Seri Soal S01E002 - Barisan dan Deret Bilangan (SBMPTN)

Hai sobat matematika

Yang sudah kelas 12 SMA bagaimana kabar matematikanya?hehe

Sudah siap belum nanti menjelang SBMPTN? Sudah harus siap dung!

Kali ini haimatematika.com mau membahas latihan soal SBMPTN tentang barisan dan deret bilangan.

Seperti yang diketahui barisan terdiri dari dua macam barisan aritmetika dan barisan geometri. Begitu juga dengan deret, ada deret aritmetika dan deret geometri.

Lebih enaknya baca artikel barisan dan deret bilangan terlebih dahulu. Kalau sudah pandai, yuk langsung santap latihannya.hehe

OK. Tanpa basa basi lagi mari kita lihat soal-soal berikut

Soal 001

Suku keempat suatu deret aritmatika adalah 9 dan jumlah suku keenam dan delapan adalah 30. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah \( \cdots \)

A. 200
B. 440
C. 600
D. 640
E. 800

Pembahasan Soal 001

Diketahui \( U_{4}=9\) dan \( U_{6} + U_{8} = 30 \).

Pada deret aritmatika rumus untuk mencari suku ke-\(n\) adalah \(U_{n}= a + (n-1)b\) sehingga dari yang diketahui yaitu berlaku\[
\begin{array}{rl}
U_{4} &= 9 ~\Rightarrow a + 3b =9 ~~~~~~\cdots(1) \\
U_{6} + U_{8} &= 30 \Rightarrow 2a + 12b = 30 \\
& ~~~~~~~~\Rightarrow a + 6b = 15~~~~~~~\cdots(2)
\end{array}
\]Persamaan (1) dan (2) merupakan sistem linier dua variabel (SLDV) \(a \) dan \( b\).

Sistem linier tersebut diselesaikan dengan metode eliminasi dan diperoleh\[ a = 3 \text{ dan } b = 2\]Selanjutnya mencari jumlah \(n\) suku pertama dari deret aritmetika.\begin{eqnarray*}
S_{n}&=&\frac{n}{2} \left[2a+(n-1)b\right] \\
S_{20}&=& \frac{20}{2} \left( 2 (3) + 19 \cdot 2\right)\\
&=& 440
\end{eqnarray*}Jawaban = B.

Soal 002

Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah \( p^{2}\) dan \( p^{x} \). Jika suku ke lima deret tersebut adalah \( p^{18} \) maka \( x = \cdots \)

A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan Soal 002

Diketahui \(U_{1} = a = p^{2}\) , \( U_{2} = p^{x} \), \( U_{5} = p^{18} \).
Akan dicari nilai \( x = ?\)

Pada deret geometri untuk mencari suku ke-\(n\) digunakan rumus\[U_{n} = ar^{n-1}\]dan mencari nilai rasio\[r=\frac{ U_{n} }{ U_{n-1} }\]sehingga didapatkan\[
\begin{array}{rl}
U_{1} &= p^{2},~~~U_{2}= p^{x},~~~r =\frac{U_{2}}{U_{1}} = p^{x-2} \\
U_{5}&= ar^{4} = p^{2} \cdot \left( p ^{x-2}\right)^{4}\\
p^{18}& = p^{4x-6} \\
18 &= 4x-6 \\
x & = 6
\end{array}
\]Jawaban : D

Soal 003

Suku tengah suatu deret aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah \( \cdots \)

A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13

Pembahasab Soal 003

Diketahui \( U_{t} = 23 \), \( U_{n} = 43 \) dan \( U_{3} = 13 \).
Akan dicari nilai \(n =?\)

