Turunan Fungsi - Matematika SMA

Hai sobat Matematika

Turunan merupakan konsep pertama di bidang Kalkulus yang menjadi jembatan matematikia teori ke kehidupan nyata. Banyak aplikasi turunan digunakan dalam berbagai bidang.

Turunan fungsi digunakan dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan suatu populasi hewan di dalam suatu ekosistem.

Fisika menggunakan turunan fungsi, salah satunya untuk menghitung kecepatan dan percepatan seorang pembalap GP menunggangi motor balapnya.

Turunan sendiri dalam matematika berarti pengukuran perubahan suatu fungsi terhadap perubahan nilai inputnya. Proses dalam menurunkan suatu fungsi dinamakan diferensiasi.

Turunan merupakan salah satu bahasan yang melibatkan limit. Definisi awal turunan suatu fungsi melibatkan limit suatu fungsi untuk suatu bilangan mendekati suatu nilai.

Definisi Turunan

Definisi awal dari turunan merupakan limit suatu fungsi terhadap perubahan nilai domainnya. Lebih lengkap perhatikan definisi berikut

DEFINISI TURUNAN
Turunan suatu fungsi \( f \) adalah fungsi lain \( f' \) ( dibaca " \(f \) aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan \( x \) adalah\[ \boldsymbol { f' (x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h) - f(x)}{h} }\]

Nilai turunan fungsi di titik \( c \) juga bisa dinyatakan dalam definisi\[\boldsymbol{ f'( c ) = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x) - f (c)}{ x - c} }\]Sedangkan notasi dari turunan ada bebarapa macam, diantaranya\[ y', f'(x), \frac{d[f(x)]}{dx}, \frac{dy}{dx}\]Sekedar informasi bahwa notasi terakhir, yaitu \( \frac{dy}{dx} \) lebih dikenal dengan notasi turunan Leibniz.

Penggunaan definisi turunan suatu fungsi tersebut dalam soal dapat Anda lihat pada contoh soal berikut

Contoh Soal 1
Misalkan \( f(x) = 13x - 6 \). Tentukan nilai \( f'(4)\)

Pembahasan Contoh Soal 1
Berdasarkan definisi di atas maka dapat dihitung
\begin{eqnarray*}
f'(4) &=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( 4 + h) - f(4)}{h} \\
&=& \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[13 (4+h) - 6\right] - \left[13 (4) - 6\right]}{h}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{13h}{h}= 13
\end{eqnarray*}
Contoh Soal 2
Jika \( f(x) = x^{2} \), maka tentukan nilai dari \( f'(x) \)

Pembahasan Contoh Soal 2\begin{eqnarray*}
f' (x) & = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f ( x + h) - f(x)}{h} \\
& = & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x + h\right]^{2} - \left[x\right]^{2}}{h}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^{2}+ 2xh + h^{2} - x^{2}}{h}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}\frac{2xh+h^{2}}{h}\\
&=& \lim_{h \rightarrow 0}2x+h \\
&=& 2x
\end{eqnarray*}Nah Anda sudah mempelajari definisi dari turunan fungsi.

Repot kan kalau harus menurunkan fungsi melalui definisi? Pakai limit segala.hehe

Jangan khawatir, ada aturan turunan fungsi yang akan diperkenalkan sesaat lagi yang akan mempermudah Anda untuk mencari turunan fungsi.

Baca Juga : Beda kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian (kombinatorika)

ATURAN TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Turunan fungsi aljabar mempunyai aturan-aturan yang bisa dipakai untuk mencari turunannya. Aturan turunan fungsi alajabar yang dimaksud sebagai berikut

#1. Turunan Fungsi Konstan;\[\text {Jika } \boldsymbol {f (x) = k} \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = 0} \].Jadi turunan suatu fungsi konstan adalah nol di sebarang titik.

Contoh Soal 3
1. Diberikan fungsi \( f (x) = 100\) maka turunan fungsi \( f \) adalah \( f' (x) = 0 \).

