan limit suatu fungsi dan beberapa sifat yang dimiliki limit fungsi.$$--\star\star\star--$$

Bagikan

Jangan lewatkan

Begini Cara Lengkap Mencari Limit Fungsi

4/ 5

Oleh Mohammad Mahfuzh Shiddiq

Mohammad Mahfuzh Shiddiq November 06, 2018 2 Komentar