Untuk mencari suku tengah pada deret Aritmetika digunakan rumus\[U_{t} = \frac{a + U_{n}}{2}\]Sedangkan untuk mencari suku ke-\(n\) digunakan rumus\[U_{n}= a + (n-1)b\]sehingga didapatkan\[
\begin{array}{rl}
U_{t} &=\frac{a + U_{n}}{2}\\
23&= \frac{a + U_{n}}{2}\\
46&=a + U_{n} \\
46&= a + 43 \\
a&= 3 ~~~~~~~\cdots(\star)
\end{array}\]Berikutnya mencari nilai \(b\) dari \( U_{3} \)\[\begin{array}{rl}
U_{3}&= a + 2b\\
13& = 3 + 2b \\
b &= 5~~~~~~~\cdots(\star\star)
\end{array}\]Langkah terakhir mencari nilai \(n\) dari yang diketahui \( U_{n}\)\[\begin{array}{rl}
U_{n} & = a + (n-1) b\\
43 &= 3 + (n - 1) 5 \\
n & = 9
\end{array}\]Jawaban : C

Soal 004

Jika \( \log (x^{2}) + \log (10x^{2}) + \cdots + \log (10^{9}x^{2}) = 55 \) maka \( x = \cdots \)

A. \( \frac{1}{10} \)
B. \( \frac{1}{2} \)
C. \( 1\)
D. \( \sqrt{10}\)
E. \( 2 \sqrt{10}\)

Pembahasan Soal 004

Jika dilihat deret yang diketahui merupakan deret merupakan deret aritmatika dengan beda\[ b = \log 10x^{2} - \log x^{2} = \log \frac{10x^{2}}{x^{2}} = \log 10 = 1\]Karena rumus untuk mencari suku ke-\(n\) pada deret aritmetika adalah \(U_{n}=a + (n-1)b\) sedangkan pada soal juga diketahui \(U_{n}= \log (10^{9}x^{2})\) sehingga (dengan menggunakan sifat logaritma) diperoleh\begin{eqnarray*}
U_{n} &=& a + (n-1)b\\
\log (10^{9}x^{2})& = & \log x^{2} + (n-1) \log 10 \\
\log (10^{9}x^{2})& = & \log x^{2} + \log 10^{n-1} \\
\log (10^{9}x^{2})& = & \log x^{2}\cdot 10^{n-1}\\
10^{9} \cdot x^{2} & = & 10^{n-1} \cdot x^{2} \\
10^{9} & = & 10 ^{n-1} \\
9 & = & n - 1\\
n &=& 10~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Selanjutnya mencari nilai \(x\) dari yang diketahui \(S_{n} = S_{10} = 55\).

Karena rumus untuk mencari jumlah \(n\) suku pertama deret aritmetika adalah \( S_{n} = \frac{n}{2} \left[ a + U_{n}\right] \) sehingga \begin{eqnarray*}
S_{n} &=& \frac{n}{2} \left[ a + U_{n}\right] \\
S_{10} &=& \frac{10}{2} \left[ \log x^{2} + \log (10^{9}x^{2}) \right] \\
55 &=& 5 \left[ \log \left(x^{2} \right) \left(10^{9} x^{2}\right)\right]\\
11 &=& \log 10^{9} x^{4} \\
\log 10^{11} &=&\log 10^{9} x^{4} \\
10^{11} &=& 10^{9} x^{4} \\
x^{4} &=& 10^{2} \\
x &=& 10^{1/2} = \sqrt{10}
\end{eqnarray*}Jawaban : D

Baca Juga : Seri Soal S01E001

Soal 005

Jika suku ke-\(n\) suatu deret adalah \( U_{n} = 2 ^{2x-n}\) maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah \( \cdots \)

A. \( 2 ^{2x-2} \)
B. \( 2 ^{2x-1} \)
C. \( 2 ^{2x} \)
D. \( 2 ^{2x+1}\)
E. \( 2 ^{2x+2}\)

Pembahasan Soal 005

Diketahui \( U_{n} = 2 ^{2x-n}\).
Akan dicari \(S_{\infty} = ?\)

Karena ditanyakan jumlah tak hingga dari deret, maka bisa dipastikan deret yang dimaksud merupakan geometri.