2. Jika \( y = 5 \) maka \( y' = 0 \)

3. \( f (x) = 0 \) maka \( f'(x) = 0 \)

4. Jika \( y = k \pi^{2} \) dengan \( k \) adalah konstan, maka \( y' = 0\)

#2. Turunan Fungsi Identitas; \[ \text{ Jika } \boldsymbol {f (x) = x } \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = 1} \].
#3. Aturan Fungsi Pangkat; \[ \text{ Jika } \boldsymbol {f (x) = x^{n}} \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = nx^{n-1}} \].Anda bisa lihat pada aturan fungsi pangkat ini, turunan fungsi berpangkat menjadikan pangkat sebelumnya menjadi koefisien dan pangkatnya dikurangi satu.

Contoh Soal 4
Dengan menggunakan aturan pangkat dapat diketahui bahwa
1. Jika \( f(x) = x^{5} \) maka \( f'(x) = 5x^{4} \)

2. \( g(x) = \sqrt[4]{x} \) maka \( g'(x) = \frac{d[x^{1/4}]}{dx} = \frac{1}{4}x^{-3/4} \)

3. \( y = \frac{1}{x^{2}} \) maka \( \frac{dy}{dx} = \frac{d[x^{-2}]}{dx} = (-2)x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}\)

#4. Aturan Perkalian Konstan; \[\text{ Jika } \boldsymbol { f(x) = k u(x)} \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = k u'(x) } \text{ dengan } k \text{ konstanta.}\]Perhatikan contoh penerapan aturan perkalian sklar tersebut

Contoh Soal 5
1. Karena fungsi \( y = \frac{2}{x} \) maka \( \frac{dy}{dx}=\frac{d[2x^{-1}]}{dx} = 2 \frac{d[x^{-1}]}{dx} = 2 (-1)x^{-2}\)

2. Fungsi \( f(t) = \frac{4t^{2}}{5} \)mempunyai turunan \( f'(t) = \frac{d}{dt}\left[\frac{4}{5}t^{2} \right] = \frac{4}{5}\frac{d}{dt}[t^{2}] = \frac{4}{5} (2t) = \frac{8}{5}t \)

3. Fungsi \( y = \frac{1}{2\sqrt[3]{x^{2}}}\) mempunyai turunan \( \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2} x^{-2/3} \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2}{3}x^{-5/3} \right] = -\frac{1}{3 x^{5/3}}\)

Aturan perkalian konstan ini dapat digabungkan dengan aturan pangkat\[ \boldsymbol{ f(x) = cx^{n} \text{ maka } f'(x)=c n x^{n-1} }\]
Contoh Soal 6
1. Jika \( f(x) = \frac{7}{3(x)^{-2}} \) maka turunan fungsi \( f'(x) = \frac{7}{3} (2x) = \frac{14}{3}x \)

2. Turunan dari fungsi \( y = \frac{5}{(2x)^{3}} \) adalah \( y' = \frac{5}{8} (-3x^{-4}) = -\frac{15}{8x^{4}}\)

#5. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi; \[\text{ Jika } \boldsymbol { f(x) = g(x) \pm h(x) } \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = g'(x) \pm h'(x) }\]Perhatikan contoh penggunaan aturan penjumlahan dan pengurangan fungsi

Contoh Soal 7
1. Jika \( f(x) = x^{4} + 2x^{3} - x \) maka turunan fungsi \( f'(x) = 4x^{3} + 6x^{2} - 1 \)

2. Turunan fungsi \( y = - \frac{x^{4}}{2} + 3x^{3} - 2x\) adalah \( y' = -2x^{3} + 9x^{2} - 2\)

#6. Aturan Perkalian Fungsi; \[\text{ Jika } \boldsymbol { f(x) = u(x) v(x) } \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)} \]Aturan turunan fungsi yang merupakan hasil perkalian dua fungsi agak sedikit berbeda dengan aturan fungsi yang sebelumnya. Perhatikan bahwa turunan fungsi tersebut bergantian diturunkan masing-masing fungsinya.

Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih paham tentang konsep aturan turunan fungsi perkalian

Contoh Soal 8
Diberikan fungsi \( f(x) = (3x - 2x^{2})( 5 +4x) \) maka turunan fungsi \( f\) adalah
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \overbrace{\frac{d}{dx}[3x - 2x^{2}]}^{ \text{Turunan Fungsi Pertama}} \overbrace{( 5 +4x) }^{ \text{Fungsi Kedua}}+ \overbrace{(3x - 2x^{2}) }^{ \text{Fungsi Pertama}}\overbrace{\frac{d}{dx}[5 +4x]}^{ \text{Turunan Fungsi Kedua}} \\
&=& (3-4x)(5+4x)+(3x - 2x^{2})(4)\\
&=& -24x^{2} + 4x + 15
\end{eqnarray*}
#7. Aturan Pembagian Fungsi; \[\text{ Jika } \boldsymbol { f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} } \text{ maka } \boldsymbol { f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x)^{2})}} \]Aturan turunan fungsi pada pembagian fungsi ini mirip dengan perkalian, hanya berbeda pada pengurangan dan bentuk pecahan saja.

Contoh soal turunan fungsi berikut memberikan penjelasan

Contoh Soal 9
Tentukan turunan dari fungsi \( y = \frac{5x-2}{x^{2} + 1} \)

Pembahasan Contoh Soal 9
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\left[ \frac{5x-2}{x^{2} + 1}\right] &=& \frac{5 (x^{2}+1) - (5x - 2)(2x)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\
&=& \frac{-5x^{2} + 4x + 5}{(x^{2} + 1)^{2}}
\end{eqnarray*}

Baca Juga : Latihan Turunan Fungsi

Aturan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri memiliki turunan fungsi trigonometri yang lainnya. Hal ini diperoleh dari sifa limit pada fungsi trigonometri, yaitu\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}=1~~\text{dan}~~\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\cos \Delta x}{\Delta x}=0\]Berikut adalah beberapa rumus turunan fungsi trigonometri.
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]= \cos x &\frac{d}{dx}\left[\cot x\right]= -\csc^{2} x \\
\frac{d}{dx}\left[\cos x\right]= -\sin x &\frac{d}{dx}\left[\sec x\right]= \sec x~\tan x \\
\frac{d}{dx}\left[\tan x\right]= \sec^{2} x & \frac{d}{dx}\left[\csc x\right]= -\csc x \cot x
\end{array}
\]
Perhatikan contoh soal berikut

Contoh Soal 10
1. Fungsi \( y = \frac{\sin x}{2} \) mempunyai turunan fungsi \( y' = \frac{1}{2} \cos x \)

2. Turunan fungsi \( y = x \sec x \) adalah \( y ' = 1\cdot \sec x + x (\sec x~\tan x ) \) \( = (\sec x) (1 + x \tan x) \)

Contoh Soal 11
Temukan turunan fungsi\[ y = 2x \cos x - 2 \sin x\]Pembahasan Contoh Soal 11
\[
\begin{array}{rl}
\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{dx}[2x](\cos x)+(2x)\frac{d}{dx}[\cos x] - 2 \frac{d}{dx}[\sin x] \\
& = 2\cdot \cos x - 2x\cdot \sin x - 2 \cos x \\
& = -2x \sin x
\end{array}
\]

Sekian artikel tentang turunan fungsi mulai dari definisi turunan fungsi diteruskan dengan aturan turunan fungsi aljabar dan aturan fungsi trigonometri.

Jika Anda ingin melatih kemampuan materi turunan Anda, bisa kunjungi artikel latihan turunan di sini dan di sini juga bisa.

\(--\star\star\) Mari Bermatematika dengan Ceria \(\star\star - -\)