Pertama akan dicari rasio dari deret tersebut dengan memakai rumus rasio deret geometri yaitu\[r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}\]Untuk lebih mempermudah, Anda pilih suku pertama dan suku kedua deret geometri. Berdasarkan rumus suku ke-\(n\) yang diketahui bisa dilihat bahwa\[U_{2}=2^{2x-(2)}\]dan\[ U_{1}=2^{2x-(1)} \]sehingga didapatkan nilai rasionya, yaitu\begin{eqnarray*}
r &=& \frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{2^{2x-2}}{2^{2x+1}} = \frac{2^{2x} \cdot 2 ^{-2}}{2^{2x} \cdot 2 ^{-1}} \\
&=& \frac{2^{-2}}{2^{-1}} = 2^{-1}\\
&=& \frac{1}{2}~~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Karena \(a=2^{2x-1}\) dan \(r=\frac{1}{2}\) sudah didapatkan, selanjutnya mencari jumlah tak hingga dari deret geometri tersebut
\begin{eqnarray*}
S_{\infty} &=& \frac{a}{1 - r} \\
&=& \frac{2^{2x-1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2^{2x} \cdot 2^{-1}}{\frac{1}{2}}\\
&=& 2^{2x}
\end{eqnarray*}Jawaban : C

Soal 006

Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama \( a \) mempunyai jumlah 2, maka \( a \) memenuhi

A. \( -2 < a < 0 \)
B. \( -2 < a < 0 \)
C. \( 0 < a < 2 \)
D. \( 0 < a < 4\)
E. \( -4 < a < 4\)

Pembahasan Soal 006

Pertama akan dicari terlebih dahulu rasio deret geometri tersebut dengan yang diketahui yaitu \(S_{\infty} = 2 \).

Rumus mencari jumlah tak hingga deret geometri \(S_{\infty}=\frac{a}{a-r}\) sehingga \begin{eqnarray*}
S_{\infty} &=& \frac{a}{1 - r} \\
2 &=& \frac{a}{1 - r }\\
r &=& \frac{2 - a}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Syarat deret geometri tak hingga mempunyai jumlah atau disebut juga deret geometri konvergen adalah \( -1 < r < 1 \), sehingga \begin{eqnarray*}
-1 &<\frac{2 - a}{2}<& 1 \\
-2&< 2- a < & 2 \\
-4 &< -a < & 0 \\
0 & < ~~a ~~~< & 4
\end{eqnarray*}Jawaban : D

Soal 007

Jika \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) maka jumlah tak hingga \( \frac{1}{p} + \frac{1}{pq} + \frac{1}{pq^{2}} + \cdots + \frac{1}{pq^{n}} + \cdots \) adalah

A. \( 1 \)
B. \( \frac{3}{2} \)
C. \( \frac{1}{2} \)
D. \( \frac{q}{p} \)
E. \( \frac{p}{q} \)

Pembahasan Soal 007

Rumus untuk mencari jumlah tak hingga deret geometri adalah \( S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}\). Jadi diperlukan nilai \(a\) dan rasio \(r\) untuk menemukan nilai \( S_{\infty}\)

Pada soal, Anda dapat mengetahui bahwa\[a=\frac{1}{p}\]dan\[r =\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}}= \frac{1}{q} \]Untuk mempermudah perhitungan nilai \(a\) dinyatakan dalam \(\frac{1}{q}\), yaitu\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \Rightarrow \frac{1}{p} = 1 - \frac{1}{q} \]Nilai \(a = 1 - \frac{1}{q}\) dan rasio \(r = \frac{1}{q}\) sudah lengkap nilainya, sekarang Anda bisa menghitung jumlah tak hingga deret geometri tersebut\begin{eqnarray*}
S_{\infty} &=& \frac{a}{1 - r} \\
&=& \frac{\frac{1}{p}}{1 - \frac{1}{q}} \\
& = & \frac{1 - \frac{1}{q}}{1 - \frac{1}{q}} = 1
\end{eqnarray*}Jawaban : A

Soal 008

Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang membentuk deret aritmetika. Jika pita yang terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah \( \cdots \)

A. 800 cm
B. 825 cm
C. 850 cm
D. 875 cm
E. 900 cm

Pembahasan Soal 008

Pada soal yang dimaksud 10 bagian pada deret adalah \( n =10 \) sedangkan pita terpendek pada deret aritmetika merupakan \( U_{1} = a = 20 \) dan pita terpanjang merupakan \( U_{10} = a + 9b = 155 \).

Pada deret aritmetika untuk mencari suku ke-10 dilakukan dengan cara sebagai berikut\begin{eqnarray*}a + 9b &=&
U_{10} \\
a + 9b &=& 155 \\
20 + 9b &=& 155 \\
9b & = & 135~~~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{eqnarray*}Sedangkan panjang pita semula yang dimaksud adalah \( S_{10} \), yaitu\begin{eqnarray*}
S_{n} &=& \frac{n}{2} \left[2a + (n-1)b\right] \\
S_{10} &=& \frac{10}{2} \left[2(20) + 9b\right]\\
& = & 5 \left(40 + 135\right) = 875
\end{eqnarray*}Jawaban : D

Soal 009

Jika jumlah suku \(n\) suku dari suatu deret geometri yang rasionya \( r \) adalah \( S_{n} \) maka \( \frac{S_{6n}}{S_{3n}} = \cdots \)

A. \( r^{3n} \)
B. \( r^{2n} \)
C. \( r^{3n} + 1\)
D. \( r^{2n} + 1\)
E. \( r^{3n} - 1 \)

Pembahasan Soal 009

Rumus untuk mencari jumlah \(n\) suku pertama pada deret geometri adalah\[S_{n}=\frac{a\left(r^{n} - 1\right)}{r -1}\]Berdasarkan soal, yang ditanyakan adalah \( \frac{S_{6n}}{S_{3n}}\) sehingga dapat dihitung \begin{eqnarray*}
\frac{S_{6n}}{S_{3n}} &=& \frac{\frac{a (r^{6n} - 1)}{r - 1}}{\frac{a (r^{3n} - 1)}{r - 1}} \\
&=& \frac{r^{6n} - 1}{r^{3n} - 1}\\
&=& \frac{r^{(3n)^{2}} - 1^{2}}{r^{3n} - 1}\\
&=& \frac{(r^{3n} - 1)(r^{3n} + 1)}{(r^{3n} - 1)}\\
&=& r^{3n} + 1
\end{eqnarray*}Jawaban : C

Soal 010

Lima belas bilangan membentuk deret aritmetika dengan beda positif. Jika jumlah suku ke-13 dan ke-15 sama dengan 188 dan selisih suku ke-13 dan ke-15 sama dengan 14, maka jumlah dari lima suku terakhir adalah \( \cdots \)

A. 362
B. 384
C. 425
D. 428
E. 435

Pembahasan Soal 010

Selisih suku pada deret aritmatika\[
\begin{array}{rl}
U_{15}-U_{13} &= 14 \\
(a + 14b)- (a + 12b) &= 14 \\
b&= 7~~~~~~~~\cdots(\star)
\end{array}
\]Penjumlahan suku pada deret aritmetika\[
\begin{array}{rl}
U_{15}+U_{13} &= 14 \\
(a + 14b)+ (a + 12b) &= 188 \\
2a + 26 b&= 188 \\
2a + 26 (7) &= 188 \\
a&= 3~~~~~~~~\cdots(\star\star)
\end{array}
\]Jumlah 5 suku terkahir dapat dihitung dengan cara \(S_{15} - S_{10}\). Karena untuk mencari jumlah \(n\) suku pertama deret aritmetika adalah\[S_{n} = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b)\]maka dapat dicari nilai \(S_{15}\) dan \(S_{10}\) sebagai berikut\[\S_{15} = \frac{15}{2} \left[2(3)+14 (7)\right] = 780\]dan\[S_{10} = \frac{13}{2} \left[2(3)+9 (7)\right] = 345\]Oleh karena itu, jumlah lima suku terakhir adalah 780 - 345 = 435.
Jawaban : E

Jika masih kuat mengerjakan soal, bisa cek di sini dan di sini untuk latihan soal.